CHAPITRE VI
LIG\i:S GKODKSIQIIES PKS SURFACKS DE REVOLUTION DU SECOND DEGRÉ.
l^ijuiiliiMis diiïércnlicllcs. Surfaces du second degré; inversion. E.xpressions elliptiques des constantes. — Discussion. Lignes géodésiques singulières de la surface gauche de révolution. — Lignes géodésiques conjuguées. — Liaison entre les lignes géodésiques et Therpolbodie. -- Points imaginaires. - Comparaison des arcs sur une même ligne géodésiquc. - Propriétés d'une classide surfaces développables. — Développable ayant pour arête de rebroussement une ligne géodésique de surface du second degré, de révolution. — Surfaces confocales. — Cas où la surface confocalc rencontre la ligne géodésique. — Surface confocale inscrite dans les développables. — Points homologues. — Théorèmes sur les arcs. — Méridiens. Théorème sur les arcs d'ellipse et d'hyperbole. — Propositions sur la fonction Ç. — Les lignes géodésiques des surfaces de révolution du second degré ne sont pas algébriques. — Exemple d'une courbe analogue, mais algébrique. — Exemple d'herpolhodie algébrique.
Équations différentielles.
Soit Z une Ibnction de la coordonn(''e ;, et
l'équalion d'une surfaee de révolution. Les équations diflerentielles des lignes géodésiques sur cette surface sont
L'arc de la courbe est 5, et ces équations expriment que le plan osculateur est constaniment normal à la surface. Si l'on regarde la courbe comme la trajectoire d'un point matériel astreint seulement à rester sur la surfaee, on peut envisager s comme désignanl le temps 5 N est la moitié de la r('aelion exercée par la surface.
Des ili'u\ premières écjuations se déduiL rinlégrale des aires
|)iiis les relations
l'/d.r-i /dyY\ , ., / dy d.rr- ( d.r dyy
(d.ry (dy.^- (dz -^
[717 ) -[dl) -[ds) ='•
d.r dy dz
ds "^ ds ds
jointes aux. relations (1,2), donnent celle-ci
dz ,2 -j.Z — ri
\ds 11
ds / '2 Z -— Z'
DÛ les variables sont séparées. En diiVérentiant aux deux membres rt remplaçant -7^ par pression toute connue
et remplaçant -j^ par — jNZ', on obtient, pour la réaction N, Tex-
l^our trouver ensuite x et )', on pose
X ^v iy — \. X — iy = \ ,
puis, écrivant la relation (2 ) sous la Ibrme
1 d\ i d\ ic ^^^ X~d7~\ ~d7^Z'
on fait dépendre le rapport X : ï d'une nouvelle quadrature, tandis que le produit XY = 2Z est déjà connu.
Svirfaces du second degré ; inversion.
Soit clioisie, pour Z. la fonction
ciiAPiTRK VI. — LKJMis (;É(Ji)i:siQri;s di:s sliifacks dk uf:voLi;TioN. iSi) cil sorte que
représente une des ([tuilre surfaces du second degi'é de lévolullon à centre, savoir :
Un ellipsoïde aplati, si a- yb- ^ o,
Un ellipsoïde allongé, si ù- ^ a- ^ o,
Un hyperboloïde à une nappe, si.. . a- > o ^' ù-,
Un liypcrlioioïde à (lcu\ nappes, si. 0^1 o la-.
En prenant z- pour inconnue, au lieu ch; z^ on écrira l'écjuation {?*) sous la l'orme
b- ds I / , b'* y
Soient posés maintenant
-Hex — e„)
on en déduira
, — b' ~ z- = z-i pu — ey
Tenant compte de la relation
p'-^u = \{pu — Ca) rpit — Cp) (pj< — Cy),
on conclut malnlenanl de l'équation (-)
, rt- — ^- / du\'- i
ou bien, en extrayant la racine carrée,
<ls Ja- — b- , .
24o DEUXIÈME l'AIMlE. — AlM'LICATiONS.
