CHAPITRE IX

ÉQU.^TION DELLER.

Relation entre deux fonctions clliplique». — Équation doublement linéaire. — Équation doublement quadratique. — Équation doublement quadratique <'l symétrique. — Équation doublement quadratique et dissymétrique. — Equation dissymétrique déduite d'une équation symétrique. — Invariants. — Equation caractéristique. — Equation d'Euler — Première manière de former l'intégrale. — Autres formes de l'intégrale. — Formes doublement quadratiques de l'intégrale. — Réduction des intégrales elliptiques à la forme normale. — Première réduction. — Deuxième réduction. — Troisième réduction. — P'ormule de duplication. — Propriétés des polynômes du quatrième degré. — Discriminant des équations doublement quadratiques.

Relation entre deux fonctions elliptiques.

Pour abré-j^cr le langage, nous désignerons, dans ce Chapitre, par le nom de /onction elliptique toute fonction fractionnaire cl doublement périodique. C'est donc une fonction rationnelle quelconque de pu et p'u. Ayant à considérer, à la fois, plusieurs fonctions de même nature et des mêmes périodes, nous omettrons aussi de mentionner cette coïncidence des périodes, qui sera toujours sous-entendue. Parlant donc de deux fonctions elliptiques avec même argument u, il sera convenu qu'il s'agit de deux fonctions rationnelles de pu et p'u.

Comme p'u est fonction algébrique de pu, deux fonctions elliptiques, au même argument u, dépendent algébriquement d'une même variable p«/; elles sont donc liées par une relation algébrique.

Toute fonction elliptique a autant de racines que de pôles (t. I, p. 21 3), Soit X une telle fonction, ayant m pôles. La fonction X — Xq, qui a m pôles, a aussi m racines, quelle (pie soit la constante Xq. Ainsi, à chaque valeur de x répondent ni valeurs de u, à des périodes près. Soit y une autre fonction ellipti(pic de ?/,

33o DEUXIÈME l'ARTIK. — APPLICATIONS.

avanl n pôles. A chaque valeur de j' répondenl n valeurs de u. A chaque valeur de u répond d'ailleurs une seule valeur, soit de x, soil de y. Donc à chaque valeur de x répondent m valeurs àe y\ à chaque valeur àe y répondent n valeurs de x. Ceci caractérise les degrés de x et àe y dans l'équation algébrique, qui, liant ces variables, résulte de l'élimination de pu. Ainsi deux fonctions elliptiques x et y, au tnême argument, et qui ont, la première m pôles, la seconde n pôles , sont liées par une équation du degré m en y et du degré n en x.

Par exemple, soit x une fonction à deux pùlcs et soit y sa dérivée. Celle-ci a les mêmes pôles, mais doubles, soit quatre pôles. La relation est donc du second degré en y et du quatrième degré en X. Soit w la somme des infinis de la fonction x. La somme des racines de la fonction x — x^^ est aussi égale à(v(t. I,p. 2i5). Par conséquent, x ne change point par le changement de u en »• — u. Comme y est la dérivée de x par rapport à u^ ce même changement transforme y en — y. La relation entre x et jk ne contient donc y qu'au carré. Enfin, puisque x et y deviennent infinis ensemble, le terme du plus haut degré, en y^ a pour coefficient une constante, et de même pour x. La relation a donc la forme suivante :

{ -r~ ) =^ = cIqx'* -^ ^aiT^ -]~ QiaiX- A- '\ a^x -i- «4.

Effectivement nous avons déjà vu (t. I, p. 120) que toute équation de cette forme est vérifiée par une fonction elliptique à deux pôles. L'argument u n'est déterminé qu'à une constante additive près ; c'est la constante d'intégration.

En supposant que les pôles de x coïncident, que x n'ait plus qu'un seul pôle, mais double, on voit que ^)' n'a plus qu'un pôle triple; le polynôme X s'abaisse alors au troisième degré. C'est ce qui arrive, en effet, comme nous le savons bien, pour la fonction y. pu -f- [ii.

