BA, — AB,)' ^'~" BA,— \B

(ïliacun des trois déterminants BA, — AU,, etc.. c>l divisible par X — Xi et le quotient a la forme pxXf + q(x -\- Xf ) -^ /•. En \ substituant, pour x et j:,, les expressions /"(«) et /"(// + U), on obtient une fonction à quatre pôles. Ces pôles sont les mêmes pour les trois fonctions qui proviennent des trois déterminants, en sorte que 1' et y- se présentent, tous deux, comme des lunclions à quatre pôles au jilus , puisque les infinis communs aux deux termes d'une même fraction disparaissent de cette fraction. Comme jK' a quatre pôles, au plus, )' n'en peut avoir plus de deux et les a elTectivement, puisqu'une fonction elli[)ti(juc n'en |)eul avoir moins.

Soit w la somme des infinis de /(//); la somme correspondante. pour /{u-\- U), est tr — y. U. Par suite, 2((r — U) est la somme des infinis de pxXi -\~ q(x -^ x,) + r; c'est aussi la somme des infinis de la fonction y'-. Donc, pour )-, la somme des infinis est

338 DEUXIÈME PAUTIK. — APPLICATIONS.

(,v' — U). La demi-difTérence entre cette somme et la somme ir, relative à f{u), est ^U. Si donc on pose x' ^=f{u + ^ U), il existe, suivant une proposition précédente (p. 332), une relation double- !iicn( linéaire entre^ et x'. Que l'on exprime, de cetle façon, j^ au movcn de x' , l'équation F =: o se transforme en une autre, du second degré également, par rapport aux deux variables x, x' . Mais, puisqu'on a

(6) x=fiu), .r'=/(«-f-iU),

cette transformée est symétrique. Ainsi, une équation dissymétrique peut être transformée en une équation symétrique au moyen d\ine substitution linéaire appliquée à une seule variable. Soit maintenant

Y a^ -4- 0 une telle substitution. On en conclut

'i [x' ) étant un polynôme du quatrième degré. De là Mais on a déjà

dy N. > , V «^fa'

Il en résulte 'i ( x') = (vo' — ov')-X', ce qui prouve que X' est le transformé de \ par la substitution ('j). Ainsi, F étant un polynôme quelconque en x et y séparément,

les deux polynômes du quatrième degré X = B- — AC et Y = B'- — A'C pement être transformés l'un dans l'autre par une substitution linéaire, qui, en même temps, donne, pour F, un transformé symétrique.

CIIAPITHK IX. — I\>LATIUN u'i-l I.KU. 33q

Équation dissymétrique, déduite d'une équation symétrique.

Vav la considération <lc.s deux racines x, Xt, fjui r<'pondenl à une même valeur de r, nous venons de voir que d'une équation dissymétrique on (ir-diiil une <''(|uation s\ niétri([ue. 11 est fort remar- ([uable que l'opération inverse puisse être faite sans indélerininalion, sauf une substitution linéaire, opérée sur j)'.

Soit une équation symétrique du second degré en x et x, séparément, l'allé comprend les termes suivants

.r- X'\ , XXi (x-h Xi)j J7- -i- vTf , XXi , X -i- Xi

et un terme constant. Posons

ç = xxi , r, = X -.- X, .

L'équation se change en une équation ordinaire, du second degré, en ; et r, pris ensemble. On peut, comme on sait, exprimer ç et r, en fonction rationnelle d'un paramètre jk sous la forme

P, Q, R sont des polynômes du second degré en j-. L'équation proposée résulte de l'élimination de y entre ces deux dernières. On voit donc que x elx, sont les racines de l'équation

lU-2 — Q:c^ P = o;

c'est IWjualion cherchée.

Invariants.

Les invariants de l'équation F = <» sont des fonctions de ses coefficients, ayant la propriété de rester invariables quand on y remplace les coefficients de F par ceux d'une transformée quelconque, obtenue au moyen d'une substitution linéaire opérée sur les variables x, y. A ce point de vue, la distinction entre les équations symétriques et les équations dissymétriques disparaît d'abord : e:ir, on vient de le voir, la symétrie peut être établie par une

siibsllliilion linéaire. La forme réduite (/j) conviciil doue à Ions les eas et il y a toujours deux invariants absolus.

La distinction entre les deux eas reparaît eependanl sous une autre forme, attendu qu'on peut envisager, pour les deux variables .r, )•, soit une même substitution, soit des substitutions différentes. Nous avons donc à considérer les invariants pour deux cas : 1° l'équation est svmétrique et les variables doivent être transformées par une môme substitution; 2" l'équation est symétrique ou dissymétrique, et les variables doivent être transformées séparément par des substitutions linéaires distinctes.

On peut définir les invariants par une voie purement algébrique, au moyen des coefficients de l'équation ; c'est ce que nous ferons à la fin de ce Cbapilre. On peut aussi les trouver par un autre nioven, qui se rapporte mieux au fond même du sujet. C'est ce <pie nous allons montrer maintenant.

