CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'i-ILEK

sai;(M- le i.i|)|)orl y, composé avec les élénienls

l'^ii employant la lormule fondamenlale

et mellanl, pour un instant, a^ A, r, c/ an lieu des quatre argumenls des [i, on aurait

J'(a — b)if{a-{-b)3'(d — c) -^{(1 -h c) ^ ^{a — c) ■j{a -\- c) :ï(d — h)-i{d'r-b)

Remettons les arguments eux-mêmes et nous aurons

j a»! J (0)3 — W2 ) j (U -^ Wi) J' ( U + (O2 ~T~ <"3 ) ' ~ j'W2 3'(W3 — Wi) 3'(U + W2)3'(U -T-Wi -f-103)

Sujiposant «o, -i- W;, + (03 = o, nous pouvons écrire aussi, toujours en vertu de la relation (14)5

a'(t03 -K (0.2 ) :J'(oJ3 (O2) 3'(U-T-Wi) r'( U OJ] )

^ (ptua — ptua) (pU — ptoi)

(PWI— ,pW3) (pU — pW2)'

, - (^2 — e3)(pU — ei) pU — ei

(ei — ^3)(pU — ^2) pU — fi

C'est l'expression trouvée tout à l'heure pour J^. Dans le paragraphe précédent, on a vu comment à l'équation F = o, entre x v\ y, on peut en adjoindre une seconde <!> = o , entre les deux vacines x qui répondent à une même valeur de j'. Pour cette dernière, qui est symétrique, c'est-à-dire où les variables se Iranslormcnt par une même substitution , l'argument constant est précisément U. vVinsi l'invariant y, relatif à l'équation F =0, coïncide avec l'invariant j5, relatif à l'équation 4> = o. Cette dernière est donc déterminée sans ambiguïté au moven de a et y- Il en résulte, comme on l'a dit au dernier paragraphe, que l'équation 1' = o est déterminée de même, sans aucune ambijruïté.

344 i)i:rxif:ME PARTIE. — applications

Equation caractéristique.

Soient

-.{Ci — pV)=p, -{e., — p\J)--f/, -(e.t—plJj-^r.

Les irois qiianlilés /?, q, r sont les racines d'une équation du lioisième degri-

(jur Ton peut ;i|)pc'ler caracléristique. Ses cocfficienls sont des invarianls, dont rcnsemble équivaut à ))U, ^"25 ô':'- ^^" ''? •'" elFel ,

ÎT,pU =./.,.

Do même, ':-g-> el 'z^g-^ sont des lonctions entières de A',, /«i, />:). Réciproquement, /."i , /'o , k^ sont des fonctions entières de rpU, "^"^'2 , 7-'i?"3. Les rapports anliarmoniques s'expriinenl comme il suit, par les racines de l'équation caractéristique,

<J - r pig — r)

(>ctte j)ropriété suffit à définir l'équation caj-acléristique dans les applications géométriques. A la (In de ce Chapitre on verra comment on peut la former au moven de l'équation F = o.

Équation d'Euler.

L'équation difTérentielle

, ^-. dx dy

OÙ les deux poUnômes du quatrième degré X el Y diflfèrent seulement par les variables qui y figurent, x pour l'un, j^ pour l'autre, est connue sous le nom adéquation (VEuler. En découvrant qu'elle s'intègre algébriquement, Eulcr a semé le premier germe de la théorie des fonctions elliptiques.

illlAI'ITRi: 1\. — l'QlATIO.N d'kLTKII. ^V-»

Former rinlt''<;ialc gcnôralc de réqualiun dlùiler, c'est écriic le lliéorèine daddilion des arguments |)oiir les fonctions ellipli- (|ues à deux pôles. Nous savons que, par une subsliUilion linéaire, toute l'onction à deux pôles se transforme en la fonction p, dont nous connaissons le théorème d'addition. Le problème d'intégrer l'équation d'iùder est donc par là virtuellement résolu. Il reste seulement à dégager le résultat de la subslilnlion qui, à ce point de vue, j^eul être envisagée seulement comme un movrn. Kw d'autres termes , nous possédons explicitement l'intégrale d<l'équation (18) quand le polynôme X se réduit au troisième degré; nous savons que, par une substitution linéaire, l'équation peut être ramenée à ce cas. Mais nous voulons obtenir explicitement aussi l'intégrale pour le cas général.

Deux modes différents peuvent être envisagés pour l'intégrale. L'un d'eux consiste en une équation, mise sous forme entière, entre j- et j'; par exemple l'équation (4 ), relative à pu.

Dans le cas général (18), l'intégrale s'écrira sous la forme d'une équation doublement quadratique et svmélrique. Il s'agira de former cette équation au moyen des coefficients de X. Pour ce mode d'intégrale, l'équation différentielle (18) comporte le double •^igne devant les radicaux.

Le second mode d'intégration consistera en une équation contenantles irrationnelles \/X et ^/\ ou des facteurs de ces irrationnelles. Tel est le théorème d'addition de la fonction pu sous la forme babil uelle ; il nous olfre l'intégrale

où :; est la constante arbitraiic. fl qui convient au cas où X «.'sl réduit à 4-^' — xj-oX — g^.

Pour ce mode d'intégrale, les signes des radicaux ne sont pas indifférents. Dans l'intégrale (19) ils sont |)ris les mêmes que dans l'équation différentielle (18).

Il n'est pas besoin d'ajouter que chacpie intégrale, formée suivant un de ces modes, peut être transformée en une intégrale prise suivant I autre mode.

346 DEUXIÈME l'ARTli;. — APPLICATIONS.

Première manière de former l'intégrale.

L'iiiU'gralc générale consisic dans Tcquation doublemenl quadrallquc cl symétrique F = o. C'est donc une manière naturelle (juc de chercher à déterminer F par les coefficients de X. Il faut, pour ce hul, déterminer trois polynômes du second degré A, B, C par la condition