BC,- CB
= 2(«o«;i — aiai)xxi-\- (UqU'^ — a'j){x -^- Xi)-^ 2(«i«i— cioct-i), = 2(rtia3 — rt| )xxi-T-{aia}, — aia-i){x -\- Xi)^ ■x{a-ia<^—al).
liquo; on y incllra y au lieu de .i\. Désignant, U'(a:) par a'^ ou b], on a M- ( ^ ) ^I- ( j ) - ( T>: )= = ai b\ - al a} bl b}
= {{a%bl- al b% f^-{{aby{ xy y ( a^ b^. + « , b^ )-' , i\\^{abralbl.
1 2 H^ = {aby{a^b-\- a^. b^Y+ j ( ab)'a^ b^. a b^., Uiby(xyy= {a^b^- a^,i,J'{aby={aby{a^b^.-^a^.b^y- \{abyaj^.a^.b^. Des deux dcrniùrcs égalités on tire
( ab y ( a^ b^. -;- a^. 6^ )' = 8 H^ + -' ( ab y ( xy f. Substituant dans la [)remiérc et mettant C^ à la place de |^(a6)', on obtient
{x — yY ' -^ 3 "'
354 DKlXltMi: l'AUTIK. — AIM'MCAÏIONS.
Kemcllons mainlenanl )■ au lieu tlc.r,, eL nous obtenons
l " = ; — '■ — —:; — = ^(rto«2 — «i)-^-.f^T-4(«oa;) — «i a2,)(:r-+-7)j7
^ i -i-{aoai~aV){x-r-y)--^8(aia3—al)xy
L'intégrale de Véqualioii (3.>) peut donc s'écrire sous la forme
où [J. est la constante arbitraire et II le polynôme (3j).
On peut désirer mettre IT sous la forme (3i). Soit 4H(jc) le polvnôme que l'on obtient en faisant y =. x dans II. Voici ce polynôme :
^ II {x) = (rto « ) — a\)x'* — i (ao «3 — «1 a.> ) ^r^ -i- ( ao «4 -+- 2 aj as — Zal)x- ( '38 ) .
( -^2(ai«4 — «2«:j)^ -^«o^J^i — <^1-
C'est celui que Ton nomme le liessien de ^r(^). Le coefficient de {jc-+y-) dans {Il es,i \{a^^a■, — a'i)\ le coefficient de Çtx- dans H(x) est
La différence est le coefficient de fx — y)- dans jll — H-^^.. On a donc
n=4II;r-^|C,(3"-jK)^
et l'intégrale de V équation (Sa) d'Euler peut s'écrire sous la forme
(39) Hi-- :j.wy^ (AG2- :^'-) (^r -j)-^ = o.
Il est bon de noter que la constante arbitraire est ici la même que dans l'intégrale (34).
Le premier membre (39) est ici mis sous la forme qu'on a trouvée plus haut comme étant celle des polynômes doublement quadratiques et symétriques, savoir •l^^.-^y^x — y)-. Considérons •l comme donné,
riiAiMiHi; i.\. — ÉyiATioN d'kilkh. 353
en sorte ([uo If prcuiH-r niciiilne (3()) soil 1' :
F = Ar^ ^Mr - C, A = b,iX- -^ ib^x -r- b-i -T- V, B — ^jo:- -1-2(62 — \'»)x -.- b-i, C = {bi-\-v)x'^-v-':f.bzr-r- b;.
Le polvnùine U'(xK à un fuclciir constant près, est B- — VC. En composant cette quantité, on trouve inimédialement qu'elle se réduit à — A— vL, li étant le liessien de 'L. On a donc
et, en même temps, comme on vient de le trouver,
6 = Il -T- ;jlT.
De là on j)eut conclure ([ue h s'exprime linéairement par II et^'; eu d'autres tei-mes, T étant un polynôme du quatrième degré etH son hcssien, tout polynôme composé linéairement de W et de H (ou du faisceau H, W ) a pour liessien un polynôme de cette même forme (ou du même faisceau) (' ).
C'est là une propriété fondamentale des polynômes du quatrième degré, que nous trouvons ici par une voie indirecte, et que nous préciserons plus loin.
Réduction des intégrales elliptiques à la forme normale.
