CHAPITRE VII

rilOBLÈMES DI-: r.ÉODÉSIE (•).

Préambule. — Latitude réduite. — Calcul de q et des arguments. — Azimut. — Longitude. — Distance géodésique. — Cercles auxiliaires. — Développements suivant les puissances de l'excentricité. — Formules d'approximation, — Degré d'approximation. — Solution des problèmes de Géodésie.

Préambule .

Le but de ce Chapitre est (rappliquer aux lignes géodésiques tracées sur un ellipsoïde de révolution aplati, mais d'un faible aplatissement, comme est la Terre, la théorie exposée dans le Chapitre précédent.

Soit a le ravon de l'équateur, soit h la distance du centre au

ijôle. IJ aplatissement est- l*our la Terre, on admet actuellement la valeur numérique =-^ — 5-

Dans les formules^ ce n'est pas l'aplatissement qui intervient naturellement, mais Vexcentricilé, dont nous désignerons le carré par la lettre x. Nous prendrons le rayon a de l'équateur pour unité; en sorte que b- sera égal à (i — x).

Le facteur d'homogénéité t-, qui figure dans les formules du Cha-

-.TT • , 1 » I — X pitre Vl, sera pris égal a — ■

Latitude réduite.

Le ravon d'un parallèle quelconque se représente par le cosinus d'un angle A, qui s'appelle la latitude réduite. Cette dénomina-

(') A consulter: J.vconi, Solution nouvette d'un problème fondamental de Géodésie (Gesammelte Werke, t. II, p. 4'0)-

ciiAiMTUK VII. — i'H()HiJ:mi:s dk géodésie. 9.Hy

lion pro\ iciil de ce ([iic ccl aiij;lr csl un peu iiiféiiciii' ;i la latitiulc, anj^lc de la normale à l'ellipsoïde avec l'écpialcur.

Le niaxinuini do A, sur une ligne géodésique, coircs])OMtl an niininiiini du ravon du parallèle; nous le dénoterons par h. (^csl le cosinus de cel angle qui, au Chapitre VI, est désigné jiar c, ravon du parallèle auquel la ligne géodésique est tangente.

En fonction des latitudes réduites A, )v et du carré de l'excentricité X, on exprime immédiatement les éléments elliptiques conf()rmrmcnt aux formules ((), \\k) du Chapitre W. Il faut se souvenir qu'on a supposé

a-^ \ . o-^= \ — •/.. c- = cos-A, T- := 7

et que les indices a, [i, y sont, dans cet ordre, respectivement égaux à 1,2,- 3. Il en résulte

iCi — jir = I. e\ — pu = 1 — y. cos-X,

( ^3— jn- = 7. cos-A; Ci — pu = y. (cos-A — cos^À).

La quantité yiu est entre c<, et c>\ on supposera donc a — o/ réel. La (juanlité pr est inférieure à e^ ; on supposera v purement imaginaire.

Calcul de y et des arguments.

Les différences des racines e.j^ suivant les égalités (i), ont les expressions suivantes :

(•;>.) Cl— ^2=1 — /., Ci — ^3=/. siii-A, <?i — ^3 = 1 — y. cos^//.

On calculera, par leur movcn, la quantité q., comme il a été expliqué ( l. 1. p. 2-o),

Ci)

, \J \ — y. cos2 A — ^ I — y.

VI — X cos^A -+- / 1 — y.

2S8 DEUXIÈME l'AUTIK. — APPLICATIONS.

CAiiiimc X csl un nombre fort petit; on a déjà / avec une faible erreur relative, en prenant

(ia) l = ly.è\n^-/i,

ce cpii di)nnerail, pour ry, une valeur inférieure à o,ooo5siu^A. Dans la plupart des calculs, l'approximation exigée permet de négliger souvent le carré de q, et toujours son cube. Par le moyen de q, on a immédiatement les quantités ci-après (t. I, p. 271, 4o4 et 44^)> V^^^ différentes de l'unité,

V " y i — ■/.-+- y/ 1 — ■/. cos2 h

Pour calculer l'argument //, on posera

(6) u = oj -+- — \i,

et l'on emploiera le second procédé donné au tome I (p. 27a); d'où la formule

I v/i — y. cos-X — /(i — x)(i — y. cos^/i) ^ cosH -T- (/^ cos3ii -+- . .. (7)

■^- ^ i - y. cos'-l -h y/{i — y.)ii — y.cos^-h) i -^ 'iq^cos2\x -h. . .

L'argument tj compté dans l'intervalle ( o, ~ ], est dans la seconde moitié de cet intervalle. On a, en effet, suivant (i, ■2),

/ , (ei — e:i)(e,— e:i)

e-i— pv ' '

et cette quantité est supérieure à e-i — jjr = x cos-A, sauf pour les lignes géodésiques où les latitudes sont très petites. En posant donc

on a, comme il a été expliqué (t. I, p. a^3),

i-v/(i — -/Ort — xcos^r; ^ (y( V-i ^ V) -+. yii(V-3 t- ys) ^ . . .

ciiAi'irui: VII. - puoiii.i':mi;s i)i- (;Éuuf;sii'. 289

l'iir les lc)rmules(^) el (()) on poiiiiail ilôvcloppcr, Iciiiie \)nr ternie, cosU, cl \ ~' -t- V, suivant les puissances ascendantes tic x. On aura seulement besoin <lu pri-inicr ternie :

■>. sin-À , ,. 'i

( 10) COSU = — ^ — -y- — I -i-. . . , \ -1 -t- \ = - — —- — ■». -H . . . ; siiï-h su\-h

d'où Ion déduit

u -iii A i rosA I — V

(II) COS - = -: >- ~ . . . , V-' - V = — 1— ri H . . . , i-, = COS ll-r-....

■>. sin/i sni-/i I -T- V

Azimut.

La direclion de la tangente, en chaque point de la ligne géodésique, se détermine par son azimut a, compté dans le [)lan tangent, à partir du méridien. Cet azimut est le complément de l'angle que font entre elles les tangentes à la ligne géodésique et au méridien. Les cosinus des angles que ces deux droites font avec les

, ., dx dv dz ^ , ,

axes sont, pour la première, —r'> "'f ~r' ^t, pour la seconde,

— : — ^j .- ; o. ()ii a donc