CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQLF-S DES SURFACES DE UÉ\ OLL'TIO.N
Comparaison des arcs sur une même ligne géodésique.
Sur une luciue ligne géodési(jue, deux ])oinls variables, n'pondauL à des arguments dont la somme ou la diirérence est conslanle, sont liés l'un à l'autre par des relations purement algébriques, non seulement entre leurs coordonnées, mais aussi entre les arcs cnii aboutissent à ces points. C est ce (|u'on va aisément reconnaît i"e.
Soit // largumcnt de l'un de ces points, dont X, ^ , ; sont les coordonnées. Toute l'onction rationnelle de pu et p' a est une fonction algébrique de :;, comme on le voit par l'égalité (9).
Soit iv zn u l'argument du second point, dont X', \', z' sont les coordonnées. Désignons par s et 5' les deux arcs aboutissant à ces points. D'après la formule (1 1), en laissant de coté la constante arbitraire, nous avons
On a d'ailleurs (t. I, p. i3S'i
ll(w z^ u)::z!lu — Ziv -. — — • •
2 pw — pu
Ainsi la somme ou la différence des arcs est algébrique, eu même temps que la somme ou la différence des arguments est constante.
Pour le premier cas, prenons le produit des coordonnées X, X'. D'après l'expression (16) de X, on a
(EtjI e'';a-ï^''+w».'l'i'
• t^ j << j ( IP U)
ce qui est une fonction doublement périodique de u, rationnellement exprimable au moyen de pu et de j)';; (t. I, p. 21 3). Il en est de même à l'égard des [)roduits YY' et zz', où, sauf les facteurs constants, p est remplacé par — p pour l'un, par clx^ pour l'autre.
Dans le cas où la dillerencc des arguments est conslanle, ce sont les quotients X' :X, Y': Y et :;' : z qui sont doublement pé-
206 DEUMÈ.Mr. PAUTIK. APIM.ICATIONS.
rloiliquos, cl algél)i'iqiicincnl cxj>rnnal)les en foncLion de c. On pctil irailloins passer facilement de l'un à raulrc cas. En oHel, sauf cliani;cincnt de la constante E, X et Y s'écliangeul quand on change u en — u. Comme d'ailleurs XY est une fonction algébrique de c, la liaison entre les deux pro[)Ositions est manifeste.
Nous allons faire connaître des propositions de Géométrie qui équivalent à cette proposition purement algébrique et qui serviront à la préciser.
Propriétés d'une classe de surfaces développables.
Considérons la fonction doublement périodique de deuxième espèce
^ V ^ Il
dans laquelle v désigne un argument arbitraire. Cet argument est une racine de la dérivée /'(w). On a, en effet,
et l'on voit que /'(m) s'évanouit pour f/ = v.
Soit pris maintenant un autre argument quelconque (v et posons
Cette fonction p est doublement périodique par rapport à a ;
de même aussi son produit par ' .., '. • Dans ce produit, il subsiste i ^ J(u) i
deux pôles seulement (aux périodes près < ; ils répondent à
« = — V el u =^ — w. En effet, le pôle u =^ v du facteur p est une
racine de l'autre facteur, et le pôle «^ = o de ce dernier est une
racine de p. De plus, la dérivée de p est, pour u r.- o, égale à
l'unité, tandis que le résidu de —-, — est l'unité né;;ative. En con-
séquence, la somme i -f- p ' ,., ? qui a les mêmes pôles que le
ClIAI'lilti: VI. — I.KiNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 207
produit jirécédenl, a, en oulrc, la racine u = o. Donc enfin le produil de celle somme par f{ii) n'a plus le pôle « == o; il n'a pas non plus le pôle u = — r, qui est racine de f{u). 11 lui reste le seul pôle ii = — «'. C'est d'ailleurs le produit dej'(u) par une l'onction doublement périodique; c'est donc une fonction doublement périodique de deuxième espèce, avec les mêmes multiplicateurs que f{ii)- 11 ne diffère de/(// + (x) que par un facteur constant :
Pour déterminer le facteur A, il suffit de donner à n la valeur V — «T', qui fait évanouir o ; il s'ensuit
Supposons maintenant une courlie gauche (.r), lieu d'un point dont les trois coordonnées rectilignes ^,, x^^ X:j dépendent d'un paramètre u par trois équations de la forme commune
( 27 ) XI, = cjk (n) = eu 1""^^'^ eV^^i--Q.^i+Vi>.\u (/,- = 1 , 2,3).
j f /,■ -j II
Considérons le point dont les trois coordonnées j)', , y-,, ys sont déterminées par les trois équations, telles que celle-ci
JA- =X/,-T- px',,.
Ce point est situé sur la tangente de la courbe (x). En faisant varier l'argument arbitraire (v et laissant u constant, on obtient ainsi les divers points de cette tangente. En faisant, au contraire, varier u et laissant a' constant, on obtient une courbe (y). Considérant u et w comme variables, on volt que J'ijj'o? J's sont les coordonnées d'un point quelconque de la développable dont la courbe (x) est l'arête de rebroussement.
