DELXlÈMi; l'AiniE. — AI'l'LiCATIOS

Points homologues.

Les deux courbes ( )) et (y') se drcInlsanL l'iiuc de l'autre par une rotation réelle, chaque point ^■ de Tune a son homologue y' sur l'autre, de façon cpie l'on jiassc de je à r' par une rotation indépendante de r. Quand it + (r est l'argument d'un point réel, on trouve immédiatement, comme il suit, les coordonnées du point )■', homologue de 7 .

En désignant par X',(?/), Y',(//), "'i(//) les coordonnées du point <léduit de .r avec l'ariiument — a', on aura, changeant a en fi -]- 2W et d'après les égalités (34 )>

X', (z/ ~ 2»'; = Bo X(i< -}- lï'), Yi(f< -;- -iu') = B Y(f< + ir), z-\( u -r- -nv ) = C z( u ^- tl'),

en même teiups cpie, |)Our le point j', on a, de même,

\i{u) = B \(u-\- ir), \i( n)= Bq Y(i< -i- (v), Zi(ii) = C z(u -T- iv).

]^a liaison entre ces deux points résulte de ce que l'on en déduit X', ( « -f- 2 IV ) Bn . Y', (u-i--2 iv ) B

x,(") - n -' '' Y,(«.) " Bo -' "'

z\{u -^iw)

Zi(U) ~

11 est d'ailleurs manifeste que chaque point j^ a une infinité de points homologues réels, qu'on obtient en ajoutant à iv des périodes de même espèce que du. C'est un fait d'accord avec la pro- ])riété que possède la courbe (y) de se composer d'une infinité de branches se déduisant les unes des autres par rotation autour de l'axe.

Prenons maintenant le cas où c'est o^^ — ''^ fl"i 6st l'argument d'un point réel. Avec les mêmes notations qu'à l'avant-dernier paragraphe, on a

n -- a IV = oj" — t — %ti -\- '2.(iOrx — w").

x\insi a -{- 2<v appartient, non pas à la même série que «, mais

ciiArinu: vi. — i.kim-s (.éodésiqlcs dks slufaci-s de nf:voi.i tion. idy

à iiiie série (|iii dillVio j»;ii' une jx riixlc. Le iiiiilli|ili(aleiir rcliilil à celle période csl u'. cl Ton a, on (.lésigiiaul celle période j)ar ■Mo' = ?. ((o" — Wa I' *■' picnaiil 1> cl 15,) dans les égalités (347 '^^)i

l Y,(jO ;/ lîu ' [x '

On voit par là que le point j>/- a, pour homologue réel v', celui qui se déduit du point .r, dont l'argunicnl est n 4- 2(o' + aw, au moyen de l'aryumenl — tv.

Théorèmes sur les arcs.

Considérons, de nouveau, la longueur / portée sur la tangente de la géodésique au point x, pour obtenir le point y. Nous mettrons en évidence l'argument du |)oint x, en écrivant f{u) au lieu de /. Celte fonction /(«), doublement périodique, est exprimée en produit de facteurs dans la formule (3j). Si nous la décomposons en éléments simples, nous obtenons

Rapprochons-la de l'expression de l'arc (i i)

s(u) = - -. (e^M -!- Ç«; -+- consl.

Soit '}(vv) la quantité suivante, indépendante de //,

pour hiquelle on doit observer que c'est une fonction impaire,

-^((^)=-6(-»')- Prenons •v(//) et s{u + w) et nous avons

( (O) /({<) = 5(« -f- (V) — 5(«) — •i/(ll').

268 DEUXIÈME PAUTIK. — Al'IM. DATIONS.

Celle égaillé nous rournil une expression de la différence des arcs complés dans un mémo sens, à partir d'une même origine, et aboutissant à deux points variables dont les arguments dilTèrent par une constante. Elle est susceplible d'un énoncé géométrique intéressant, sur lequel nous ne nous arrêterons pas cependant à cause des détails qu'exigerait ici la nécessité de préciser le sens dans lequel est comptée la longueur l{ii) sur la tangente. Nous passerons aussi sur les propositions élégantes exprimées par les égalités

l(u) -I- /'(;< 4- ir) — o.

/(■ « ) — l' {in = s(it -^ U-) — s{u — w) -\- ■^<b{iv),

où /'(«) désigne la longueur a-y' portée du point ûc sur la tangente et obtenue par le changement de vv en — w dans l'expression de /(«). Il faut seulement observer que les signes de l{u) et /'(«) sont, suivant les cas, opposés ou concordants, en sorte que l{u)-\-l'(u) peut être la somme ou la difTérence des longueurs absolues. Quand w est suffisamment jietit, l(u) -{- l'(u) est une différence de longueurs; caria fonction l{u) passe par zéro, en changeant de signe, avec vv.

