I 9 AP

\ (I -T- ABj(C2^ AB)(B-T-A)

(37) ' aABv/(i — AM(i-B^)(G'> — A*)(B^=^G^)

] (1 -r- AB)(C2-4- AB)( B ^ A)2 v/(T^A2)(i-^B2)(G^'-f-A2)(B2^rG2)

1 --" 3^2 x2cos2X sin-/i cos'V si ni!/' i ~ - (i -^ cos- h -^ cos2X) --....

D'après l'égalité (191, les deux r(''sulliits (36rt ) et (3j) donnent celui-ci :

•l '-mu — <^' — 3*2 >'-- cos2 X sin^A sin u-y i -r- - ( 1 - cos- /i -■- .-o'.sÀ 1

3oo DEi:xiÈMi: pautie. — applications.

Si Ton préftTC inliodiiire les laliludcs [jl, /, , au lieu des latitudes réduites )>, A, il est aisé de modifier, en conséquence, cette formule, d'après les égalités (29), et Ton trouve

(38 a ) ili — m\i = f^i' — ■— y.- cos^ a sin^A- sitia^' [1 -h ^ >'-(i -+- s'm-A -+- sin-;i.)] -+-

Des procédés analogues sont applicables pour former les développements de f)i, II, 5; mais nous ne crovons pas utile de nous y arrêter.

Formules d'approximation.

De préférence aux développements suivant les puissances de l'excentricité , on peut prendre pour formules d'approximation celles qui se sont introduites ici dès l'abord. Si l'on veut y faire disparaître la quantité auxiliaire q, on y introduira, comme tout à l'heure, en négligeant les puissances quatrièmes de g, les quantités A, B, C(34), ou encore B', C, au lieu de B et C, en posant

( 3q ) B'*^i — xsin-A=î^> C'*=i — y. s'in- 'x = -r— •

On a ainsi, suivant (18 a),

m = j X. cos h — {/. cos/i-

4 v^AB

(i-^B')v/B'(i-^A2)(A2— B'2) On trouve de même, par les égalités (3) et (7),

,, BCC^ — A2) B'(i — G'2)

(C2— AB)(B — A) (B'-^G'2)(i — B'j

- cos'-.' 5^ ^ - A KBL-"i^ C0S2." B'(i--B')(T4-B'^)

- ^"' (G2-AB)(G2+A2) -''"^ (BVG'2)(i^G'2)'

. ,, . , ,A(B — A)(B2^A2) .^„ ri ^B')!"!^ B'2) ■ in^iu = «11125 — - . ,^ ^ ^ ^ -— f = sin^i

(G2-T-AB)(G2^B2) (B'^G'2xB'2^- G'2)-

l tang2i„ = iang2,'____g =ian,^/___l^

CIIAI'ITIU: MI. — rnOBLÈMES DU liÉODÉSII'. 3oi

Enliii, pour le calcul i\v la loinuilc (2O), on a (4, 5 )

A-t-Ii A^AB'

^^ 77- "/.-SUl-/. —7 — —

4</sinu •>. ^ /( C^ — A2j(B2 — C-^) •>. ,-7 ,.,, ^.,, — 1^7-

I — 2<7Cosu B-f-Ay AB C-(i-+-Bj ' '

T"/.SMl-/t .<1IT25 ,

(B-^A)v/AB(C2-4-A2)(B2-+- C2)

■f/. sin-/i- sin>.5"

G'Hi ^ B') v/(i -^ G'2)(G'2-^ B'2)

Degré d'approximation.

Dans les formules qui viennent d'être développées, on a négligé la puissance quatrième de «7 : il est évident que, en aucun cas, des applications pratirpies ne sauraient, à beaucoup près, comporter dans les calculs un deyré d'approximation stipéricur.

Si l'on s'en lient à l'état actuel de la Géodésie, le degré d'approximation qu'on doit chercher est beaucoup moindre. Avec quelle approximation la Terre est-elle un ellipsoïde de révolution? C'est ce (pi'on ne sait pas encore. Mais, en la supposant telle, avec quelle précision connaît-on son aplatissement? Ici la réponseest certaine. L'erreur relative à craindre sur l'aplatissement est, au moins, 3^, ce qui est, à peu près, la valeur numérique de T,y- On ne connaît pas, d'ailleurs, le sens de cette erreur.

Examinons l'expression (4<') du coefficient m. Nous avons

m 4 i/AB , ,

— = I -i-^x(i -T- cos- //)+... .

-^/.cos/i (A -4- B) /(i + A2)(i -f- B-2)

En prenant l'uni te'; pour valeur approchée du second membre, on commet une erreur relative comparable à celle qui, dans un sens inconnu, altère déjà la partie principale de ni. C'en est assez pour rendre à peu près illusoire, quanta présent, toute tentative de substituer à |y. cosA une autre expression de /;/, plus approchée.

3o2 UELXIÈME l'AUTIE. — APPLICATIONS.

En même temps, tous les termes du second ordre, dans la formule (38 a), apparaissent comme dénués d'utilité. Cette formule serait alors réduite à

(44) <!^^^'y—}y.s'cosh.

Pour l'expression de l'arc géodésique, on obtient une formule assez élégante comme il suit. Les égalités ('28) et (3i) donnent

On a ainsi les expressions approchées

H = s'^- s", 'iqsmvi = s' — s",

et la formide (26) donne celle-ci :

Malgré ces considérations, il y a encore grand intérêt, même |)Our la pratique, à employer des formules plus approchées, notamment pour des calculs qui se rapportent à une portion limitée de la Terre. Dans la solution des problèmes, telle que nous allons maintenant l'indiquer, on trouverait facilement le moyen d'obtenir une approximation aussi grande qu'on voudrait, sous réserve de la connaissance plus exacte de l'aplatissement.

