I --- (ln( »i -^ // ) sn//rn«i — siu^icn

elianqeoiis it el //, en ii/ el ///, el employons les formules de Iransformalion (ij) du lome 1 (|). /{(î); nous obtenons, en ayant soin de mellre k' au lieu de /. ,

cn( u — «1 ) -- dn( u ~ //j ) sn a — sii/t.

X'2sn(« - ui) cn«,dna — cnudnui

Si u -f- '(\ est constant, le premier membre l'est aussi ; mettante" pour sn//. y/i — .r- et \'i — /■'u- pour en//, dn?/, nous avons donc

(v.b) — î ■ = const.,

.r — jci

pour l'intégrale de léquation (•^3 ), en v supposant (v-j X^(i — .r2)i i--A2x2),

et en y prenant le signe plits. On voit déjà, par cet exemple, que

c est le signe /?///.v qu'il faut prendre. Mais, en outre, cette forme

particulière de X n'entraîne aucune restriction. Par une substilu-

lioii linéaire

nù les coefficients seront eonvenaltlement choisis, on pourra réiluirc l* et (^ aux formes

On aura, en même lem|)S,

(a3'— "ioL'jia-'—T'^) X — ,ri = ^

(a'.r'-+- [i')Ca'.r', -t- '^' )

Le premier membre (^S) se réduit à la forme (aG), et ré(piation dinérenlielle (a3) ne contient plus que le polynôme réduit (27).

\ous avons donc, en somme, une nouvelle démonstration de ce fait ((ue rcqualion i^'i'ô) fournil l' iiili'grale générale do'

4^-i-^=o (v/X = /Hv/Q).

Autres formes de l'intégrale.

Les formes précédentes exigent la décomposition de X en deu\ facteurs du second degré. En modidant légèrement la proposition (jui a servi dans le dernier paragraphe, nous allons faire disparaître ce défaut.

Reprenons le polynôme <t(j",^) exprimé par l'égalité (22) et, pour l'écrire sous la forme usuelle des polynômes du quatrième degré, représentons par6<72 le coefficient du terme milieu. En posant

{■}.%) b = a-i-r- !\\x, c ^= (i-i — -aiji,

nous aurons effectivement 4c -h 2^ == Grto. Soit donc

(29) W{x) = açjX'» -^ ^a^x^ ^ CyaiT' -\- \a-iX -i- ci',

un polynôme du quatrième degré quelconque, et posons

l Wy = y-(aox'^^ -ittix -~ a=,)

( -f- xyiaix-^- ici-ix -t- «3) -^ a^x--^ la^^x ~ «4.

L'expression générale des polynômes doublement quadratiques et symétriques $(^, j"), qui satisfont à la condition

'l>{x, x) = T(x), est

('il) ^{x,y ) = W^ -i- !\ix{x — yf-,

rn'i <j. est une constante arbitraire ( ' ).

(') C'est un cas particulier d'une proposition générale concernant les polynômes à deux variables et pour laquelle on pourra consulter: 1° Cledsch, Théorie der algebraisclien binàren Formen, p. 18; — 2° Laguerrk, Sur l'application de la théorie des formes binaires à la géométrie des courbes tracées sur une surface du second ordre ( Bulletin de la Société mathématique de France, t. I. p. 3i). — Ces géomètres éminents paraissent avoir trouvé, lous deux, cette proposition d'une manière indépendante.

riiAiMTui: i\. - l^:giATi()N dkllkk. Appliquons celle proposition an polvnùnic

AC, — aBI!, -CA,= «I>(.r,.r,).

Dt'iiolons X par M"(a'). Nous avons dt'jà ohservi' qu'on a

Par consj-qucnl,

AC, — 2lin,4- CAi ^= - tM'l' 4- ,1|Ji(^ — ^i)-. L'intégrale de Véqiiaiion „ , dr clv

\/^W) v/»r(7) peuL s écrire sous la Jorme

ou, la racine carrée étant extraite,

(34 ) -^ r — ^ > \J ) ^ ^ const.

