CIIAPHRE 1. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. I

appartienne à m et w à v, en sorte que la partie variable de a soit réelle, celle de v purement imaginaire. JNuus poserons, en outre,

(îo)

U = Oi'-^ 2(xiu-T- u', l>iu = Su(^ ~r- s'uOi',

V =^ (Ji -r- ItOç, -T- i'' , (iii, ^ Si, Oi -~- si tu';

tjjjt = O) -T- 7.S^ix> -^ "iS'rnUi', tOg = to' -T- 2 ^o W -i- 2s'oio';

II' sera réel, v' purement imaginaire; ils pourront être, quand il en sera besoin, limités dans l'étendue d'une période aoj pour le premier, aw' pour le second. Nous poserons, en outre,

G' = {—jyusi-i-s^s;,Qg

cl — o-/ ~r~ S ,, -T~ Stf ~T~ 1 1

i'i'iu'y—'^v) +-2r,i,(« — a)u)-HrY(i'+^ j+yjYi^^. j

C • — S'x —r- 5^ -t- Sq ;- 5^ h- Su , Su Sç-h- S^,.

Les formules (i) et leurs similaires se transforment ainsi en les suivantes :

cosa^ = ( — i)«

e * U" a'oii' a'i>'

cosbz

UU' a'su' ia'ii)''

e~{j" :fii' 3-,^' DU' 3*3 m' (jiv'

^ \ Il j :{ l'

cos «37 -f- i cos av = ( — I F G e * ■ ; ;- ,

cosax — i cos ay = ( — i)'» -^,c * ; j-,

G s'ait 3'it'

cos6^ -T- t costj' = ( — i)^ G' e

-r- 3"! Uf -T- P )

cosux — / cosyy = (— ij'' yr, e ■• — ^ — ; 7->

G ^3 if Ji V

cos ex -h l cos CV = ( — I )c+l G -rrr^ ; r '

-^ "■ ^ DU' c^u' cfiv'

, . , f i\]" -iiu'-v'^

COS ex — i cos CV = ( — I f^^ -pr, rrrrr ; r •

•^ ^ ^ G' UU' ^su' a'iv'

iO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

D'après les notations (4o), la quanlilé s (i5) se réduit à ce que l'on peut, suivant (4')' écrire ainsi :

Il est utile de noter ici les hypothèses par lesquelles on amène en coïncidence les axes a, 6, c avec les axes x, y, z dans un ordre quelconque. Les voici, faciles à vérifier sur les formules (42, 43);

X, y, z coïncident dans cet ordre avec cr, b et ec (c'est-à-dire le sens positif ou négatif de c suivant que s =- ±: i) ;

(46) j<'=o, p' = o)', G'=e^, b = o, c = \ : X, y, z coïncident dans cet ordre avec b, c^ ta ]

(47) u' = IX), t>' = o, G' = e i , a = o, c=i:

X, )', z coïncident dans cet ordre avec c, a, s 6.

On doit avoir soin d'observer, dans les formules (42, 43), que U' est une quantité purement imaginaire et U" le produit d'une

quantité réelle par e* (t. I, p. 194)-

Après avoir calculé directement les formules relatives à la droite

a, celles qui donnent cosa^ et cos«^ ±: icosay, on peut obtenir les autres par des changements fort simples : pour passer de a à

b, on échange lo et oj' ainsi que 11 et c, en observant de changer i

en — /, à cause de la quantité -/jw' — r/oj = -^ ^ qui échange son

signe ; pour passer de b à c, on change w' en co'-j- to, sans changer lù, u, V ; u' se remplace alors par m'— w.

Formules pour la composition des trièdres.

Nous allons faire les transformations analogues dans les formules (26, 27) de la composition des trièdres. Pour ce but, nous transformons d'abord l'identité (22).