Revenons à une fonction x quelconque, ayant m pôles. Grâce à la décomposition en éléments simples (t. I, p. 2o5) ou à la décomposition en produit de fonctions i (t. 1, p. 21 3), nous savons qu'elle est définie par im constantes, les invariants étant connus. L'ensemble de cette fonction x et d'une seconde fonction jk ayant,

t;iiAriTiiE i\. — f.(jiATi()> u'klleu. 33 1

celle-ci, n pôles, sera donc délinie par i {^ni -\- n) constanles. Si l'on veut aussi envisager les invariants comme non donnés, il laul compter deux constanles en plus; mais si, en même temps, on doit éliminer l'argument, il faut observer (jue u peut, sans changement pour la relation entre les deux fonctions, être remplacé j)ar au — b\ de là Jeux constantes en moins. La relalioii entre x Qiy dépend donc de ai m + n) conslantes.

D'autre [)art, l'écpialion la plus générale, du degré n en x et du degré m en y, qui contient (//« -j- i) (/? -h i) termes, dépend donc de mn -\- ni-{- n constantes, nombre supérieur au précédent, saul dans le cas le plus simple de tous, celui où l'on a m =: /i = 2. En ce dernier cas, on trouve, de part et d'autre, huit constantes.

Il est donc certain qu'une équation quelconque, du degré n en X et du degré m en y, n'est pas la traduction de la liaison entre deux fonctions elliptiques, sauf au cas m ^= ?i^= 1. Mais, pour ce dernier cas, il reste à s'assurer si ellectivemenl, comme le nombre des constantes le donne à penser, toute équation, du second degré par rapport à deux variables séparément, traduit la liaison entre deux fonctions elliptiques, au même argument.

Cette proposition est exacte et nous allons l'établir. Nous commencerons par examiner un cas particulier.

Équation doublement linéaire.

Considérons une fonction elliptique à deux pôles, /(")■ Soit w la somme des infinis : l'expression en produit a la forme

•^^"'"" ''crCw — Y)3'(«--Y-w')'

Nous la donnons ici pour bien rappeler qu'à un facteur constant près, c, une telle fonction, quand w est connu, est enticremenl déterminée par une racine Jj et un infini y.

Soit donc/, («) une autre fonction à deux pôles et qui ait même somme w pour ses deux infinis. Les deux fonctions

^i(")-/i(?) «-'i /.(«>-/,(v) sont encore de même espèce (à deux pôles, avec \v pour somme de

leurs infinis), cl elles ont les mêmes pùlcs que/, (a). Mais, dans leur quotient, les pôles de/, (u) disparaissent, et ce quotient est une fonction à deux pôles, avec w pour somme des infinis. Il a la racine ^ cl l'infini y. C'est âonc f{u), à un facteur constant près :

Il Y a donc entre y"(«) et/, («) une équation doublement lint'aire. Cette équation est d'ailleurs quelconque, car les constantes ^"/«(?) ^^ f^Ky) peuvent cire choisies à volonté. Ainsi toute équation du premier degré entre deux variables séparément (ou doublement linéaire)

( I ) axy -~ bx -'- cy -'■- /» = o

traduit la relation entre deux fonctions elliptiques à deux pôles et pour lesquelles les sommes des injînis coïncident entre elles.

Déjà, sans l'aide des fonctions j, on a vu [t. I, Cli. I\ , p. 1 16, éq. (46)] que/(«i) s'exprime par une fonction rationnelle du premier degré en p{u — ^w). On pourrait, par là, établir aussi la proposition précédente, f\{u) s'exprimant aussi par une fonction rationnelle du premier degré en p(^u — \ w).

On se rend aisément compte de la manière suivant laquelle la relation, qui, en général, est du second degré par rapport à chacune des deux fonctions à deux pùles, se réduit au premier degré quand ces fonctions ont même somme pour leurs infinis. A chaque valeur x^ de x répondent, pour w, deux valeurs u^ et (v — Uq. En général, ces deux valeurs de u donnent deux valeurs distinctes pour y. Mais, quand w est aussi la somme des infinis de y^ ces deux valeurs dey coïncident entre elles. Ainsi, pour ce cas particulier, le premier membre de l'équation, du second degré en x et y séparément, devient un carré. C'est ainsi que l'équation se réduit à la forme linéaire.