\ olci donc, par une inlrgralion, rcxjn'ossioa linic de l'arc .v : (11) .V = T ( (?a " -^ ^ " ) + const.
Pour cirocluer ensuite l'intégration dans l'équation (5 , il ("audia mettre Z, à un lacleur constant près, sous la forme pu — ■ pv. Ceci conduit à introduire un argument constant v, en remplaçant les égalités (8) par celles-ci :
-z^-ie^ — pv) = ■ — ^^- , ' " a-
(.l'où l'on conclut
(,.) yHe^-P^
affa — t'p)
par quoi l'on trausiorme l'égalité (lo) en celle-ci . ds ~-,p''' , s
On trouve, d'aulrc part,
Z du (eoL — pv) {pu — pi>}
Voici donc ce que devient l'équation (5) :
losr T7 =
(i5j } du "Y (eo^~pv)(pu--pv)
L'expression (i4) de 2Z i:^ XY donne, d'autre part,
( u ° pu — pv -^ /•=> ^
i.im'iriii: vi. — lujnes géodésiques des surfaces di; hévolltion. .^4' il cil rcsiille
-^^ lo- \ - :;( Il — D — ^« - - Z,{v ~ Wx) — r,a ,
d'où, j)ar intégration , en dénolanl (rime manière appropriée la constante arbitraire,
La constante, mise devant l'expression de Y, est choisie d'accord avec l'expression de aZ, que doit reproduire X'i .
Expressions elliptiques des constantes.
Les formules (12) l'ournissent les éléments elliptiques en fonction des constantes piùmitives. Inversement on en tire les expressions de ces constantes parles éléments elliptiques:
En prenant de diverses manières les indices a, |S, y et rargumcnl V', on obtiendra les divers cas qui peuvent s'offrir, soit relativemeni à la nature de la surface, soit à la nature de la ligne géodésique. L'examen de ces divers cas va faire l'objet d'une discussion, que l'on j)ourrait fonder sur l'étude de la formule (^), mais qui sera plus intéressante si l'on prend pour point de départ les formules »'lliptif[ues.
Discussion.
Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations (16) et (y I représentent une courbe réelle sont les suivantes. T étant supposé , comme il est loisible , être une constante réelle.
^If2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
i" La qiianliu'' i\)'v<h/ doil èlrc réelle;
2" Les quanlités c-, z-, Z doivent être réelles et positives.
Il est d'ailleurs sous-entendu que le discriminant est ]>ositif, puisque les racines Col, <?g, Cy sont réelles.
Ces conditions, évidemment nécessaires, sont suffisantes; on peut le voir ainsi.
Comme pu et pv sonl u('ccssaireniont réels, on voit que les conditions relatives à ip'vdit et à c- assurent la réalité de ds ( i3l.
Les expressions (i6) de X et Y donnent lieu à l'équation (la), d'où l'on peut remonter à l'équation (5), où ds, c, Z sont réels. On est donc assuré de pouvoir déterminer la constante E, de manière que le rajiport X ; \ ait l'unilé pour valeur absolue (module). D'autre part, le produit XY := àZi est réel et positif. On trouvera donc ainsi pour X et \ des imaginaires conjuguées. Si ^est positif, on voit que ^, y, z sont réels. La courbe est donc efTectivement réelle.
La première condition, relative à ip'vda, limite ceux des intervalles ( — xi, ^3), (^3,^2), (e2,ei), (e,, + oc) où peuvent se trouver pu et j3i'.
Les rangs des intervalles où se trouvent ces deux quantités sont de parités opposées.
La condition relative à c- se traduit par celle-ci (17) :
(18) Ox — r'0(ey— P'')<>a— ep)> o.
Celle qui est relative à z- donne (9)
Enfin la condition relative à Z s'exprime ainsi, d'après (12, i4),
(20) (ey — p(^)(pa — j3p;>o.
Rien n'est plus aisé maintenant que de trouver les divers cas possibles. \ oici un spécimen de la discussion.
