B^-AG^X

jointe à celle-ci : A]- 4- ^Bj-f- C doit être symétrique en .r et y.

La seconde condition, qui, seule, offre des difficultés, peut être écartée par l'artifice suivant.

En mettante, au lieu de r, dans l'équation différentielle (18), il nous est permis de regarder x et x, comme les deux racines qui répondent à une même valeur de y dans une équation doublement quadratique, mais dissjméti^ique (p. SSp). Nous avons

alois

Aij^H-aBij-T-Gi = 0,

A|, B), C, désignant les mêmes polynômes que A, B, C, mais avec la variable ^r,, au lieu de x. L'élimination de y, entre ces deux ('•(piations, se fait sous la forme bien connue

(AG, — 2BBi-hGAi)2=: 4(B2 — AGKB? - Ai G,),

ou, en mettant X et X, au second membre,

(•M) ( AGi — 2BB1 -+- G\i)- = 4XXi.

Telle est l'intégrale générale de l'équation

dx ^ dxi

où XetX,, du quatrième degré, diffèrent seulement par la variable. Les polynômes du second degré A, B, C sont choisis, d'ailleurs arbitrairement, de manière à fournir l'égalité (v.o).

CIIAPITUi: IX. — ÉQUATION d'eI'I.KU. 3/47

Mais Ici se prcscnlc iino cerlaino dinicullc, une oljsciirilc poui* le moins. Le choix de A, B, C j)ar la coud i lion {:io) comporle des iiidéleiiiiinc'es ; on |)eul [)reinlre, |)ar exemple, H lonl à fait arbitrairement; car B- — X, étant un polynôme du quatrième degré, peut être décomposé en deux facteurs du second degré A, C. Il semble donc d'abord y avoir trop d'indétermination; on doit exiger (|iie l'unique conslanle arbitraire, qui seule peut exister vraiment, soit mise en évidence.

Il semblerait, par exemple, naturel de décomposer X en deux facteurs du second degré P, Q, en [)renant X rz; — PQ, et de composer A, B, C par des combinaisons linéaires de P, Q. Le calcul, bien facile, fait disparaître les constantes arbitraires, qui existent cependant dansées expressions de A, B, C, et l'on trouve une intégrale sans aucune constante arbitraire, celle même qu'on obtient en sup|)Osanl B = o, A = P, C = Q :

(PQi-^QPa)-^-4XX, (X = PQ).

Voici comment on peut écarter ces difficultés. Soil un polynôme doublement quadratique et symétrique, que nous écrivons i/i extenso

'I>(x,7) = uo^r-y- -i- -icii (xf^^x'-y) -.- ù^x'^ -^ y- )

-i- 4 cxy -i- -2 «3 (x-^y) ■+- a -, .

Si l'on V suppose j)^ = x, on obtient

{■X'i) *(r,j" ) = «0.7-* -+- i'^i.r-'' -^( ^c -~ ■xb)x- H- ^a-.iX -k- <i,.

Soit maintenant un autre polynôme analogue <!>'(. c,i'), supposé tel qu'il devienne identique au premier pour >= .r. Cette condition

implique, on le voit, l'identité des coefficients, tels que Oo-> r/,, r/;,, r/j, chacun à chacun pour les deux polynômes, et, pour les autres, l'égalité

ac' -h 6' ~ 2c -+- A.

D'après ce résultat, on aura

'^'{■^,y) — 'I*'(^>7) ^(J' — b' ) ix'^ -\- y"- — 'ixy) — (A — 0' ) {x —y )'■

Ainsi lieux polynômes doublement quadratiques et symétriques, tous deux, qui dei'iennent identiques entre eux pour .v=:y, digèrent seulement par la (piantité X(i' — .r)-, oit \ est une eonstante quelconque.

Reprenons niainlenant le polvnonie ACi — 2BB, -t-CA| , (|ui Jigure dans l'inU'grale ("îi ). Pour Xi = j;, il devient i^Kd — B-), c'est-à-dire — ^X, résultat indépendant du choix arbitraire de H. C'est aussi le même résultat que donne la supposition X\ =^ x dans le polynôme particulier PQ, +QPi. L'un et l'autre de ces polynômes sont doublement quadratiques et symétriques. D'après la proposition précédente, on a donc

AC, - > BI5, - CA, = l'^i -- QP, - \{x - T, )2

\ oici donc l'équation intégrée :

Le polynôme X étant décomposé en. deux facteurs du second degré P, Q, on obtient Vintégrale de C équation d'Euler

dx j^ dx^

sous la ferme

(■?4) f|.,;),^op, X(.^ .ri;^|2= iXXi,

oii A est la constante arbilrcùre.

En exlraxanl la racine carrée el mellant PQ, PiQi an lieu de \ et X|, (in a d'abord

iI'Qi-f-QPij--4v/PPiQQi = X(^-.ri)', ou, si l'on remarque que le premier membre est un carré,

r — Xi

Cette intégrale, où figurent des irrationnelles, correspond à un choix déterminé du signe ambigu dans l'équation différentielle ('>,3). Nous allons lever cette ambiguïté en observant que nous connais-

(') Lxi.LKRRr;, Sur les propriétés des coniques qui se rallaclient à t'equation d'Euler {Xouvelles Annales de Malliéinatiques; ^^-/i).

CIIAIMIIIE l\. É(JLA1I(J.N d'eLLKR. 349

sions déjà celle inlégralc. l^-cnons, en eilet, la deuxième forimile d'addilioD ( i;>^ du loriie I l.|>. \io),