Considérons maintenant deux fondions /(w) el/,(u), encore à deux pôles, mais avant des sommes d'infinis différentes, w et (v,.

La fonction fin- -' 1 est aussi à deux pôles, mais la somme

de ses infinis est »•,, comme pour/,(M). Par conséquent, /(;<)

ciiArnui: ix. - ÉyL'ATio> d'kii.kk. 333

et J\ {il) étant deux fo net ion s elliptiques (lueleonifues à deux pôles, il existe une équatio/i doublement linéaire (i) telle que si Von y met x =/{u), \- =J\{ui), il en résulte que la différence des arguments u et w, est constante, et égale à la (lemi-dllTérence ^{^v — <v,) des sommes des infinis des deux fonclions. On peut, à volonté, dire aussi cjue la somme des arguments u et Ui est constante, égale à j(tv + (t-,), puisque le changement de u en w — u n'altère [)as /(^z).

Équation doublement quadratique.

On appelle ainsi l'équation du second degré par rapport à deux \ariables séparément. Elle a neuf termes, dont chacun peut être distingué par les exposants m, n de x el y. Soit (m, n) le coefficient du terme en x'"y" . L'équation peut se rej)résenter abréviali\ement ainsi

•^ Il \

Ordonnons F de deux manières, par rapport à x ou par rapport à )', ce qui donne

F = Xy'^+xMy^C = X' x^- -i- iB' x -t- G' .

Les coefficients A, B, C sont des polynômes du second degré en x; A', B', C sont des polynômes du second degré en j)', par exemple

La denii-dérivée partielle de F, par rapport à i', est \y -+- B; mais, si xety vérifient l'équation F = o, on a

\j' -+- B = ^ v/B2— AC.

Même observation étant faite pour la dérivée par rapport à .r, on voit que l'équation F = o conduit à l'équation dilîércnlielle

(/y /B2— AC rir dx /ir^— A'C =^ o.

Soient

B2— AG = X, li'2— A'G'=Y.

X est un polynôme du quatrième degré en x, \ un polynôme du (pialrièmc degré en j', et nous avons l'équation difTérentielle

dx ^ (Iy

où les variables sont séparées. Nous allons d'abord examiner le cas où l'équation F = o est symétrique en x ely.

Équation doublement quadratique et symétrique.

La symétrie de l'équation exige la symétrie du polynôme F; si, on elTet, la transposition de x et y altérait le polynôme, ce ne pourrait être qu'en le reproduisant changé de signe, cas dans lequel F contiendrait le facteur (.r —y) et s'abaisserait au premier degré. Ce cas n'est pas à considérer.

La symétrie de F réduit à six le nombre des coefficients dislincts et se traduit par les relations

Les polynômes X et Y ne difTèrent plus que par les variables qui y figurent ; ils ont mêmes coefficients.

Nous venons de rappeler qu'au polynôme X, du quatrième degré, est liée une fonction elliptique à deux pôles /(«), telle que, si l'on prend x=/{u), il en résulte

■dr

■ — = fin.

Si, en même temps, on pose y = f(ni), l'équation (2) se change en du ± clut = o et fournit l'intégrale u± u^ = constante. Si, comme précédemment, w désigne la somme des infinis de /(m), cette fonction ne change point par le changement de u en \v — u. On peut donc, à volonté, considérer comme constante, soit la somme, soit la difi'érence des arguments u et iCt.

Ainsi, toute ér/ualion doublement quadratique et, de plus,

cn.vrmu; i\. — éqlation d'eller. 335

symélrùjuc, eupriinc la relu Lion entre f [a) el/{u H- \J), fêlant une fonction elliptique à deux pôles, u l argument variable et U une constante.