Pour cliaque valeur de o", l'équation F -- o donne deux racines )'. Ces deux racines coïncident entre elles, si x est, luimême, une racine de X. 11 y a quatre racines de ce polynôme X; >(»ient a.o, a,, a.o, as. A chacune d'elles correspond une seule racine y\ soient [^o? |^i> '[-*■>•, l^.i ? correspondant respectivement à a„, a,, ao, c/.i.

fout d'abord le rapport aaliarmonique

(0(1)— ai)('a3 — 'J-i) (ao— asjlas— ai)

est un invariant absolu, que nous adopterons comme caractéristique pour les deux cas différents que nous avons à envisager.

Pour le premier eas, celui où les variables x, y doivent être transformées par les mômes substitutions, nous adjoindrons à a le rapport anharmonique

Pour le deuxième cas, celui où les variables x ely doivent être transformées par des substitutions différentes, nous adjoindrons à a le rapport anharmcmique

CHAPITUI-: 1\. — ÉQUATION OKILICK. 54 I

Il s'agit de monlrcr (juc a, |i clans le premier cas, on -/, v dans le second, d('linissenl, sans nmbii^nïl»' , rc'qtiation l-'r^ro, j clcs siihsliliilions linéaires |)rès.

Prenons d alxird le |)remier cas. A\ec la forme rédiiile ( \ ), on a ./• = p ^/, r ^^ p( // -h U). Quand x est donné, on en concltil, pour II, deu\ valeurs égales et de signes contraires. Les deux ra- (;ines v correspondantes sont donc p(//=îzU). Elles coïncident entre elles, si u est égal à zéro ou à une demi-période. A oici donc un des choix qu'on peut (aire :

(9) î^o^l'l-, '-«0 = "^, xi=t'i, -a. = e,. 'j.i — e-i.

On a, de la sorte.

La condition r, -^(^.-^r.^^o |)erniel de déterminer les rappoits mutuels de c^,, r^, c-^ en l'onction de a :

La lettre t désigne une constante arbitraire. Le ra[)port a nest autre cpie le carré du module dans Tanciennc notation des fonctions elliptiques (I. T, p. ^5). On en déduit (t. 1, p. Go)

l'.n metl.ml, dans l'expression de ,3, les valeurs de e^^ c^, on a ensuite

3 Tp L = 1

Nous avons, de la sorte, g-2, g;\^ pi = :;, exprimés en fonction de a, |j. La forme réduite (4) est donc pleinement déterminée. J^'éq nation F = o est une quelconque des transformées obtenues en eire< tuant une même substitution linc-aire sur .r et )'.

(7esl maintenant une autre question de savoir si inversement ces invariants sont déterminés sans ambiguïté par l'équation, il n'en est pas ainsi évidemment, puisque, par la permutation îles indices, on obtient diverses valeurs pour a, ^j. Mais on sait di'-jà

342 DEUXIÈME l'ARTlE. — APPLICATIONS.

que rinvarianl al)Solu gl : gl esl dclcriniuc, sans ambiguïté, par les coefliclenls de X, cl conséqueninienl par ceux de F. C'est qu'effectivement cet invariant ne change pas quand on permute les indices de ao. ai.a^. a.i. La même propriété appartient aussi à l'invariant absolu

■dff, ~ (^i + a)c^-a)(i — 'iajilî — a)

Pour le prouver, considérons d'abord l'échange des indices i et 3, qui change, à la fois, a et ^ en i — a et i — [i. Cet échange laisse l'invariant (i3) inaltéré. Il en est autant pour l'échange des indices i et 2, qui change a et ,3 en leurs inverses. L'invariant (i3) est donc inaltéré par les six permutations des indices i , 2,3.

Considérons, en second lieu, le double échange des indices o et I et des indices 2 et 3, fait simultanément. Par là, a reste inaltéré. Le second invariant devient

^ (?i— a3)(a2-ao)'

et l'on a ^) = jj(U -f- (o,). D'après la formule d'addition des demipériodes, il en résulte

e-i — es e.y — e^ Cpo — ^:0(,pU — e, )

f)(U + coi) — c'3 (>i — fo Kei — f:; ) __ (ei — e3)(pU — Ci)

On voit donc que fi est inaltéré, comme a; l'invariant (i3) n'est donc pas changé. Il en résulte manifestement que, en résumé, l'invariant (i3) a une seule valeur, tandis que l'ensemble a, ,3 en a six.

L'invariant absolu (i3) est donc certainement déterminé sans ambiguïté parles coefficients de l'équation F = o. Quant à son expression même par les coefficients, on la verra à la fin de ce Chapitre; mais elle ne sera pas utile pour nos applications.

Prenons maintenant le second cas, celui où les variables x^y sont transformées par des substitutions différantes. En conservant le même choix des indices que précédemment (9), nous avons, sans changement, les égalités (11, 12). Il faut maintenant envi-