Supposons a=i, fi = 2, y = 3. La condition ( iS) exige que pv soit supérieur à e, ou inférieur à e^. Soit pv -< e^; alors, suivant la condition (19), pu doit être moindre que e-, et se trouve ainsi dans l'intervalle (cs, 62). La condition (20) est alors rem-
CIIAPITUK VI. — I.ICNKS (lÉOntSIQlKS DKS SI ItlACKS I»i: HtVOI.L TIO.N. 2^3
plie. Soit, en second lieu, pv \> e, ; alocs p//, iiKtindrc (|iic r^^, est nécessairciiicnt au-dessous de C;,, et la condition ( ud i est encore remplie.
Cet exemple doit sidliic cl nous n'avons (pià noter ici le résidlat. Dans clia(|ue cas, on trouve eUeclivement aussi, d'après les égalités ( «7), des valeurs de a- et //- réelles cl qui ne sont pas toutes deux négatives. La courbe est donc, non seulement réelle, ais vérilahlement aussi une li:;ne géodésique d'une surface
m réelle
Nous figurons, pour chaque cas, les quantités dans Tordie croissant. Les deux premiers cas sont ceux qu\jn \ient de discuter.
pli,
^'JL:
pi',
Cv,
pu.
Crj..
pe:
e-jL,
ery.
Il est à remarquer que, sur les six permutations des indices a, 3, Y, l'une se trouve répétée deux fois, dans les cas I et H, et une autre mancjue complètement. Si l'on avait, en efl'et, ('j,<Ceo <C Cy, pv devrait être, d'après ( i8), entre e-x et e-^. D'après (rç)) et t 20 ». pu devrait être supérieur à pt" et inférieur à Ca- Par conséquent. pv et pu devraient être tous deux dans l'intervalle (ca, Co), ce qui ne se peut, d'après la condition imposée, en premier lieu, à ces deux quantités.
On ne peut manquer d'observer ce fait singulier que chacun des cas I, V, VI répond à une surface dilfércnte, ellipsoïde aplati, ellipsoïde allongé, hyperboloïde à deux nappes; sur chacune de ces surfaces, il n'v a qu'une espèce unique de lignes géodésiques. Au contraire, les trois autres cas correspondent à la surface gauche de révolution, sur laquelle, on le voit, il se trouve trois espèces diflerenles de lignes géodési([ues. C'est là un lait sur le(pie| il convient de s'arrêter.
2^4 DEUXIÈME PAUTIE. — API'LICATIONS.
Lignes géodésiques singulières de la surface gauche de révolution.
11 csl nalurcl Jexauiincr les parliculurllcs que la dégénérescence des fonctions elliptiques entraîne pour les lignes géodésiques dans les six cas précédents.
Tout d'abord l'hypothèse ea = eQ, suivant l'égalité (8), est à écarter immédiatement comme dénuée de tout intérêt. Elle correspond à une surface indt-nniineiit aplatie, sur laquelle les lignes géodésiques se réduisent à des droites quelconques.
L'hypothèse e^ = Cy, dans les cas I et II, entraîne aussi ^a = Cg • il n'y a pas lieu d'}- revenir. Pour les cas V et VI, elle entraîne c^ = pi', c'est-à-dire a = o, suivant (17)- La surface de révolution disparaît. Mais, pour les cas 111 et IV, entre lesquels cette hypothèse sert de transition, elle donne lieu, sur la surface gauche, à des lignes géodésiques •BlTectives : ce sont les génératrices rectilignes. On voit, en effet, par l'équation différentielle (7), que,
pour ce cas, -y^ est une constante. C'est ce qu'on peut vérifier aussi
par le movcn de l'expression de N. En utilisant l'égalité (4), on trouve effectivement
et le numérateur est nul, suivant (8), quand on suppose e» — Cy. Par cette même expression de N, on observera que les lignes géodésiques, sauf le cas où elles sont droites, n'offrent jamais de point d'inflexion en projection sur le plan de l'équateur.
