pu — e.i cos/j eut a

et la seconde ( i , i5) a

2 e-i — pv co«/< On a donc

siiiX\/i — 7. cos^X Si l'on pose

(23) •■l'ig'V = /' — ■/. cos^X tang('!/ — 0),

on a la définition dun angle -V, lié à a et A par l'égalité

(24) tanir6 = -^-r--

Il reste maintenant à donner le développement de l'angle 0. Le calcul est analogue à celui qu'on a fait précédemment pour -l :

A -jiv — a) „.y, , -j-tin-^v ) ■ — --1-2*- -

Ici l'argument a = u — «, se réduit à ?^ — to' ; c'est celui que nous avons tout à l'heure désigné par u' . Le développement (38) de la page /('•'-S (t. I) donne immédiatement

(iS) 0 — mu=y — ?— -

s 111 /Ml.

Distance géodésique.

La distance de deux points est la longueur de la ligne géodésique qui passe par ces deux points.

Pour origine des arcs géodésiques, nous [)reudrons, comme

29^ DFlXli-ME PARTIE. — APPLICATIONS.

pour les longiliulcs, le point où la géodésiquc louche le parallèle. L'arc géodésique a donc pour longueur (VI, lo)

^ = -^—J, — -[ei(u — (.o')-i~ lu~r;]

ou, a\ec les notations actuelles,

5 — ei «'-i- Ç(w' — u') — t/.

L'arc est ainsi exprimé en parties du ravon de l'équateur. Cette formule doit être écrite sous la forme suivante :

En employant les notations (4, 5) et, pour la dernière partie, soit la fonction Sq? soit le développement (34) du tome 1, p. 426, on obtient

1 , Q,., , it , <7 sinit — 9. <7^ sin2U-i- . . .

1 2 1 — 2<7 COSU -;- 2<7+ C0S2U . . .

= — sinu H ^ — sinau-^. . . .

La partie principale de 5 est, comme on voit, - II, dont le cosinus a lui-même, d'après (11), pour partie principale V-r' • Pour

comparer entre eux l'arc s et celui dont le cosinus a cette dernière valeur, cherchons le développement de 5', défini par l'égalité

, . , sin ).

(27) COSS = — y '

sin/i

Suivant les égalités (i, 2), nous avons

l cos-s = a)

pu pu —ei

p u — es

On a vu (t. I, p. 432) le développement de arc sin '

^pU — 63

suffit de l'appliquer ici pour obtenir

,1 V ^^ ëinpu (28) 5 = -u — 2 > — ^ — — ■ —

ciivnriti; \ii. i'U(iiti.i:Mi:s m: (if:{)!)f:sii:. 296

Ail lieu d'iiili-diliiirr les laliliidcs i-rdiiilcs ),, A, 011 |)(;iil aussi considérer les laliliides elles-mêmes, <|iic ikhis désignerons par [/. et Â'. On vérifie aisément, d'a|)rès les propm-lt-s ('lémenlaires de l'ellipse, la relation

laiii^-X - (\ — y.) tan-,'- a,

qni relie 'jl el /.. La même relation a lieu aussi entre /. et /i, (jui sont la latitude et la latitude rt'-duite du sommet de la géodésique. Cette relation peut revêtir diverses formes, par exemple

1 (i — •/. « i n - ;ji ) ( I — /. COS- X ) — i — /. , \ ( 1 — xcos-X ) siii^fJL — sin-X,

( ■■(() \ 'Il X COS^ X ) COS2 [JL — ( 1 — X j COs2 X ,

/(i — /. sin- [JL )cos2X — cos-iJi, ( ! — 7. sin-ijL) sin-X = (i — ■/.) siii^ ;jl.

A ce point de vue, au lieu de prendre s' pour terme de comparaison avec 5, on devra prendre s", en posant