fo

2(0 élanl une période (l. I, p. 224).

Pour l'espèce 1 (p. 243), v élanl purement imaginaire ela)a= c*), on devra avoir ainsi, n élant enlier,

0} = n il} , r, =^ nr, , ■ — ■ = — ~ ,

C'est l'équalion (4^), donl les seules racines répondent au\ méridiens.

Pour les espèces II et III, on devra avoir

f, = /t Tj ; — .

/Il vu

En posanl v -+- o) = r', il en résultera

c'est l'équalion {i4)i dont les racines donnent pour ('une |)ériode. A une telle valeur de r correspondent des valeurs infinies pour les axes (17).

Pour l'espèce IV, on trouvera de même l'équalion (42) cl, poulies espèces V et VI, l'équation (44) dont les racines, en ces trois cas, fournissent les méridiens.

Il est donc établi que les lignes géodésiques, donl il s'agit ici, ne jx'uvenl jamais être algébriques.

Exemple d'une courbe analogue, mais algébrique.

Tout au contraire, on peut trouver des courbes algébriques paimi celles que représentcnl les équations (i()), si, comme nous

l'avons dit plus haut, on v accepte un discriminant négatif. Supposons, en effet, Wa= ^"^2 et v -+- 0)2= *'' réel; la courbe sera algébrique si l'on a -,

d'où résulte

Cette équation, on vient de le voir, peut posséder une racine non multiple de to^, dans chaque intervalle d'une demi-période. On conçoit donc qu'en choisissant l'invariant absolu, on puisse faire que cette racine soit commensurable avec toj. S'il en est ainsi, i" aura la valeur exigée et la courbe sera algébrique. Voici un exemple.

Supposons ^2 = 0 et, pour simplifier l'écriture, prenons g3= — I, ce qui n'apporte aucune restriction nouvelle. Pour ces fonctions elliptiques particulières, la division des périodes par 3 dépend d'une équation très simple. La fonction '\'^{u) se réduit, en effet (t. I, p. 96), à la forme

Llle a deux racines réelles pu; ce sont p -— - et p -^7^- La seconde de ces racines doit être inférieure à e-y, la première

doit être supérieure. Gomme e^ est ici négatif ( eo = — j— K on a

Nous avons, d'autre part (t. I, p. 198),

(47; 'h(iO=^7-r'

d'où, par la dérivation logarithmique, on conclut

Supposons a ^ = «', infiniment petit. Les deux termes

ClIAPITllK M. — LIGNES GÉODÉSIQIES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. ■>.-]-]

du sccoiiil iiiciiihrc sonl inliiiis, cl la partie principale de la dillcrcnce fournil la relation

^\ 3 / 3 i8 ,, /2oj.,\'

De l'expression de '};t(«) résulte

"l'a (") = ( • 2p'' u-^T>) p' Il = 3 j)'3 w, f3(«) = 9P''«P"" = 54p'2«p2„.

Par conséquenl,

'yi(-ir-)=o et Cf *-

Voici donc un cas où l'équation (46) a une racine qui, sans être une demi-période, est cependant conimensurable avec cette demipériode.

Si nous prenons ainsi

Wj

2 Wj

dans ce cas où l'on a ^":> = o, la courbe représentée par les équations (i6) sera algébrique. 11 ne reste plus qu'à former effectivement l'expression des coordonnées en fonction de pwet p'u.

Pour abréger un peu le calcul, nous calculerons le quotient X ; Y, comme il suit. On a d'abord (en écrivant w et '/] au lieu de CO2 et r|.j)

Effectivement le premier membre est une fonction cnlicre de pu cl p' u (t. I, p. 224), et celte fonction entière est complètement caractérisée par sa partie principale pour 1/ = o, et par sa racine

triple {/ = -^ • La partie principale du second membre est ^»

a-jS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

comme celle du premier membre. A l'égard de la racine, on a

2(0.1 , 9. (0> ,, 'XOi ,,, 2(0.>

en sorte que le second membi-e satisfait aux conditions requises. De Tcgalité (4^), on conclut, par le changement de ii en

