X- — v^ za- fj

si Von emisage une géodésique tangente à un parallèle de rayon c, et sur Vliyperboloïde à deux nappes

une géodésique tangente à un parallèle de rayon c', et que les

deux relations

(c^-—a^-)(b^-~a^-) (c'2 — a'2K6'2— a'2) a-fy- ' a'^ù-

CIIAlMTRi: VI. LIGNES GiiODÉSIQUES DES SI IIFACKS DE ltf;VOLi:TION. :>.'{()

(lient Uni, les fioinls de ces deii.r /ii^/ies ^éodési^/ites ( convcndblcmcnt orientées), situés dans un même plan inrridien , se enrrespondenl conformément à Véiinlité

(^.---jC

lAc^'-y-c'^

Liaison entre les lignes géodésiques et l'herpolhodie.

La forme extérieure des équations (i6)cst lonle semblable à celle qu'afTeclent les équations de riierpolhodie (IF, i4, p- 55). Mais, dans riicrpolhodie, y)u est plaeé entre e-s et e^, pc' entre e^ et Cl, ce qui n'a lieu ici dans aucun des six cas. Dans un seul cas. celui de l'ellipsoïde allongé (V), ])u et jx' sont placés de la manière inverse. 11 est alors, pour ce cas, possible de changer les équations (i6) en celles de l'herpolliodie, au moyen du changemcnl de u^ r en /?/, iv.

Supposons, à cet effet, que les fonctions elliptiques employées pour la ligne géodésique soient construites avec les racines ciaprès :

e^ — — ^1, ey=— eo, e(^ — — ei,

auquel cas on les distingue par un trait supérieur, comme on l'a fait dans le Tome I(p. 5^, i4o, ly'^). Employons aussi les caractères romains u, v, a, b, c, au lieu des italiques correspondants, pour les éléments de la ligne géodésique, qui se distingueront ainsi des éléments de l'IierpoUiodie.

Prenons

Il — lu, v = iv.

D'après les conventions pr('cédentcs, nous avons

(?( u — V I — t j (m -- i^), dw—ijU, ?v — /" j (',

^(V -C03() -— fr((^— (O),

et il en résulte celte nouvelle forme des équations (ib »

\ h j II j V

25o DI-lXifcMi: PAUTIK. ArPI.ICATIO>S.

S'il s'agit, d'ailleurs, d'une ligne géodésique appaiienanl à l'espèce \ , on a, quant à l'ordre de grandeur,

^a<pv< Cy < pu : cp, c'est-à-dire

absolument eoinnie dans le cas de l'herpolhodie. Les équations (22) sont donc celles d'une herpolhodie, dont on achèvera de déterminer les éléments e»i prenant, suivant l'expression de G (p. 47)5

c'est-à-dire

— ^(PH- (0) — ^t^ — -/] —

2 pv — ei

Dans les équations (j) de la page 4"^ prenons, comme il a été dit (p. 4.9) en discutant ces équations, a = r, |j = 3, y =^ a. Nous avons alors

a- — h- itix p' V

La eompai'aison des deux dernières égalités donne «-= o. Il s'agit donc ici de ce cas particulièrement simple, dont il a été parlé (p. 74)5 et dans lequel l'iierpolliodie est engendrée par le roulement d'une ellipse.

Les formules de la page 47 et les formules (12) actuelles donnent facilement la détermination des éléments de cette herpolhodie :

En conclusion, toute ligne géodésique tracée sur un ellipsoïde de révolution allongé se projette sur le plan de l'équateur suivant une courbe qui peut être engendrée par une ellipse dont le centre est fixe et qui roule sur ce plan.

Soient a et b (a < b) les axes de l'ellipsoïde, c le rajon des parallèles qui sont tangents à la ligne géodésique; soient 6 et c ('/>-< c) les axes de l'ellipse roulante et A •< 6 la distance de son

ClIU'inu: VI. — LKiNES GÉODÉSIQLES DF.S SURFACES DE REVOIITION. 25 I

ccnlre au plan. Ces diverses longueurs sont lices j)ar les ('(juations (20).