L'hypothèse <?y^^e,^, pour les cas IV et \1, entraîne aussi c^ =:; e^,, et ne doit plus être envisagée. Pour les cas 1 et V, elle exige pu = 63, ce qui donne ;; = o ; on obtient ainsi l'équateur de la surface. Mais, pour les cas II et III, on peut supposer e, = ey en laissant varier pu. C'est, on le voit, l'hypothèse qui sert de transition entre ces deux cas II et III. Il y correspond, sur la surface gauche, des lignes géodésiques singulières dont les équations peuvent s'obtenir sans le secours des fonctions eUipliques, comme on voit par l'équation différentielle (7). Cette
CIIAIMIUK VI. LKi.MCS (iCuUÉSIQLES DES SUIIKACLS DE IIÈVULLTION. .1^')
équation, |)ai- l'ii vpolliôsc c- ^= a-, devient inlé;^r;il)l(\ en elH'l, an niojcn (les lonclions l(ii;anlliMii<[Ut's. l'^ii <liai|ii<' |i(iml de l.i surface passent deux de ces lignes sin^ulit-res, svniélri(juenient inclinées sur la tangente au parallrlc et iaisant, avec cette lani^cnte, un angle dont le cosinus est égal au rapport des rajons du cercle de gorge et du parallèle. On se rendra facilement compte de cette propriété par le moven de l'équation (y i, qui fournit la direction de ces lignes singulières.
l-^u un |)()iiil arhilraiie de la surface de révolulion, il v a lieu de considérer ainsi, dans le ]>!an tangent, quatre droites, savoir les deux génératrices rectilignes G, G' et les deux tangentes des géodésiques singulières T, T'. Ces quatre droites se coupent au point considéré ; elles partagent le plan en quatre régions dont chacune est composée de deux angles opposés par le sommet et qui n'empiètent pas les unes sur les autres. Une de ces régions est limitée par T <l T', une autre par G et G', une autre par G et T, une ([uatrième par G' et T'.
Cela posé, pour toute ligne géodésique qui passe au point considéré, la tangente en ce point est contenue dans une des quatre régions. Si elle est contenue dans la première région (T, T'), la ligne géodésique est de l'espèce II. Si elle appartient à la troisième ou à la quatrième région (G, T) ou (G', T'), c'est alors l'espèce III. Si elle appartient enfin à la seconde région (G, G'\ la ligne géodésique est de l'espèce I\ .
L'espèce II présente, en outre, une distinction géométrique très simple. La fonction pu y varie de — a; à e^ ; ;;■ ne s'évanouit jamais et devient minimum pour puz^e^ : la ligne géodésique ne traverse pas le cercle de gorge et touche un parallèle. Au contraire, dans les espèces III et IV, pu varie bien de la même manière, mais z-, qui tout à l'heure était égal à t- (e, — •p")^ est maintenant représenté par '-{e-j — P^)- Sou minimum est zéro; la fonction uniforme z s'évanouit en changeant de signe quand u franchit l'argument correspondant ojn- La ligne géodésique traverse le cercle de gorge et tous les parallèles.
Sous ce point de vue, les lignes géodésiques de l'hypcrholoïde à deux nappes (cas VI) peuvent être assimilées à l'espèce II ; elles sont tangentes à un parallèh'.
■2^6 dei:xi(;mf paiitie. applications.
Sur les deux ellipsoïdes (I et \ i, pu saric de Co J» Cj ; toutes les liiiues ij:;éodésiques sont tangentes à deux parallèles, sjmétriques par rapport à l'équaleur, et traversent léquateur.
Lignes géodésiques conjuguées.
Avec les mêmes fonctions elliptiques et les mêmes arguments, de part et d'autre, considérons deux lignes appartenant, lune à l'espèce II, laulre à l'espèce III. Les équations (i6), sans aucune altération, sauf les facteurs constants, s'appliquent en même temps aux deux coui'bes.