D'après l'égalité (26), en mettant les arguments en évidence, on a pour les coordonnées y, l'exj)ression générale
(28) yk{u) = ''\ ' TiAu-^ iv).
Ainsi les trois coordonnées y d'un point variable sur la courlie ^ y)
sont respectivement dans des rapports constants avec las coor-
^58 I»EU\IÈ.MIC PAUTir. — Al'PLICXTIONS.
données .r diin aulre point vaiiaMc sur rarêle de rebrousseinent [.r). V.n (\'.iu\vv9, lernu-s, i/ e.ris/c si/r fa dévc/opp(fhle une in/inilé de courbes homograpkiques à l'arête de rebroussement ; les diverses liomographies ont toutes, pour plans principaux, les plans des coordonnées et celui de l'infini.
Cetle propriété apparlienl à la développable dont l'arête de rehroussemont est nnc ligne géodési(pie de surface de révolution du second degré. En'eclivenicnt X et \ ont la forme supposée ici pour ./■/,; les arguments tels que c/, sont égaux à ± v. La coordonnée :; a aussi cette forme, puisqu'on a, d'après (()),
Pour ;, l'argument r/i a la valeur particulière (or^. Quant à l'argument V, il est égal à la demi-période lo^.
A cause de ces circonstances, les propriétés de la développable particulière, dont il s'agit maintenant, se précisent davantage. C'est ce qu'on va examiner; mais il faut d'abord cbercher les conditions pour que le point y soit réel en même temps que le point X.
Développable ayant pour arête de rebroussement une ligne géodésique de surface du second degré de révolution.
Ivepreiiant les notations X, Y, c, au lieu de X|, x.i^ x-^, nous emploierons aussi les lettres X,, \,, ^,, au lieu àe y^, y-i^ y-^. Nous mettrons encore les arguments en évidence.
Voici, d'après la relation générale (28), les coordonnées du point ;' :
X (■ oi^ — «r ) X f ?/, -H w )
^iC«) = y7 ^ '
X(a)aj
V / , "^'(wa— w) Y{u-\- (f)
;(Waj
On remarquera d'abord que (Oa n'est, pour aucune des six
espèces de lignes géodésiques (p. 243), l'argument d'un point réel.
Nous supposons a l'argument d'un point réel. Si alors ii-\-w
CIIAPITHE VI. — I.ICNKS (lÉODl'SIQl KS DES SURKACKS DE UÉVOLl TION. 2og
l'est aussi, »\' osl ou rét;! (csprco I) ou purement imaginaire, et o)a — »^' n'esl [)as l'arguniciil d'un point n'cl. Eflectivemenl, l'une des valeurs de iv élant zéro, w^ <'l (•)a — »'' ^'^n' des arguments de
M, \((0x — irj V((03t— 11') , .
ais iilors — vr- ; — el — r^- sont des imiJiJi-
naires coniufiruees et ^ — est réel. Comme aussi \(i{. -\- w)
et Y(ii -r- iv) sont des imaginaires eonjuguées et z(u + a-) réel, on voit que le pointy est réel.
Si, au contraire, oiy. — <^ est rari;umcnl d'uti point réel, soit u, cet argument; on a alors « h- (v = o)^ -h // — //,. La dilférence 1/ — //, est ou réelle ou purement imaginaire, et u -+- w n'est pas l'argument d'un point réel. Mais aloi^s u 4- w et a>a sont des arguments de même espèce, et le point y est encore réel.
Ainsi le point j' peut être réel, en même temps que le point x, de deux manières différentes. Dans l'une, c'est i/ -+- ^v qui appartient à un point réel; dans l'autre, c'est co^ — (v.
Nous examinerons d'abord le premier cas, celui où u -+- iv est l'argument d'un point réel.
Les équations (3o) étant écrites abréviativement
(3i) \l(u) = B\(u-^^^■), Yi(m) = Bo Y(«-^ <r), Zi{u) = Cz{u-hn'),
et B, Bo étant imaginaires conjugués, G réel, le point j^ se déduit d'un point de la géodésique, celui d'argument u -+- iv, par une transformation homographique fort simple : elle consiste à multiplier par des constantes (y/BBo et C) les distances au plan de V équateur el à l'axe, et à faire tourner autour de l'axe d' un angle constant o =:arg. de B.
Telles sont les transformations liomographiques qui changent la géodésique en des courbes tracées sur la développable dont elle est l'arête de rebroussemenl.
Le cas où u et wa — "^ appartiennent à des points réels présente les mêmes propriétés, mais sous forme imaginaire, ce que nous voulons écarter ici de nos études. On peut cependant observer que la partie imaginaire de ligne géodésique, lieu du point dont l'argument est u -f- n', résulte d'une courbe réelle par une transformation homographique imaginaire. C'est par une transformation homographi(juc réelle, toute semblable à la [)récédentc,
200 DEl'XIÈME PAiniE. — APPLICATIONS.
et appliquée à cctlo dernière courbe réelle, cjue Ton obtient maintenant la courbe réelle, lieu du point j'.