Points imaginaires.

Faisons, pour (jucKpics instants, abstraction des lignes géodésitiiios et prenons simplement des ('quations de la forme (iG)

(24) < , ^ ■ k- -trx — 3;( ^" -^ Wa"".

où p ^\^ q seront des constantes.

Il est manifeste qu'on pourra choisir ces constantes /), q de manière que ces équations représentent une courbe réelle, pourvu que j)'i' et p'w soient opposés d'espèce, l'un réel, l'autre purement imaginaire. ElTectivement on déduit de là réi4:alité < i J )

Par hvpothèse, p\\du est purement imaginaire. La partie variable de log Y cs^ donc jniremenl imaginaire et Ton peut |)rcndre - de telle sorte que log t- soit lui-même purement imaginaire. En

second lieu, on a

X'Y --= pq ( p (• — p u )

et Ton peut prendre pq de telle sorte que X\ soit réel et positif. De cette manière, X et Y seront imaginaires conjugués et la courbe sera réelle.

Il faut avoir soin d'observer la supposition qui est faite ici : on admet que a varie d'une manière continue et que sa variation soil toujours ou r('elle ou purement imaginaire. ^lais u peut avoir une partie constante, période ou demi-pc-riode, de nature opposée. Si l'on modifiait celle partie constante par l'addition d'une période. il faudrait, pour rendre la courbe réelle, changer p et q. Si 1 on change cette partie constante sans altérer/? et ^jr, X et ^ prennent des valeurs qui ne sont plus imaginaires conjuguées, mais (ju on rendrait telles, en les multipliant par des constantes.

2Ôi DLlXltMi: l'AUTIE. — APPLICATIONS.

Supposons donc p cl q choisis de manière à rendre X et \ imaginaires conjugués quand on considère une suite d'arguments que nous désignons généralement par a. Envisageons maintenant les arguments u' =. '.ito'-h «, aco' étant une période quelconque; soient X' et Y' les valeurs que prennent X et Y, p et rj n'étant pas changés. Les deux fonctions X et Y sont doublement périodiques de tleuxième espèce et admettent, relativement à la période 2w',

les multiplicateurs ul' et ~,

En inulli|)liant donc X' [)ar —, et Y' par ;/, on retrouvera deux imaginaires conjuguées.

Ces deux mulliplicatcurs — et a' ne sont pas eux-mêmes imaginaires conjugués si aw' n'est pas de même espèce quer/ii^ tout réel ou tout imaginaire. Il est facile de s'en convaincre. Si, en effet, on remplaçait ato' par la période 2W, de même espèce que du, X et Y resteraient imaginaires conjugués en se multipliant par

les multiplicateurs correspondants a et -; qui sont ainsi imaginaires conjugués, en sorte que 'x a la forme e''\ 'l étant un angle réel ,

On peut écrire jjl' sous la forme suivante :

La quantité v/ji' — y/o) est un multiple entier de -'" ? soit /«t^; en sorte qu'on a

«/"i' (I)' n/Tîi'-i- l'iifi)'

Par hvpothèse, w' et w sont l'un réel, l'autre purement imaginaire ; de plus, t» est, à une période ou demi-période près, de nature opposée à du et, j)ar conséquent, à o). De là résulte que l'exposant de l'exponentielle est ici tout réel, sauf un multiple de i-. Par suite, [j.' est une quantité toute réelle.

ClIAlMTni: VI, — LUiXES GÉODÉSIQLES DES SI IIF ACES DE RÉVOLLTION. •'. >3

En résume, c'est par les nmlliplicalciirs rcc.ipiofjucs cl réels

— cl u' <|ii il faiil inulli[tllcr X' cl \' pour les rendre inia;;inaircs

conjugués dans le cas qui nous occupe. C'est ce qu'on traduirait en langage géométrique ligur<' si l'on disait : la portion de courbe pour les arguments u' se compose delà portion de courbe relative aux arguuicnis //, que l'on lait tourner autour de l'origincî d'un

angle purement imaginaire «'gai à- logju.', absolument comme,

pour la suite des valeurs de //, la courbe se compose d'une portion, toujours la même, que l'on fait tourner successivement des angles réels à, 2.'l

11 faiil examiner maintenant ce que deviennent X et \ pour des arguments u\ de la forme u\ := w' -(- «.