C'est, pour le cas purllciilier où il y a symétrie, la proposition ([u'il s'agissait de prouver. Avant de ])asser au cas général, prenons pour exemple ré({uati()n qui lie pu et j)(m-|-L). Envisageons les trois arguments u, — (m -H U) et U, dont la somme est nulle. Soient

Par le théorème d'addition (t. I, p. 3o), nous savons que la liaison entre Jc, y, z se traduit par le fait suivant : on peut déterminer deux quantités a et 6, telles que l'équation

ait X, )', :^ pour racines. 11 en résulte

-i ( J^y ^y^ -^zx)~ gi^ — iab, !ixyz — g^^b\

La relation demandée s'obtient par ('limination de a eV b\ (;'est

(x-^-y -r'Z){^xyz — gi) = {xy -~ yz -{- zx -\- {g-i)-.

On y doit considérera comme une constante, aussi bien que g.^ et ^3. Voici maintenant une conséquence. Revenons à une fonction fin), encore à deux pôles, mais quelconque, ayant \v pour somme de ses infinis. On a rappelé tout à l'heure que/(«) s'exprime par une fraction du premier degré en jd(w — ^ ^'^^)- Soit

J ^ / Il 1 \ 0/

cette fraction. Si Ton pose *

u — .V w — m', x' = p u\ X — fu,

on peut dire qu'une substitution linéaire, remplaçant x par

336 DEUXIÈME PAKTIE. — APPLICATIONS.

change /(//) on pu'. Considérons, en même lemps, comme loul à Vheuve, y = J\a -+- U) et efTecliions sur r la même substilullon. Celle subslilullon remplace j)' par

Nous obtenons donc le résultat suivant :

Alt moyen d^ une substitution linéaire, remplaçant

(3) X par -, 7-7 et y par -^ -'-,>

toute équation du second degré, en x et y séparéntent , et, de plus, symétrique, peut être réduite à la forme

(4) {30 -^ y ^ z){ \xyz — gi) = {xy -\- yz -^ zx -^ !^2)S

OÙ z, g2i gi sont des constantes. Ces constantes, on le voit, sont des invariants de l'équation pour les substitutions linéaires opérées simultanément sur les deux variables; mais ce sont des invariants relatifs, non pas des invariants absolus. Effectivement, si, dans l'équation (4), on remplace à la fois x, j', z-, g2, ga par ox, ay, az, a- g->-, cc^ g%i l'équation reste inaltérée. Il y a donc seulement deux invariants absolus. Nous en reparlerons un peu plus loin.

La substitution (3) est une quelconque de celles au mojen desquelles le polynôme X se change, à un facteur constant près, en

Si l'on se reporte au Chapitre IV du tome J (p. lo»), on verra que, pour connaître ces substitutions, il faut résoudre l'équation X=o.

Équation doublement quadratique et dissymétrique.

Prenons maintenant le cas général, où F n'est point symétrique. l*our une valeur quelconque de y, considérons les deux racines x et X, de l'équation F = o. La seconde racine Xt donne lieu, elle

ciivi'iTKi: i\. — fiQL'.vTioN d'kilkk. 337

aussi, à l'équation diflerenticllc (i), où .r sera remplacé par ./•,. cl Ton (Ml (lédinl

dx d.rx

Les doux polynômes X cl X, ont ici mêmes coefficients; j: et .r, SDDl donc des fonctions elliptiques d'un même argument «, composées comme dans le cas où il v a symétrie. Mais, par les deux éipialions

\y- -^ "iiiy -^ G — o,

A,j-2-+- ■iBiy-+- Gi = o,

dont la seconde est obtenue en mettant a'i au lieu de :r, on peut exprimer r en fonction rationnelle de x el x^ Donc r est aussi une fonction elliptique de u. et il est prouvé efifectivemenl que toute équation doublement quadratique traduit la liaison entre deux fonctions elliptiques d'un même argument.

La fonction y est, comme x, à deux pôles, puisque l'équation est du second degré en x. C'est ce qu'on peut rcconnailrc aussi l'u tirant des équations (5j

' - AG,— CAi , ÇBj— BG ,