Nous arrivons maintenant à la proposition la plus élégante, que nous obtiendrons en considérant les longueurs l{u) et l'[u-\- 2w)^ comptées à partir de deux points homologues y et r sur les tangentes de la ligne géodésique, qui aboutissent en ces deux points. Pour avoir ici un énoncé précis, examinons d'abord le signe du rapport de ces deux fonctions. D'après la formule (3^), nous avons

r{u -h 7.fV ) 'i{u-\-1W — OJx) ^11

Que la surlace confocale, correspondant à «', coupe ou ne coupe pas la géodésique, les deux arguments u et a -\- -iw sont, dans les deux cas, des arguments de points réels, effectivement ou à une période près. Que ce soit seulement à une période près, cette circonstance est sans influence sur le premier membre (4')' ®^ effet, l{ii) est une fonction doublement périodique de ?/, et l'on peut, sans altérer ce premier membre, considérer les deux arguments comme étant ceux de deux points réels.

CUvriTRK M. — I.KiNES (if-OPÉSIQL'ES DES SL'RFACES DE HÉVOLITION. 269

Dans le second membri', envisageons \c premier fiicleur, dont les deiiK termes 3'(« — o)^) et ci(i( -{- 2iv — 0)^^) ne deviennent jamais nuls, puisque la demi-période oj^ n'est pas un arj^uimenl de point réel, c|ucl(|ues périodes cpi'on v ajoute. Ce premier facteur a donc un signe inaltérable. Pour reconnaître ce signe, distinguons deux cas : i" Si ?^ et u -+- 2 vv sont des arguments de poinls réels, sans addition de période, le signe est plus, comme on le voit en supposant la valeur particulière w = o. 2" Si u et to^ — iv sont des arguments de points réels, le signe est moins; c'est ce qu'on voit en supposant a = (o^ — iv. Ces deux cas sont les seuls qu'il y ail lieu de considérer, comme on l'a vu précédemment, et comme on le reconnaît aussi par cette considération que le second membre (4o) est doublement périodique par rapport à u. La distinction de ces deux cas est précisément la même que celle des cas où la surface confocale ne coupe pas ou bien coupe la ligne géodésique.

Venons au second facteur du second membre (40* Dans le premier cas, en laissant a constant, faisons varier w à partir de zéro. 11 y a passage par zéro, avec changement de signe, chaque fois que /< -f- 2 tv franchit une période. A ce moment, le point d'argument u -\- 2(v s'éloigne à l'infini. Donc le signe du facteur esl plus ou moins, suivant que les deux points considérés sur la géodésique sont séparés par un nombre pair ou impair de points à l'infini. Dans le second cas, oîi lo^ — w est l'argument d'un point réel, faisons varier u à partir de lOy, — çv. On a d'abord

en sorte que le signe esl plus. 11 y a ensuite changement de signe chaque fois que u ou que u -+- 'nv franchit une période, et le résultat est le même que dans le cas précédent.

En résumé, m étant le nombre des poinls à l'infini <pii séparent les deux points considérés (m et « -|- 2(v), le signe de la fonction (4i) est ( — i)"' si la géodésique rencontre la surlace confocale, et ( — 1)'"+' dans le cas opposé.

Dans la formule (4'^)i niellant u 4- ■;>. «v et - vv, au lieu de u et vv, nous avons

•Ji-O DKlMi-MK PAIMIK. — AIMM-ICATIONS.

IVmis concluons

Pour t'nonccr ce résultai, nous devons observer que le premier membre est une (blTérencc de longueurs absohies ou une somme, suivant que /(//) et ['(u -r- a^v) ont mêmes signes ou des signes opposés, ce que nous venons d'ajiprendre à discerner.

Voici donc le théorème (') :

Sur les deux courbes cV intersection d'une surface con focale on prend deux points homologues y et y' . En chacun d'eux passe une tangente de la géodésicjue; soient x et x' les points de contact. Soient s et s' les arcs de la géodésique aboutissant en X et x' et comptés à partir de deux points fixes Xq et x\., positions particulières des points x et x'. Soit m le nombre des points à Cinjini qui séparent x et x' . La différence s' — s des deux arcs et la somme xy ± ( — i )'«./')' ne diffèrent que par une quantité constante.