Soient X(w), Y('x)) ce que deviennent X et Y quand on y met, pour «, une demi-période w; nous avons

c'est le multiplicateur correspondant à la période aw dans la fonction X. Il en sera autant pour toute demi-période. Prenons deux demi-périodes, l'une m" comprise parmi les valeurs admises [)our «, en sorte que

soit, par livpotlièse, de la forme e'?, es étant un angle réel ; prenons ensuite w'-f- w", qui dill'ère delà première par la demi-période &/, la même que ci-dessus. Nous avons, de même,

X ( Co' -r- w" ) P , „

car le multiplicateur est ^J<.j." pour la période aw' -;- 2w". Ainsi

X(w'+ co") , X(to") , .

\ {(^J -T- (Ji ) ' l(<^j

Soit £ = i-T I choisi de façon à rendre positive la ([uantilé réelle eu.'. Si l'on multiplie X((o'-f-w"i par -,^— et Y(w'-}-co") par

aSj DEl'XlÈ^IK l'AUTlK. -- APIM-ICATIONS.

±:i/£a', le produit de ces deux (|iianlil(''s ainsi modifiées sera simplement multiplié par zt i ; il était éi;al à la quantité réelle P'I [,P*' — .P('-^' ~'~ ^'')]j ^"' ^^^ positive ou négative. En disposant du silène, on rendra le nouveau produit réel et positif. Le quotient des quaulilés ainsi modifiées est égal à ± e'? 5 donc ces quantités sont imaginaires conjuguées.

Prenons mainlcMiaiil des arguments de la forme to' -f- a; nous savons que X (oj' -i- i/) et \ ( w' -i- k ) deviennent imaginaires conjuguées si on les mulliplie par des fadeurs constants. Nous venons de trouver ces facteurs en supposant la valeur particulière u =3 10" ; il n'v faut rien changer quand u est variable. Ainsi, en résumé, si 200' est une période d'espèce opposée à du, et [jl' le niuliiplicateur de la fonction X pour cette période : i® [V est une

(pianlilé réelle : 1" ■ , X i^oo' -;- u) et ±: y/ d= a' Y (rW H- //) sont

imaginaires conjugués : 3'' -, X ( aoj' -i- a) et [j.' Y ( 2 oi/ -h //) sont

imaginaires conjugués.

Ces résultats s'appliquent, sans modification, aux cas où les équations (24) représentent la projection d'une ligne géodésique de surface de révolution du second degré. Il faut joindre aux équations (24) celle qui donne la coordonnée z, dont le carré reste toujours réel, mais peut être négatif, quand u est remplacé par (o' -r u. En ce cas, z (w' -j- u) devient réel si on le multiplie par i.

Dans le langage figuré de la Géométrie, on peut dire que les arguments dont il s'agit fournissent les courbes qu'on obtient en faisant tourner une courbe réelle, autour de l'axe, d'un angle imaginaire et en multipliant les ordonnées z par y — 1.

Les équations (24), considérées dans leur plus grande généralité, peuvent, avons-nous dit, représenter des courbes qui ne soient pas des projections de lignes géodésiques de surfaces de révolution du second degré. On peut leur donner encore une acception plus large en admettant que le discriminant y soit négatif. La courbe est alors réelle, si pu et pç sont séparés par e-^ et si l'on prend e^ =^ e.,.

Nous verrons plus loin que, parmi ces dernières courbes, à discriminant négatif, il en est d'algébriques, tandis qu'il n'en existe aucune parmi les autres.