CHAPITRE VIII. - ATTRACTION DLN A.NXEAl F.LLIPTIQIK

quences des éléments de la Géométrie analytique; a, |j, -' désignent les coordonnées du point attiré :

(^T — oizy- ('(r—'jizi-^

A-, = a*-f-6*— aî- ?*— Y",

On voit que, dans le coeflicicnt qui afFeclc l'expression de <I>, l;i

quantité -r y Xjj se réduit à ab, en sorte que la formule s'applique

aussi, comme il convient, au cas où le point attiré est dans le plan de l'orbite.

Pour avoir les composantes de l'attraction, il faudra, dans les dérivées partielles de 4>, remplacer x, y, z par les projections de la distance du foyer au point attiré, prises sur les trois axes.

Le cas où g^ est nul répond à la formule très simple

-=3:5ïv/f-.^-'^'-

Le lieu du sommet du cône, pour ce cas, est une surface du sixième degré.

Quand le cône est de révolution (et le lieu du sommet, pour ce cas, est, comme on sait, une hyperbole), la formule devient

Remarques sur les covariants.

Revenons aux formules de début et dénotons par une seule lettre chacun des déterminants, tels que (y dz — -dy) :

a —- y dz — - f/>-, b = z dx — x dz, c — x dy — y dx.

Mettons encore •>, au lieu de x--H i'-— z-, et \'\'j.-. au lieu de X, .... On a ainsi

5 '^hd^^—{aXQ-^by,,--cZs^yjj:'l ~- .

3j>.8 deuxième partie. — applications.

Posant alors

on en conclut

\hd<i' = (axo-^ hyo-^ czo){xo'\>'u.-\-yo'!(i'y-^ Zo'\>':)'\i ^

Celte dilTéreulielle d^, en vertu des égalités (5), est bien celle dont l'intégrale donne la fonction <I> envisagée plus haut. Son expression se présente actuellement comme étant celle d'un covariaul, tel qu'on les considère dans la théorie des formes homogènes. On peut j envisager ^j; comme une forme quadratique quelconque, (j^ij', ^) et (xo, j)^oj ^o) comme deux systèmes de variables cogrédientes ou coordonnées de deux points, (a, 6, c) comme un système de variables contragrédientes ou coordonnées d'une droite. Pour faire de ce covariant la différentielle précédente, on doit considérer cette droite comme la tangente variable d'une courbe /^= o, le point de contact étant (x, y, z). Dans le problème ci-dessus, la courbe f = o était une conique. L'intégrale, proposée de cette manière, devait donc apparaître comme un covariant de deux formes quadratiques, renfermant les seules variables Xq, y^, ^o- C'est effectivement ce qu'on a trouvé ; ce covariant est une forme quadratique à coefficients transcendants.

A ce point de vue, il faut seulement remarquer qu'on a supposé, pour la forme '|, un discriminant égal à l'unité; mais cette hypothèse n'introduit aucune restriction et on la fait disparaître en divisant •} par la racine cubique de son discriminant. Il conviendrait aussi de remplacer cp par un covariant, ce qui est facile, comme on le verra dans le Chapitre X. Le sujet qu'on y traitera est tout géométrique ; il se rapporte à la ligure composée de deux coniques situées dans un même plan. Très différent par sa nature apparente et par son origine, il se relie étroitement au sujet qui a fait l'objet du présent Chapitre.