// \ '' \ 3/ ?,v/« ?-^(,) 2w •■'/i r ,/ to\ "1 (49) J^^^^A =' ' ^-S-V/^'n""^)"^']-

L'égalité (I7) donne, si l'on y remplace u par ^- — \~ a et qu'on suppose ensuite a = o,

On a vu plus haut que -I^., ^3j)''. Le dénominateur est donc égal à — 3, et l'on a

Ainsi l'égalité (49) se réduit à celle-ci :

tf ( H —

suite

oùl'on a posé).=:jD( ?^ + -:^ )• Par la formule d'addition, on a en-

Pour obtenir j) — 7 il faut prendre la formule d'addition des demi-périodes qui donne

CIIVI'ITRE VI, — LIGNES GÉODÉSIQLES DES SinFACES DE UÉYOLUTION. Cijf) ., . . 5c> ' 1 'I.

Ci)inme on a ici j) -r- = o, e-i^ — — > il eu rcbullc

puis

En conséquence,

Nous avons ainsi le quotient et le produit de deux coordonnées. Le carré de la troisième coordonnée doit être pris proportionnel à e-, — j);^ Remplaçant ). par).i/2,on peut énoncer le résultat comme il suit : À étant un paramètre variable^ les équations

3 Tl- = Y -- -4- - = 2 -(- A -r- — ^

représentent une courbe ayant la propriété signalée précédemment (p. 258): il existe une infinité de surfaces du second degré (formant un faisceau tangentiel), dont chacune coupe, suivant deux courbes distinctes et homo graphiques à la courbe elle-même, la développable dont celle-ci est V arête de rebroussement.

Exemple d'herpolhodie algébrique.

A ce sujet se rattache l'étude des herpolhodies algébriques, dont nous allons parler sommairement et donner un exemple. Les équations de l'herpolliodie (p. 55j ont la forme ci-après.

Le discriminant est positif et l'argument constant v est égal à to augmenté d'une quantité purement imaginaire. Pour que la

aSo DEUXIÈME l'AllTlE. — APPLICATIONS.

courbe soil algébrique, la première condition c'est que v soit une froclion de période : donc

f = co H :

la seconde, c'est que le coefficient de n dans rexponcntitlie G

soit — Y| -: ainsi

11 y a donc deux conditions, cl leur traduction par les éléments géométriques n'offre que des difficultés de calcul, sans aucun embarras théorique. La première condition, en effet, se traduit par l'égalité '^m{v) = o, où l'on devra remplacer pv et jdV par leurs expressions en fonction des éléments géométriques (p. /\'j). Quant à la seconde condition, le même calcul qu'on a fait tout à l'heure avec l'hypothèse m = 3 fournit, pour l'exprimer, l'égalité

où l'on remplacera, de même, pv ei p'v. On aura donc ainsi deux équations algébriques pour exprimer toutes les conditions du problème.

La seconde équation peut être simplifiée quand m est pair. Soit ni^^ip; prenons l'égalité

^^"Um^),

(tfp)p

pour en tirer

i.-l^^p^^-^^'ViM

On a ])v =/>(o -f- n w', et il faut observer que n est un nombre impair, sans quoi la fraction — ne serait pas irréductible. 11 s'ensuit

que tous les termes sont ici finis. D'autre part, s(/?^) est égal à /?T, + /?•/•/, en sorte que l'équation devient

\J. ~ p- '^-^piV)

ciiArniiE VI. ^ r.ir.NF.s géodésiqies des sihfaces ni: hC:v()Lltion. 281

C'est celte équution (jiic nous allons ;i|)|)li(|iicr en supposant m ^ \. Il faut alors oinplo^er la fonction 'i*o(c) = — J^'^' (l- '> !>• 9^^)- Mais, suivant une conséquence du théorème d'addilion (l. I, |). 107), on a

p'v p'v -f- p'-xv

et, puisque :>.c = 2(.> -h w', il en résulte p'o.r = o, J32r = e3. Ainsi l'équation se réduit à

