I -f- V H rot À ro«a pot a

1 — V '^ :>. ' ■■* coà/i siiiÀ

Nous allons envisager encore un autre tiéveloppement relatif à la longitude, bien (pie le [)récédent soit très pro[)re à l'application.

Mais le nouveau développement a l'avantage de fournir l'expression exacle de l'angle, peu difï'érent de à, dont la tangente est

, , . cota lustement égale a -^-y*

Supposons deux points diflércnls, pris sur la ligne géodésique, et répondant aux deux arguments u et u, = u — a. En considérant les quantités Xet X,, relatives à ces deux points, nous avons

\ 3'(«i -i- r) jK l'ar la décomposition en éléments simples, on a d'ailleurs

On peut poser

(20) —IJT^ — eUd^+w)-/;]» = ^p(5t ppe(U^

et 0 est un angle réel. En effet, î^fr -f- to ) — y, est purement imaginaire (17), ainsi que r, tandis que a est réel. La quantité (ao) a donc pour conjuguée

le produit de ces deux conjuguées est pa — pv.

Remplaçant maintenant Xpar cosXe''^ etX) par cosA( e'V-, nous obtenons

(21) ^Jli:^^^'- ^]^ e 'Cl'- '^ + 0, = ^(„, ^.) r „ çj, ^ Ç(„ „j^.

Ajoutons et retranchons 'Cu\, et employons la formule d'addition de l'argument dans les fonctions C, comme il suit :

i ^"1 — "^,11 -^ U u — iii)

f tilli -r- V ) — ZUi — tv — -

I • ■ • 1 pui— iH>

Dans les seconds membres, toutes les quantités sont réelles, saufp't^ qui est purement imaginaire, en sorte que la formule (21) fournil aisément tang('i/ — 'lii +0).

ClIAl'ITRi: VII. l'ROIlLkMES DE GÉODÉSIE. 298

Nous nous IxniuTons à considérer le résultat dans le cas particulier //, =^ (o' ; 'If el }i'ff{ sont alors nuls. La première des quantités (22) se rétluit (i.), i.\) à

I p'u sinXv/t — y. r<)s2).