On doit prendre le signe plus quand la surface confocale ne rencontre pas la géodésique, le signe moins dans le cas opposé.

Dans le cas où il n'y a pas de branche infinie entre les points X et x' , ce qui a lieu notamment pour les lignes géodésiques des ellipsoïdes, on peut dire plus simplement que l'arc xx' et la somme xy + x'y' diff'èrent par une quantité constante, quand la surface confocale ne rencontre pas la géodésique. Si, au contraire, il v a rencontre, on doit observer que s{u -+- iw) doit être remplacé par 5(« + 20/ + aiv) , 20/ étant la même période que dans les égalités (3()). Cette modification de l'argument change la constante 2'!/(w) de la formule (42). Pvemarquons

(') l'ar une rolaiion constante autour de l'axe, on peut amener y' en coïncidence avec y. Celte rotation, imprimée à la géodésique, donne une seconde géodésique, tangente au même par atlète. De cette manière, on a une proposilion concernant les arcs de deux géodésiques difTérenlcs et les tangentes qui leur sont menées par un point quelconque de l'intersection de leurs développables.

Ayant eu lidée de transformer ainsi le théorème, M. Darboux a trouvé qu'il s'applique aux géodésiques tracées sur une surface du second degré quelconque, sans autre modification que celle-ci : au lieu de deux géodésiques tangentes à un même parallèle, il faut envisager deux géodésiques tangentes à une même tigne de courbure.

ciiAi'iruK M. — i.KiM-s (;('Oi)ÉsiQi:i;s i)i:s si iti acks dk Rf:v()i,rTioN. >.- \

niaiiileiianl t|iir 1rs deux |)(>iiils )■ o\ y' \iiiiiiriil .siiimlliiiK'iiicnl se |)l;iccr sur la liyiio géodi-sicuic ollo-inrmc. Pour celle |)()silion pailicullère, xv clx'y' sont nuls. Si l'on coniple donc les ares à jiarlir de ces deux orii;Nies, on peul énoncci' la [tioposilion ainsi : 1.(1 (lijférrnrc xv — x'y' est éaalc à la (liJJV'renve des (i/f.s }„.jel )\^x\ comptés à partir des points homologues ro, j'„ situés sur la géodésicjuc.

Méridiens.

C'est en supposant c = o que Ton fait dégén»-rcr la géodésique en une courbe méridienne, comme le montre l'équation (2). Il y correspond l'hypothèse j)r = Cy ( i-). Cette hypothèse n'altère en rien les expressions de la coordonnée z (9) et de l'are 5 (ii)- De là résulte que les arcs géodésiques s'expriment fort simplement en arcs d'ellipse ou d'hyperbole, suivant la nature de la surface. \ oici, à cet égard, les résultats que les égalités (8) donnent immédiatement.

Sur la surface

on considère ime géodésique caractérisée par la quantité c; on envisage, d'aulre part, la conique

avec la condition

et l'on fait correspondre entre eux les points de la gcodési(|uc cl ceux de la conique suivant l'égalilé

Les arcs décrits, sur les deux courbes, par les points correspondants, sont égaux entre eux.

On remarquera (jue, pour les deux espèces II cl III de lignes géodésiques, la proposition n'a point lieu réellemcnl.

DEIXIÈME rAUTIi:. — AlTLlCATIOiNS.

Théorème sur les arcs d'ellipse et d'hyperbole.

Quand la géodésique est un méridien, rinterscclion de la développable avec une surface confocale se réduil à une conique de niètnes foyers que ce méridien. Celle conique est alors la réunion (les deux courbes d'intersection, distinctes dans les autres cas. Les points liomologues se confondent entre eux. Le théorème sur les arcs géodésiques se change ainsi dans le suivant : D'un point variable y, pris sur une conique, on mène les tangentes à une conique confocale ; soient x et x' les points de contact; soient s et s' les arcs aboutissant en x et x' et comptés à partir de deux points fixes x^, et x'^^ positions particulières des points X et x'. La différence s' — 5 des deux arcs et la somme xy dz x'y ne diffèrent que par une longueur constante. On doit prendre le signe plus i" quand les coniques sont toutes deux des ellipses; ^^ quand ce sont deux hyperboles et que les points de contact sont sur une même branche d'hyperbole ; 3° quand les coniques sont, la première une ellipse, la seconde une hyperbole, et que les points de contact sont sur deux brandies distinctes. On doit prendre le signe moins dans les trois autres cas.