4 pi> — e3

Dans la théorie des mouvements à la Poinsot, nous avons, au Chapitre II, employé en indices les lettres a, [3, v au lieu des chiffres 1,3, 2. La correspondance des lettres et des chiffres peut être quelconque; mais, en établissant la correspondance dans Tordre indiqué, on obtient un classement, toujours le même, des carrés des axes et de h- par ordre de grandeur, ainsi qu'il a été expliqué page 5o. Emplovons donc cette correspondance, en sorte que l'indice 3 équivaut ici à l'indice [î des équations (7) de la page 47i d'après lesquelles l'égalité (5i) devient

— 2/1'- = ù- — h- ou h- = — Ù-.

Voici donc déjà un résultat très simple, qui nous montre, en outre, d'après le classement des carrés des axes, la nature de la surface base : c'est un liyperboloïde à deux nappes; h- et c- sont négatifs, a- positif.

Au lieu d'cmplo^cr i'écpuitiou 'i/i(t')=:o, nous pouvons ici abréger beaucoup; car nous connaissons les fonctions pv et p'v pour les quarts de période (t. ï, p. 5i). A propos de ces quarts de période, on a fait usage, à l'endroit cité, des notations suivantes, où nous employons des lettres majuscules pour éviter la

confusion :

Ci^ — e-. = A2, c'.j,— e^ — G^

Pour l'argument c, dont il s'agit ici, on a (en permutant lesleltres à la page 5i du tome I)

pç) — Cg = tC.V, ,pp — ey= tA(C — f'A ), pt- — f-^= — C(C — t'A).

îSa DEixife.Mi: r.vmiE. — applications.

De ces égalités, prenons la première, en remplaçant pv — pji par son expression en fonction des éléments géométriques (p. 48),

•" P [i^h- IX- 0-

Dautrc part, on a aussi (p. 48)

,__ (h'-—c'-){a^—/i'-) (b'-- c'-){a'^^bn

(gi -b-^)(c'-—h^ (o'-—bi)iri-^b'-)

Vai substituant et élevant au carré, on obtient

(62-^ c2)(62^ a'^Ya'^ -^ 6-2) = o.

Le dernier facleur peut seul être nul. Le premier, en effet, est la somme de deux termes négatifs; et, si le second était nul, Lliyperboloïde se réduirait à un point, à cause de la condition

Nous mettrons maintenant — b-, au lieu de b'-. Voici donc le résultat : Vhyperboloïde à deux nappes, dont une section p/incipale est éqidlatère,

roulant sur un plan dont la dislance au centre est b, engendre une herpolhodie algébrique.

Formons l'équation de cette berpolhodie.

Il convient d'abord de préciser A et C, dont les carrés seuls sont définis, à savoir

L'expression de Jj(('J-l- — )> donnée au tome I (p. 55), montre (jue G et «A doivent être de même signe, moyennant quoi v est égal (sauf des périodes) à to ±: -• (!)uant aux signes mêmes de ces deux quantités, il importe peu de les fixer ici; car, en les cliangeant, on passe de l'argument 10 -h 7- à l'argument co — — >

CIlAIMTin: VI. — LICNF.S r.ÉODÉSIQlES DES SLIIFACES DK Hf:V(ll.l TION. ^83

ce (lui ne consliltie, en lail , (|u une seule el iiièiiu; solution. Ce changement a pour el'fcl de ciianger seulement le signe de p\', d<' changer, j)ar eonsé([uenl, s en — î, on, en d'antres termes, le sens d'un axe. A cause de la valeur actuelle de c- = — a-, si l'on met, en outre, — //- au lieu de //-, on obtient, d'après les expressions précédentes de A- et (^-, celles-ci :

(5.) C=^,^\ iX^^-l^ = B,

en conformité avec la condition supposée b- <C «'•

Le point de départ pour le calcul sera pris dans la relation

a'i II -f- to') , /

— 1- — -—jJ c-ri " — \/p u

Changeons ii en u H- (o — --, et remplaçons, au dénominateur, iyu -h M — -'- ) par la quantité égale

