CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'lN ANNEAU ELLIPTIQUE

ce qui est le coefficienl de u dans le second membre l'ai ). De là celle conséquence

qui [)ermeL de Iransfornicr lexpression (Mi) de 'I> en celle-ci : (24) A* - (r, - ^ "' o>) M - ^- ^^'- (A;6 - 3o).

Suivant le résultat obtenu au tome 1 (p. "ii'S), la demi-période va être exprimée en fonction de l'invariant absolu J, j)ar l'intermédiaire de la quantité suivante :

(>'esl w v4o^ ^1"' s'offre naturellement^ soit donc

(26) oy'i/7;j, = W{i).

En employant, comme au Chapitre IX du tome I, l'opération \J,

on a (t. I, p. 307)

et Ton doit observer que le discriminant A des fonctions elliptiques esl ici le même que la quantité désignée déjà par cette lettre; c'est ce qui résulte de la définition (19), comparée à celle du discriminant des fonctions elliptiques (t. I, p. aà),

{ei — eî)^ei— e-^ )2( <?3 — e, )- = rè A,

les din'érences des racines e» et celles des racines p, //, /• se confondant les unes avec les autres ( i4)- Des é<{uations précédentes, il résulte

r, = oj — z^ U ( ; ).

''■ *'2 g'^ /4 gi

02?. DEUXIÈME PARTIK. — APPLICATIONS.

En moUanl celte expression de r, dans l'cgalilé (24), remplaçant aussi M par son expression (20) en iji., (o par l'expression (26), on obtient

Il ne reste plus qu'à exprimer W en série hypergéométriquepour avoir la formule définitive.

Discussion.

La fonction H' s'exprime par la somme de deux séries hypergéométriques, comme il suit (t. I, p. 343) : soient P et P, les deux séries hypergéométriques contenant seulement les puissances à exposants entiers et positifs de ^, A et B deux transcendantes numériques, on a

(28) ^r = -2AP-BPiV'l^-

La formule, empruntée au tome I (loco citato), contient une ambiguïté de signe, que nous reportons ici sur la racine carrée. On a vu que le signe du second terme doit être contraire à celui de ^3, pour que l'on obtienne effectivement, comme il le faut ici,

<-) et non — • Il faudra donc prendre y,^|; du même signe que ^3.

Dans notre analyse, nous avons supposé /13 positif, ce qui était permis. La supposition inverse, également permise, aurait conduit à une analyse à peine difïérente. Il convient, dans le résultat, de faire disparaître cette supposition.

Le second membre de la formule (27) présente, comme il le faut, une homogénéité par rapport aux quantités/?, q, r ('), La quantité entre crochets est homogène et du degré i ; elle se reproduit, changée seulement de signe, quand on change les signes de /?, q, r en conservant les valeurs absolues. Ceci a lieu, bien

(') En communiquant les résultats de ces recherches à l'Académie des Sciences ( Comptes rendus, t. CIII, p. 36G), l'auteur avait, par inadvertance, omis un dénominateur g^ au premier terme du crochet (27), ce qui troublait, à tort, l'homogénéité et conduisait à une ambiguïté de signe entièrement erronée.

ClIAPITIli: Mil. — ATTRACTION I)'l\ ANNEAU ELLIPTIQUE. 3ît3

cnlcndii, à condilion (jiu; M'(^;) ne soil piis alli'ré, comme cflcclivemenl cela se produit pour ç. H faudra donc, en même temps, chan<:^er le sii;ne de y/^;, puisque P, ne subit aucune all('ralion. Ainsi, levant toute restriction sur les signes de />, y, y, on doit prendre ^/^; du même signe que /laA's.

I"'n mettant, au dehors du crochet dans la formule (27), \kl au lieu de \ />"3, on a disposé cette formule j)our permettre d'y supposer A3 négatif. Elle est donc affranchie maintenant de toute restriction sur les signes de/?, rj, r.

Nous avons encore à examiner la formule qui doit remplacer la précédente (28), quand on veut développer W suivant les puissances ascendantes de H| = ^ ? au lien de ; = — j — • Ceci est nécessaire quand ^ est voisin de l'unité.

Deux développements très différents représentent les deux demi-périodes quand on emploie ç, au lieu de \ (t. I, p. 3/j4)- L'un d'eux, composé d'une seule série hypergéométrique, conserve une valeur finie et se réduit à son premier terme, quand Ç| devient nul. L'autre, au contraire, où la série hvpergéométrique est multipliée par le logarithme de Ç|, devient alors infini. Le premier de ces développements corresj)ond au cas où les deux termes du second membre ('>-8) sont de signes opposés ; le second correspond à l'autre cas. Ce sera donc le premier ou le second développement qui conviendra suivant que A'^/^'s sera positif ou négatif.

Le second développement, on vient de le rappeler, donne lieu, pour ;, = o, à des valeurs infiniment grandes pour les coefficients de la forme *\}. La force attractive est infiniment grande; l'hypothèse correspondante se rapporte donc au cas où le point attiré est situé sur l'orbite attirante. Quant au premier développement, si l'on y suppose ^1 = o, on obtient le résultat qui correspond au cas où deux des (piantités /), y, /• sont égales entre elles : le eùnc; est de révolution.

Sur l'usage de la fonction •!'.

Mise sous la forme (27), la fonction <I> a une expression que l'on peut regarder comme indépendante des axes de coordonnées.

Sa/J DEUXIÈME PARTIE. — Al'PLICATIONS.

I^ffecllvcmenl, pour les polynômes '},/, f et les coefficients A-, on connaît des expressions indépendantes des axes; ce sont des covarianls et des invariants, dont nous allons d'ailleurs parler dans un inslanl. Supposons donc $ ainsi exprimé au moyen de coordonnées (juciconques X, ^ , Z. Soient

3" = «X -i- a' Y -H rt"Z, y =bX-{- b'Y ^ //Z, z = cX -h c'y -i- c"Z

les formules du changement de coordonnées. Elles donnent

o\ ùx Oy Oz

Puisque -T— > -^> -T- sont les proiections rectangulaires de 1 at- ^ ox oy Oz 1 J o

traction sur les axes des x^y^ z^ et (jue ces derniers sont rectan-

gulaires, on voit que -^ est aussi la projection rectangulaire de

l'attraction sur l'axe des coordonnées X. Ainsi, avec des coordonnées rectilignes cjnelconques, les trois dérivées partielles de ^ par rapport à ces coordonnées représentent les projections rectangulaires de l'attraction sur les trois axes de coordonnées. Ce sont les composantes, si les axes sont rectangulaires.

Résumé de la solution.

La manière dont se composent les polynômes ']>, f, o et les coefficients A' va se trouver mise en évidence dans le résumé suivant, où, bien entendu, les coordonnées sont supposées quelconques :

i" La forme quadratique >)j représente le carré de la distance d'un ])olnt à roriglne des coordonnées.

2" La forme/, égalée à zéro, représente un cône égal et homothélique à celui qui a pour hase l'orhile et pour sommet le point attiré. Elle n'est déterminée qu'à un facteur constant près; cette indétermination disparaît dans la formule finale, qui est homogène et du degré zéro par rapport aux coefficients de/.