Propositions sur la fonction Z.

Nous avons vu sommairement (p. 80) qu'il y a des herpolhodies algébriques. La liaison qui existe entre les lignes géodésiques des surfaces de révolution du second degré et les lierpolhodies (p. 249) donne naturellement lieu à cette question : outre l'équaleur et le méridien, peut-il se trouver d'autres lignes géodésiques qui soient des courbes algébriques?

C'est pour répondre à cette question que nous allons établir quelques propositions concernant la fonction "C. Voici la première :

Le discriminant étant positif , l'équation

na pour racines réelles que les multiples entiers de w (co' désigne la demi-période purement imaginaire, et a) la demi-période réelle).

CIIAlMTHi: VI. — LIGNES GÉODÉSIQL'ES DKS SURFACES DK RÉVOLUTIOX. 270

Coiuiuc le pi'i-mier membre a la périudc a o) cl, de plus, csl une lonclioii impaire de r, il suffit de prouver (pi'il n'exisle aucune racine entre x,('ro cl w.

La dérivée (\u premier membre est — p(('-+-w') — ': elle dé-

croît consl.unmcnl (juand r croit tic zéro à (.0 et, [)ar conséquent, s'évanouit une fois, au plus, dans rinlervalle. Mais la fonction (42) est nulle pour les deux valeurs extrêmes, et reste finie dans l'inlervalle. l'^lle a donc un maximum et un seul, partant n'a point de racine autre que les deux valeurs extrêmes.

Il faut avoir soin d'observer (pie l'hypothèse sur le signe du discriminant est indispensable à la démonstration. Quand le discriminant est négatif, ^((Oo + o)'^) est infini; car o)<, -+- o\ est une période (t. 1, p. ■j4).

En corollaire, on voit que Véqaatlon

n a pour racines ptireinent imaginaires que les multiples entiers de oa'.

Une autre conséquence de la démonstration concerne les valeurs extrêmes de la dérivée j la valeur initiale est positive, la valeur finale négative; ainsi l'on a

ej -4- - < o , e. -t- - > o ,

CD eu

comme nous l'avons déjà établi par le moyen des développements en séries (t. I, p. \o!\)\ a fortiori^ «'i + - est aussi positif. Le discriminant étant positif, l'équation

(il) !:,.-^'=:o

n'a pour racines réelles que les multiples impairs de m.

En efTet, la dérivée — \tv ■ croît constamment depuis — x

eu '

jusqu'à la \aleur négative — e^ -, fjuand c croit de z'ro à (o.

Elle ne s'évanouit donc pas cl reste toujours négative dans l'in- II. 18

l-j^ DEUXlft.MK PARUE. — APPLICATIONS.

Icrvallc. La lonclion (41) est donc décroissante, parlant n'a pas de racine autre que la dernière valeur de r. De mèuie, Véij nation

n\i pou/- racines purement imaginaires que les multiples impairs de co'.

Si le discrimlnanl est négatif, la nicnic preuve a lieu pour

l'équation (44)? dans le cas où la valeur finale — e.y ^ de la

dérivée est négative. Au contraire, si cette quantité est positive, la fonction (44) a "^ minimum négatif et s'évanouit avant de parvenir à ce minimum. Si l'on pose, comme au tome l (p. 267 et 268),

e = ivq ,

que l'on remplace q par i\^/q' et o), Tj, c, par oi,, r.j, c, dans le développement donné (t. I, p. 44*5), on obtient

— -,(r,,oj, -I- ejoji) = -— '

Si Ton se reporte au tome I (p. 4^; et 287), on reconnaît que cette dernière quantité est positive quand q' est inférieur à o, 107653. . . , négative dans le cas opposé.

Ainsi, le discriminant étant négatif, L'équation

(46) lv--^=o

n' a pour racines réelles que les multiples impairs de fju-i si q' est inférieur à 0,107653...; elle a une autre racine dans chaque intervalle d'une demi-période, si q' est supérieur à o, 107653 ....

Ces résultats, qu'il était utile, pour la clarté, de mettre en évidence ici, ne difi'èrent pas, au fond, de ceux qu'on a établis (t. I, p. 280) à l'égard des fonctions ^.

r.HAI-ilHK VI. — LIOES GÉODÉSIQLES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 275

Les lignes géodésiques des surfaces de révolution du second degré ne sont pas algébriques.

Pour que les équations (i<^)) représentent une courbe algélnl()ue, il laut cl il suffit (]ue l'on ail {/)i élant enlier)