H II — I y. C(is ), sin X cos x cos A

sur-/i

en sorte que le développement de (-1' — -l — /?? Il ) ( tuuimnce par

>C)8 TlKlXifeME PAUTIE. ArPI.lCATIONS.

un terme en /.-. La partie principale de /??(i8) est ^(V~' — V); par conséquent,

m — T y. cosA

la partie principale de U est 2,s'(28). Ainsi, en négligeant les termes du second ordre, on a

( 33 ) à = 'b' - - l y. s' cas h .

Mais, jtar le moyen de la fni-inide (19), nous pourrons plus facilement former les termes du second ordre et surlout apprécier leur grandeur. Soient

(Si) A * — I — •/., IV' — I — y. c(\<- h, C^ = 1 — X cos- \.

En négligeant seulement les quantités du quatrième ordre par rapport à ^, nous prendrons, d'après les égalités (3, 7, 9),

Considérons l'arc qui figure au second membre de la formule (19) et posons

tangv= jTTy tanSïU- En admettant les égalités (35), on trouve, par un calcul facile,

rT B2)(C2-A^)

. , Ci — A2)(B2 — C-) S'n-'f - (B2- A2)(i — C2)'

Chaque diflerence de carrés (i — lî-j, (C- — A-). . . . peut se remplacer par le rpioticnt d'une dillérence de puissances quatrièmes et d'une somme de carrés. Par les égalités (34), les puissances quatrièmes s'expriment explicitement, et l'on obtient

^•^^ ■?- (i B2XG2-hA2) • '

rB5--A2)(i--C2) .

CIIM'Illii: Ml. — PROULÈMES UK GÉODf:SIE. i.Qf)

De là se cnnclul ensuite, en prenant, par exemple, la seconde équation,

sinSç (i — B')(C2— A2) xgçQsVtsin^X

ou bien

x2 cos2 X sin2 A cos^ ij;' sin2 ■]>'

( 3()) sin2o' — sin2c3

Au point de vue du développement suivant les puissances ascendantes de X, on tire de là immédiatement les termes en x- et x^, sous la forme suivante :

36 a) o — il' — — ^y.-cos-l s\n-/i cos'V sii^y i -- -(i — cos^h -■■- cos^X) —

Par le même procédé, on peut trouver aussi les deux premiers termes du développement de la somme qui figure au second membre (19). Déjà, par les égalités (ii, 16), on a le premier terme ainsi

^2( y-i — V) sinu — jVx- cos/i sinX cosX cosa -1-. . . ; ce qui peut aussi s'écrire, en vertu de (32), sous la forme

72 (V-' — V) sinu — -}^ -/.-cos-l sin^/i cos'V sin-j^'.

Par les égalités (3j), on obtient

/ 72(V-i — Vjsinu