Il est aisé d'obtenir l'expression des deux constantes y/BBo et C, cjui inlorvienncnt dans la transformation. L'équation de la surface
donne
La première égalité (9^) nous fournit
Posant, pour abréger,
-"-(wa— 'v) = — 62 X,
nous en déduisons
Il est visible que a ne cliange pas par le changement de w en — w, car on a, suivant (9),
z-^io.j,— if) = -J [er^ — p{ioy: — n')] =-.-\ea — pCw^-f- w)\.
Non seulement C-, mais C lui-même reste invariable par ce changement. On a elTectivemenl, d'après (29),
ziM-j,— w) :^(tua-Hup— ty)^to^ -0^ .v ^ J-.^ w
ce qui est une fonction paire de n'.
L'invariabilité de BBq peut encore être mise en évidence autrement. Soit, pour abréger,
on a, en prenant une période quelconque o^,
iX ( W W ) 3^ ( W — W -{- V ) :flO . |t^^,
X(tu) 3'( W -1- f ) ^( OJ W)
iY(a>-t-iv) <:f[iM^w — v):foj /,^^, \ Y ( O) ) ::yix> ~ V ) :: { L'j -i- w )
CIIAPITItE M. — LIOES GÉODÉSIQUES DES SURFACES l)E RÉVOIATIO. 'î6l
IjCS seconds incinhrcs de ces deux égalités sont égaux entre eux, d'après la propiiélé générale (t. I, p. i88)
a'(w-i- v)e -10" = 3'(w — t^jeO"
On a donc:
Bo =
Y ( tOo( — «r ) X ( ojjt 4- tv ) Y(ajx) "~ X(wa)
SI iî' cl lîy désignent les quantités analogues à B et Bo, mais relatives à l'argument — iv, nous avons ainsi
(35) B=Ri,. B' = B„.
Reprenant, avec l'angle ç, son analogue cp', nous concluons 0=: — (j,', ces deux angles étant les arguments des imaginaires B et B'. Ainsi les deux Lransformatioiis lioniographiques relatives à deux arguments égaux et de signes contraires diffèrent seulement par le sens delà rotation autour de l'axe. La grandeur absolue de cette rotation est la même dans les deux transformat ions .
Soit y' le point conjugué de j', déduit du point x avec l'argument— iv, comme l'est j- avec l'argument w; on voit que les lieux géométriques de deux points conjugués sont deux courbes égales, dont l'une se déduit de l'autre par une rotation autour de l'axe. Ainsi la courbe (yv) se déduit de i^y') par une rotation égale à 2'^.
Surfaces confocales.
Les deux transformations homographiques qui changent la courbe (x) en les deux courbes (j^) et (j') changent, toutes deux, hi surface, sur laquelle la géodésique est tracée, en une seule et môme surface du second degré de révolution. D'après l'équation de cette dernière et les relations (3 1), la surface transformée a pour équation
a^BBn 62 G2
26'.î DEUXIÈME PAmiE. — APPLICATIONS.
Les carrés de ses axes <7-BBo el ^-C-, suivant (32 ), onl les valeurs suivantes :
Ainsi les tleux transformations liomographiques changent la surface sur laquelle est tracée la géodésique en une surface confocale. En d'autres termes, les surfaces confocales coupent la dé^-eloppablc dont la géodésicjue est l'arête, suivant deux courbes distinctes, égales entre elles, cpii diffèrent de position par une simple rotation autour de V axe, et cjui sont liomographiques à la géodésique.
Les théorèmes précédents donnent des constructions géométriques pour trouver une suite indéfinie de points sur une ligne géodésique de surface de révolution du second degré, quand on donne deux points et la tangente en l'un d'eux. Ayant, en effet, lés points d'arguments u — iv et u et la tangente en ce dernier, on en déduira le point u -\- i\\ et la tangente en ce point. On pourra ensuite trouver le point u-\-iw^ etc. C'est donc une construction de l'addition des arguments. Mais on ne doit pas perdre de vue que deux points et la tangente en F un d'eux constituent des données surabondantes.
Considérons maintenant la longueur / de la tangente, comptée entre les points x et y. Son expression est
, ds
D'après les égalités (lo, 'îd), on a ici
ds^ y/g^ — b- ^ \Ja^-~b- :ï(u — 0)^) 3'( w -+- cooj)
a'{u — Wa) a'( «-!-»') 3' (»' — to-x)
, ya^ — tj^ a'{u -h Mr^ ) :i{ u -^ w — co^ ) j" w b s'a a'(;< -I- «') cj'oja 3'((P — Wa)
Considérée comme fonction de //, / ne s'évanouit que pour les valeurs de u égales à oja ou à m^ — (v (sauf des périodes). La première de ces racines ne correspond, on le sait, à aucun point réel.