Nous avons, ici encore, à lever l'ambiguïté d'un signe, que nous n'avons pas fait apparaître en écrivant l'équalion dilTérenlielle (32) avec son intégrale (34). Nous avons ainsi préjugé le résultat, que nous allons vérifier, comme tout à l'heure, en reconnaissant, dans cette forme de l'intégrale, le théorème d'addition.

Dans la formule (t. I, p. 29)

, .„ , „ , __ ■>- ( J^ » ,1^ U 1 — ! ^2 ) ( p II -4- p ?< 1 ) - ,»-, — ]/ H p' l, ,

1) ( IL — r- («I I — ; ;:

'2(pM-pi<i)2

mêlions

(^elte expression de j)(// -h u^) coïncide alors avec celle de 'x (34) et nous voyons (pie les signes sont ainsi bien choisis.

L'intégrale (34) est mise sous forme de covarianl. Nous lavons trouvée direclement pour un polynôme quelconque M*(.r); mais, vérifiée pour le polynôme particulier (35), auquel une subslilu-

Soi DEUXIÈMI' l'AUTli;. VPI'I.IC VTIONS.

l'uMi linéaire peut toujours ramener, elle est \crifiée aussi pour lous les cas. Nous en avons donc, en définilive, fourni une scciinde [)reuve.

Formes doublement quadratiques de l'intégrale.

Les formes (s/j) cl (3v^) de l'intégrale ne peuvent cire considérées comme définitives, ])uisqu'elles ne sont pas réduites au second degré par rapport à cliacune des deux variables. Celle réduction exige évidemment que l'on développe le carré, au premier membre, et qu'on fasse apparaître le facteur {x — jc, )- dans léqualion (■^4)-

Soient

un en dc'duil

*■ *'' / =(:r — Xi)[(a3'— 3a')j".ri+(aY'va')(,r-^-.r,)-~ 3y'--Y?']- Mettant, au second membre (24),

4XX,= 11M',QQ, = (l>0i- QPi;)--(PQ,-QPi)^ 011 trouve imniL-dialemenl, en écrivant j' au lieu de .x',. |. a3'— 3a'):rj- — ( ay'— '(y.'){.r -^ v) — ^y' — ':/' ']'

pour intégrale générale de l'équation (Sa) d'Euler, en supposant

W(x) — i/xx-— p.r -T- '; )('j.'x--^ '^' x -f- -[' )•

Il s'agit enfin de faire le calcul analogue dans l'équation (33), de former, par conséquent, le quotient ( ' )

^V(x)W(xt) — (WpY

(x — xiy-

(') Voici le calcul pour les lecteurs familiarisés avec l'emploi du calcul symho-

niiAPiTUi; IX. — f:QiiATiON d'eilimi. 353

Pour ce biil, nous rcriioiis M'|> sous les deux loriiies

el, par conséquent,

U'(.r)*r(x, I— (M-;:')-^ i Xx^^iHx-r- C)(A,a72-f-2B,-r,-f-C,)

— (A.rJ -r- 2B1 J7 -T- Ci)(Ai.r--i- aBi^:- -t- Cl ).

De là, suivant la formule (36),

X Xi

= 2(ÂB, — BAi)r.ri-^(ACi- C\i){x ^ xi) -i- i([iCi— CBi).

Chacun des déterminants, tels que AB, — BA, , se calcule encore par la même formule (36), et, conformément aux expressions des polynômes A, B, C (3o i,

A — aox'--*- xciiX -+- a-2, B = a^X'-^ la-ix -~- a^, G = aiX'--\- 'zasX -T- a-,.

= -iicioai — ai) xxi -f- («0^3 — «i«2)(-2^-r-J"i)-î-2i,aia3 — «5),

X — Xi

ACi — CAi

X — Xi