CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POl R LA ROTATION DES CORPS

Dans la forimilc de sonimalion (2.>.), posons V = co^ -4- ('', u = cog ~ «', w — coy ■+- i\'' (lOa -+- Wq -4- a>y = o),

et transformons d'abord le premier membre par les calculs suivants :

^(k — co:<)e'^''" = — 3'( « + coa)<?~'""^"

=: G^(«— COy)e "^ = c'y fi j'iOyC '" '"• •,

et, de même,

Si, dans le terme de la somme (22)

on fait ces substitutions, on trouve

o f 3^y « 3^0 (i' . ::^Wa 3^tiJu j coy e ' '' '» ,

produit où les facteurs séparés par un point sont, les premiers variables d'un terme à l'autre, les seconds fixes.

Pour le second membre (2a), le facteur d devient

. Il' -^ v' ~ w' -r p . u -i- V — W p 1 • •

o Le lacteur a se transforme en celui-ci :

U -\- V — w \ V ->~ u — IV —ri-,

.yoy

Permutant circulairement les lettres v, «, w et a, [i, y, on obtient deux, transformations analogues.

Dans le produit des trois quantités analogues, l'exponentielle

contient son exposant, — ( — rjy + tijj — '/], ) = 'ri^iV, et ainsi des

autres. La transformation de l'égalité (22) donne donc (les accents supprimés)

/ cfv c'y U a'^iv ~h a" U a'rx^v (j^v -^ a' w c'p p c'a w (48) ^ V -^ u -^ w «' -J- ?/ — (V u -f- (r — V IV -^ <' — n

aa DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Dans la somme > cosa:o(cosaxt -\- icosav,), qui compose

cos;:o-^« + ^ cos^oj'i (^S), employons pour chaque terme les expressions (42, 4'^)> avec des indices zéro et un pour distinguer les quantités afférentes aux deux systèmes d'axes. Nous trouverons justement la somme (48) où </„, w),, u\ -+- v\ remplacent p, u, iv. où, de plus, a = I , [3 = 3, y = a ; cette somme est multipliée par

le facteur commun G', pr-rî mais, en outre, les termes ont des signes différents, étant affectés des facteurs respectifs ( — i)'^o+«i, ( — i)*o+*i, ( — i)''o+^i+'. Cette circonstance n'introduit aucune difficulté; la somme (48) se change en la somme actuelle si l'on prend (; = (— I )«»+". t^'o. Il = (— l)*.+^^^;, (r = (— i)'^o+^.+' {u\ -^v\). Observons maintenant que Co + ^0 +- Cq et «, + Z>i + C) sont de même parité (44)> et posons

pour conclure

' cos^o^i -1- icos^oyi

I .^ ^ "1 — ''i — [■'"o — ''^0 ^ «1 + t^i + .u^o — vt^o I J L 2 2^ J

= — uv2Cj, Y^-r , , , , ,

La quantité conjuguée s'en déduit par le changement des signes devant v\ et v'^, le changement de G', en son inverse et la multiplication par le facteur i.

On a vu précédemment que la quantité cos^o-^^i -^ ïCOS^oJKi permet de calculer un angle d^Euler (33). Prenons, en même temps, l'analogue avec échange des indices o et i, et déterminons les deux angles (^o-^o^O' (^o-^tj-^o) de telle sorte qu'ils se rapportent à un même sens de la droite z^z^. Nous avons pour cela les deux formules (33)

1 gi(;:o:„ar,) —

.COS-So^l -+- ICOSZoJKl

CtlAPITIlE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 2Ô

Le facteur réel

3*3 M 1 3'3«o JiPj JiV'o

ne change pas quand on échange les indices. Son produit par l'inverse de sin^o:?) a un signe arbitraire, comme le sinus luimême ; mais ce signe arbitraire sera le même pour les deu\ formules. Soient maintenant Oq et 0, les arguments des imaginaires G„ et G, ; soient W^ et Wo les arguments du produit <j 3'23',^3 au numérateur du second membre (49) et du produit analogue avec permutation des indices o et i.

Nous conclurons des deux formules (5o) celles-ci :

(^,^o,^i)-- =-^-+-0, --T, -^ A-it:,

avec cette condition

^1 -^ /i"o = "Il noml)re pair.

Expression des angles d'Euler.

En faisant, dans la formule (49)> sur u\, v, , G,, une quelconque des hypothèses particulières (45, 4^, 47)? et supprimant les indices zéro, on obtient

cos az -\- i cos bz = ( — i )''+i 2

e Tu"