Par conséquent, à foule ligne géodésir/ae, d'espèce 11 ou 111, tracée sur une surface gauche de révolution, correspond une seconde ligne géodésique , tracée sur une autre surface de même espèce et de même axe, de telle sorte cjue, sur un plan perpendiculaire à cet axe, les deux courbes aient une seule et même projection. De ces deux lignes, l'une est de l'espèce 11, Vautre est de l'espèce III \ leurs arcs correspondants sont proportionnels.
Ce )node simple de correspondance résulte d'un échange entre les indices ,3 et y. Il n'existe, dans le domaine réel, que pour les espèces II et III. Les formules (i^) donnent immédiatement les relations entre les quantités a-, b-, c-, relatives à l'une des lignes, et les analogues a'-, 6'-, c'-, relatives à l'autre ;
Le rapport des arcs correspondants esf^, •
L'échange des indices a et y niet en évidence un lien fort remarquable aussi, quoique moins simple, entre les lignes géodésiques de l'ellipsoïde allongé et de riivperboloïde à deux nappes (V et VI).
Les quantités Ci, Co? <?:> étant supposées les mêmes pour les deux lignes, soient u ., v les arguments relatifs à la ligne d'espèce V et m', v' ceux qui sont relatifs à la ligne d'espèce VI. Prenons
t"' — P — CO, u — u ~- O),
ClIAl'IlUi; M. — LKiNES (iÉODÉSlgUKS Ul-S SLUFACKS UK HÉVOLLTION. 24"
ce qui est coiifornic à la nature des quatre argunienls w, f, //', c'. Pour la [)rcuiicrc courln', ou a, suivaut les égalités (i6 -.
et, j»our la sccoude,
1 3'(tt — V )
__ £,2 -' ^ ^^ ' g2i-0"-^(i''-l-W")lH'— 20l"-<' + ")i
Comme on a co";= w -t- to' et vi''= r, H- r/, on voit qu'il suffit de choisir les constantes E, E' pour conclure à l'égalité des rapports X ; \ et X' : \'. Quand il en est ainsi, les deux points qui se correspondent sur les deux lignes géodésiques sont dans un même plan méridien. Pour achever de préciser la correspondance, il faut donner les relations entre les coordonnées z et z' ^ ainsi qu'entre les quantités a-, 6-, c-, «'-, b'-, c'-. C'est ce qu'on fait aisément au moyen des formules d'addition de la demi-période. On a, en effet, suivant les égalités (9, 17) et les formules d'addition
i;2 -'2 b^-b'i= •:2^'2(ei — piOtei —pu')
= -J-J'Hei — pv){ei— pv' ) = --J~.'-^{ei — e.2)i^ei — e-i).
D'après les égalités (8), on a aussi
Par lélimination de t-, t'-, ces relations se réduisent aux suivantes
' '-in . , ,
zz = bb' ,
( a'^ — c'^jia'- — c'2; =«-«'-.
dont la dernière peut être laissée de coté, comme on \a le reconnaître. \ oici donc la conclusion :
Soient un ellipsoïde allongé
a* fi-
el un hvperboloïde à deux nap/ies
donl les axes satisfassent à la première relation (ai)- On établit une correspondance entre les points de ces deux surfaces, situés dans un même plan méridien et conformément à la seconde relation (i\).
De cette manière , les lignes géodcsiques des deux surfaces se correspondent. On voit que la relation entre c- et c'- est une conséquence de la seconde relation (21). Elle traduit, en effet, la correspondance entre les points où les deux lignes géodésiques sont tangentes à des parallèles.
Par l'échange des indices a et ^, on trouve de même un lien algébrique entre les espèces II et ^ I. Soient u, v les arguments relatifs à la courbe de l'espèce II, u' et v' ceux qui sont relatifs à la courbe de l'espèce \I. On prendra
t^' = f Oj', u 7= u — (X)'.
Des calculs tout semblables à ceux qui précèdenl conduiseni ainsi à cette conclusion :
Sur V hvperboloïde à une nappe
