CHAPITRE M. — I.KiNES GÉODÉSIQLES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. .'.fjî

Dans les cas f|iic nous a\oiis supposi-s jusqu'à prùscnl, où a -\- »r correspond à wu point réel, nous savons aussi que <o.^ — \\> n'y correspond point. En ces cas, / ne devient jamais nul. Ainsi, quand la courbe {y) se déduit de {x) par une transformalion honio- '^raphique réelle, la surface confocale correspondante ne rencontre pas la géodésique. Au contraire, c^est en prenant des surfaces con focales rencontrant la géodésique quon obtient les courbes réelles {y) résultant de la géodésique par une transformation liomograpliique imaginaire.

Nous allons examiner spécialement ce second cas.

Cas où la surface confocale rencontre la ligne géodésique.

Nous supposons maintenant que to» — ^v soit l'argument d'un point réel.

Ainsi, par iivpothèse, on a

et u — U\ est réel ou purement imaginaire.

On a vu plus haut (p. 254) qu'en multipliant X(?/ -h \v) par une

quantité réelle et positive - (v =r S^î;^'), et Y[u ->- w) par ~ v, on

rend les produits conjugués. Il en est de même à l'égard de X(wa) et Y(tDa).

Au lieu de ± v, mettons ( — i)"v. Les quantités X(tOo( — (v) el

Y(w3t — w) sont conjuguées; de même, -X(wa) et ( — i)"vY(tOx). Les quotients

sont donc conjugués, et l'on a

(38) -i -"^^"--"'^ = IU">, ^ Vfço^^-uO ^

' lX(a.,) '" ''^^^-^

R étant réel et positif, 'l réel. Par conséquent,

X, ( i< ) = X ( if H- w)i'tK e't'î'-t-'i<'fv' , Yi ( « ) = Y( « -h w)i" R e-'('K"<''.

•264 DIvLXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Ainsi, la transformalion qui fait passer du point imaginaire x, d argument a -h (v, au point réel y^ consiste à mulliplier la distance à l'axe par la quantité réelle ou purement imaginaire «"R, et à faire tourner, autour de l'axe, d'un angle imaginaire <h -h i'iogv. Quant à la transformation de l'ordonnée c, on verra de même qu'elle consiste en une multiplication pur une quantité réelle ou j)urement imaginaire.

Considérons maintenant, comme nous l'avons fait dans le cas précédent, le point conjugué y' ^ qui se déduit du même point x^ mais au moyen de l'argument — (w Les relations (35) sont générales, quel que soit(r. La nouvelle transformation, toute semblable à la précédente, en diffère donc seulement par le changement du signe de la rotation imaginaire, qui est maintenant — ('•>-}- /logv).

Ici se présente une sorte de paradoxe : les deux courbes conjuguées (j'), {y') se déduisent l'une de l'autre par une rotation imaginaire 2(6 -|- Hogv). Toutes deux pourtant sont réelles.

L'explication de ce prétendu paradoxe est fort simple. On a vu (p. 253) que ces courbes possèdent des parties imaginaires qui se déduisent des parties réelles au moyen de rotations imaginaires. L'angle de rotation est f'iogjj.'. Mais, précisément, v est la racine carrée de ±: ijl', en sorte que la rotation 2 (']> 4- Hogv) peut se décomposer en une rotation réelle 2(]; ou 2'j» + 7r(si v = \J — jjl' j et la rotation i'iogpi.' qui change la courbe {y') en elle-même. Ainsi, dans ce cas, comme dans le précédent, les courbes [y) et (y') diffèrent seulement par une rotation réelle autour de l'axe.

Ces circonstances se comprendront encore mieux si l'on fait l'observation suivante. L'argument iù^-\- w n'est pas, en même temps que to^ — (v, celui d'un point réel, mais en diffère par une période. Soit, en effet, w" une demi-période, argument d'un point réel; l'argument «i est de la forme générale (o"4- t^, où ^, est réel ou bien purement imaginaire. Par conséquent,

tojj-f- iv = 9.0)^ — Ui = aojjf — uj" — /i = ■>.{iMrf — to") + 0/ — ^1.

L'argument co" — t^ est celui d'un point réel et ()Ja+ ^'^j comme on voit, en diffère d'une période. D'autre part, soit a = cl)"-|- /; on a aussi

U — W = 2(0Ja — Co") -H ^%->s- t — t\.

ClIAlMTIii: M. — l.l(;>ES GÉODÉSIQIKS DKS SI UFACES I»K «ÉVOLUTION. 265

Ij'argumcnl ii — (V", à son lour, iroppaiilcnt pas à la nicmc si'ric que rarijunicnl ii -t- \v; car (Oa-r '/ — n \ cl «-Ja-r- ^ — 'i "^onl de la même série. Si Ton clianj^'c w en iv — '^(^(Ox — f'^")' ^" trouve le même point i'; car la fonction p (>^7) est doublement prriodirpie par rappoit à n'. De celle manière, ce poinly' se déduit du [xtint dont Targument est // — w — .>.(^oj" — oJa)- ^c dernier appartient à la même série que celui dont l'argument est ii -\- (v, et l'on trouve directement (|ue les courbes (^') et (j') se déduisent l'une de l'autre par une rotation réelle.

Surface confocale inscrite dans la développable.

La décomposition de la courbe sui\ant laquelle la développable coupe toute surface confocale a lieu aussi quand la surface du second degré, sur laquelle est tracée la ligne géodésique, n'est pas de révolution. C'est une conséquence facile d'une propriété fort connue : les tangeiiLes d'une ligne géodésique de surface du second degré sont tangentes à une seconde surface du second degré, confocale a la première.

Pour le cas particulier où la surface est de révolution, cette dernière propriété se démontre facilement au nioven de l'analyse qui précède. La tangente de la géodésique est, en effet, tangente à la surface confocale si la quantité / reste invariable par le changement de w en — w, c'est-à-dire si (v est une demi-période ou zéro. Sur les quatre valeurs que l'on prévoit ainsi pour (v, il en est deux qui s'éliminent d'elles-mêmes: ce sont les valeurs zéro et 10^1 qi'i rendent / nul ou infini. La valeur tOy doit aussi être écartée; elle donne, en effet, (o^ — (v^w^; donc A = o, suivant les égalités

et la surface confocale, tlonL l'axe ^, est nul (36), se réduit au plan de Téqualeur, compté double. Il reste donc la seule valeur (o^, à laquelle corres|)ond, en effet, une surface confocale, tangente à la développable. Cette surface ne rencontre j)as la géodésique quand celle-ci napparlienl pas aux espèces III ou I\ ; elle la rencontre, au contraire, si la ligne géodésique est l'une de ces deux espèces.