- [u -^ ixi 1= — :! [a — to— — le '\ 2/.

nous aurons ainsi (en mettant l'indice |j à la place de l'indice 3)

Mais on a, d'autre part (t. I, p. 19'î),

, — ri'ti)' j iM e -

Il vient donc

co

Soil 0 l'angle polaire; on a

Il faut d'abord examiner la nalure de la constante arbitraire k. A cet effet, on peut prendre une valeur particulière de l'argumenté, par exemple. to' ; car, on se le rappelle, // — w' est réel. On a

j(io'-T-i') . ,, , „ . ,. , , 2ir,'(a)H ) 2(Yi +-^')(i)'

-L___^ g-(ÎO+r/)tO' — g2/)V— (2ï)+Y)'((.)' — g ' \ 2 / ' ' ' ' ,

j (lu)' — i-)

On voit donc qu'en prenant lorigine de l'angle 0 à cette valeur de l'argument, on aura A" = i . Posant, en outre,

lu'

Il -f- W — — = IV, '2

nous avons de la sorte, suivant (53),

P'^ — Cr^

De là nous tirons, en mettant 13 au lieu de /A (52), p(v — ^o = <-BC,

p'iw = -4B2G2fM;B2+ G^— 2BGcos4e), pw — pf = BG(<-— I) = -.iiBG^ sinaO.

Nous avons maintenant à exprimer pu en fonction de t au moyen du théorème d'addition; car on a

U = «' — eu -T- — := w -\- V 2 (0 ^ tv -i- V.

Prenons la formule d'addition sous la forme qui est indiquée à la page 29 du tome I (deuxième ligne) et qu'on peut écrire ainsi

ipw — pvfipu — cz) = {pw — ei){pv —ei){pv — e,)

^-(,pt' — ei)(vw — ei){pw — e,) — |-p'ivpV.

Elle donne, après suppression du facteur commun B-C-i-, 4sin220(pi/-ea) = (C — B)2

- 2(G — B) v/B^^G-^— '2BCCOS4O

CHAIMIIU; M. — LIGNES GÉOUÉSIQUES DES SURFACES DE IlÉ VOLUTION. îîS')

011 hicn

s'in'- A ()(p II — r,) = - — — ^ - HCcos^aO — -^ /B^-h G*— -aBC cos40.

Rclranclioiis in;iintcnanl sin- a 0(j)t' — e-.i) cl nous aurons

sin^i()(j>;^-,I.r)= ^-^^ — -~~ /B2 + C^ — i BC cos 4 0 .

Le signe devant le radical est ici précisé par celle considération que le second membre doit s'évanouir pour 0 = o, qui donne, nous l'avons vu plus haut, ?/ = (,)', et laisse, par conséquent, pu — pv fini. En mettant, à la place de B et C, leurs expressions (Sa), nous obtenons ainsi

D'après l'expression de a; zh iy^ on a

voici donc l'équation de la courbe en coordonnées polaires /', 0 : r- sin2 2 0 4- 2 Z/- = ?. \J h'* cos"- 2 0 -f- a* sin^ 2 0 .

On y retrouvera, sans difficulté, les carrés des rayons vecteurs maxima et minima, conformes à ce qui a été trouvé, en général

(p. 61), savoir — -^ — et 2(rt- — ^-), répondant à 0 ^^ o et Q = y-

La courbe affecte l'une des formes données par les fig. 3 et 4 (p. 63); l'angle compris entre les deux rayons est de 4^" et la courbe entière se compose de huit arcs égaux, hd^fig. 3 a lieu si b^ est inférieur à \a-\ c'est là/ig. 4, au contraire, dans le cas opposé. Ce résultat se reconnaît par la condition établie pour les |)oints d'inflexion (p. G4)-

286 DEIXIÈMK PARTIK. — APPLICATIONS.