Solution des problèmes de Géodésie.

Dans les divers problèmes qui intéressent la Géodésie, il s'agit toujours d'un arc géodésique limité à deux points. Les éléments à considérer sont alors les latitudes et la différence de longitude de ces deux points, la longueur de l'arc et les azimuts aux extrémités. Parmi ces six éléments, on peut en donner trois et chercher les trois autres. En tenant compte de quatre cas où les données sont symétriques par rapport aux deux extrémités, on voit qu'il y a douze problèmes différents, dont on peut désirer la solution.

CIlAIMTIii: vil. l'UOIlLfe.MI'S UK (ifiOUÉSIlC. 3o3

Suivant les notalions di'jà «•ni[)lovcos, soient, j)Oui' l'une des extrémités, UL la latitude, a la/.inuil, s l'arc i;éodési(jue et 'l la longitude, ces deux derniers étant comptés à partir d'un sommet; soient, pour l'autre extr<'mité, u,, a,, .s,, -i, les éléments analogues. Les données sont trois des six éléments y., a, y.,, a,, s - .s,.

On doit disliuguer d'abord les problèmes où, parmi les données, se trouvent y. el a. Effectivement, de la longitude <j. on déduit immédiatement la longitude réduite A, puis // par l'égalité (12). On peut donc calculer rj et Y par les formules (3) et (9), ainsi que U par la formule ( -). Si la li'oisiènie donnée esl |jl, ou a,, on obtient X| soit au moyen de a,, soit au ii)o\en de a, par l'égalité (12). On peut calculer U,. Avec cj, \, U, U,, on calculera 5, s,, 6 et 'l,.

Si la troisième donnée est s — .Vi ou 'l — 'i/, , le mode de solution est différent. Supposons que la donnée soit s — .V) = S. On peut tirer U, de l'égalité (26), (pii donne

hh= ^ {S — S)- — ^^/(ui), «iniii — 0.73 sin 9.111 ...

I — Uf/ cosui . . .

Nous avons ici une écjuation analogue à celle qui, dans l'étude du mouvement des planètes, se rencontre ])Our le calcul de l'anomalie excentrique. Ce serait la même équation, si l'on bornait y (il, ) au seul terme sin tli , (jui en est très voisin. On la résout, soit par approximations successives, soit par la série de Lagrange, ce qui n'offre aucune difficulié, vu la petitesse de q. Connaissant U,, on peut calculer 'l, comme dans le cas précédent. On pourra aussi calculer la latitude réduite h, ou la latitude |j., parla formule ( j). Mais, pour la pratique, ce calcul serait désavantageux. Il fournirait, en effet, a, par l'intermédiaire de i — xcos-A, ; et l'on serait obligé de calculer cette dernière quantité avec une approximation supérieure à celle que l'on veut obtenir pour cos-)., . Pour éviter cet inconvénient, au lieu d'enq^loyer la formule (7) qui détermine et--j)/^(, on prendra une formule propre à déterminer, soit Co — ,P''i) soit ^3 — JJ'^i, celle-ci, par exemple,

e» — p«i sin- À] Ci — €3 sin- A

3o.'| DEUXitMi: l'AKIli:. - Al'I'LlC.VTIONS.

(|ui doimo aisi'im'iil )., vn ronclion de a,. Ce mode de soliiliou s'inler[)rèU' d une mamère inU'-iessanle. D'après la formide (2- </), on voit qu'on iiilroduil ici lare (,1e cercle auxiliaire .s', . Cet arc peut aussi se trouver au inoven de la série (îiS), et U, doit alors èlre considéré connue |)erniellanl le ealcid d'une i-orrceliou par la(juelle on passe de S[ =.v — S à s\. Si Ton envisage U de la même manière, on peut considérer S'=.s' — s\ comme déduit de la donnée S au moyen d'une correction aisée à calculer. Ayant S', il est naturel d'achever le calcul au moyen du premier cercle auxiliaire, c'est-à-dire résoudre le triangle sphérique P'M'M', , où Ton connaîtra deux côtés, P'M':= - — ). et M'M', ^= S', avec l'angle compris, qui est a. On eu di'duit le coté P'M, =^ ~ — ).,, l'angle en

M'p qui est a,, puis l'angle en P', qui est -1/, — 'b\. De ce dernier, on conclura 'i — àt au moyen d'une correction, fournie par la formule (38 a).

On peut tout aussi bien employer, pour cette solution, le second cercle auxiliaire. C'est alors la formule (3i) qui fournira la correction au moyen de laquelle on passera de l'arc S à l'arc S" = 5" — -/, . On aura à résoudre un triangle sphérique dont les

côtés sont " — [JL, S" et l'angle compris a", déduit de a par l'égalité (Sa). La résolution de ce triangle fournit encore 'V — •l\y. comme tout à l'heure, ainsi que |jL| et a,.

Pour l'application, ces deux procédés paraissent équivalents. Dans le [)remier, on trouve directement l'azimut a,, mais il faut remonter de la latitude réduite A, à la latitude |j., ; dans le second, il faut remonter de y'\ à a,, mais on a directement la latitude [jL). Le premier de ces deux procédés est celui qui a été développé par* Jacobi.

Les deux premières données étant encore a et a, supposons que la troisième donnée soit 'l — -i/, = W. Après avoir calculé à comme tout à l'heure, on a, par l'égalité (191,

tang^Ui= — -^tang[-^ — v^'-T-o(Ul)]•

;(Ulj= mui-f- ^^^ ^ ( V ~^ ) ~'""'