Dans le Chapitre I\ du Tome I, nous avons appris à faire 1'///-
/fl.r —=.7 c'est-à-dire exprimer x en foncv/x '
tion elliptique de u. Exprimer inversement p« en fonction de ^, c'est ce qu'on appelle réduction à la forme normale. Effectivement, si pu := :; est pris pour variable, au lieu de x, on aura
, cir dz
du
Ce problème de réduction est évidemment résolu en même (') Pr<»j»usilii)ii ilcroiivcrlc iiiir M. Cavicy.
lemps que le problème d'inversion; il ne faut que déi^agcr le résultat. C'est ce que nous allons faire; mais il faut, avant toul, renoncer (1 une manière j)lus précise en ajoutant que î;-^ et ^,'3 doivent être les invariants du polvnùme X.
La solution de ce problème comporte une arbitraire, la valeur initiale de x, celle qui correspond à ifz=o. Soitj^ cette valeur initiale et supposons (pion ait trouvé pu =f(^.f,j-). Cette égalité, si l'on V considère j3« comme une constante, est l'intégrale générale de l'équation d'Euler; car on en déduit
dx dy
Le problème de réduction, pris ainsi dans sa forme générale, ne diffère donc pas de celui qu'on vient de traiter, l'intégration de l'équation d'Euler. IMais nous allons le résoudre directement.
Dans l'inversion telle qu'elle a été présentée (t. L p. 120), la valeur initiale de x est infinie. Pour éviter toute confusion, réservons la notation u à l'argument correspondant. Avec d'autres valeurs initiales de j', l'argument sera u, augmenté d'une constante; nous prendrons, quand il conviendra, une autre notation pour ce nouvel argument.
Afin de mettre en évidence l'homogénéité des fonctions elliptiques, nous introduirons un facteur arbitraire -, comme nous l'avons toujours fait dans les applications. Nous écrirons donc
dx (40) z du
employant ainsi la notation ^IX-^)) ^^ li^u de X, pour le polynôme du quatrième degré ; nous continuerons aussi à désigner par Co et C3 les deux invariants de ce polynôme,
/ ^'(a:) = «0^*^- i^aix'^— (Saix~-r- ^UsX-t- a^, (40 < C2=«u«4 — 4«i<^3— 'îa|,
Les invariants des fonctions elliptiques sont
CIIAI'ITIU- IX. — iÏQLVTlO.N I)"eLLI:U. '^■J-
Lcs roiiniilcs (l'inversion (t. I, p. l'.o), avec la modilicalion qu'entraîne I inliodiietion <lii e:)elli(ienl dlioniojjénéilé, sont les suivantes :
-- JU' = , — J) p = —=
Première réduction.
L'égalité suivante (l. I, p. iji), dans laquelle ./'o désigne une racine du polynùnie M*(a' ),
j" — To = — ;- lt = u-i-
"• Pi—P^i^' \
nous présente l'inversion ellectuée par une substitution linéaire, c'est-à-dire que z^= pt est une fraction dont les deux termes sont du premier degré en .r. Mais j)^t' et p'^v ont quatre valeurs, se permutant les unes dans les autres, en même temps que .r,, s'échange avec les autres racines. Aussi, malgré la première apparence, cette forme de la réduction est fort comj^liquée : rendue rationnelle par rapport aux coefficients de W, elle s'élève au quatrième degré par rapport aux variables, comme on verra cflcctivement un peu plus loin.
Deuxième réduction.
Aux formules (4^)^ joignons celle-ci (éq. ^%a de la page i i8, t. il,
— (^«03--+- «1)2= J)(« — f)-r-pH-i-J)l',
et nous avons, en éliminant p(w -h v), puis substituant l'expression de pv.
(43* — j)a=rto^^-î-2rtia"-f-«2-^ y/rto*l'(^)-
C'est la formule de réduclion propre à la valeur initiale oc, prise pour .r. Le chani:;;enicnl du signe devant le radical correspond, comme on Ta déjà vu maintes fois, au changement de u en — («4- r).
Nous pourrions passer maintenant à la formule générale en prenant cette expression (43) depw, puis une semblable pu\: avec une autre variable }', et composant p{u — U\)^ au moyen du théorème d'addition. Mais la formule (4'^) contient en elle-même cette gén('ralisalion ; c'est ce cpi'on va montrer.
Troisième réduction.
Soit f{z) un polvnome du cpialrièmc degré. A la variable :? substituons la variable .r, en posant
({() c.r -\- az ^^ xz.
Soit ^'(•^) le transformé àc f[z) par cette substitution; on a
L'équation différentielle (4<') devient
Sauf le changement insignifiant du facteur d'homogénéité, elle conserve la même forme, soit avec x et W{x)^ soit avec z et/(z). Mais maintenant la valeur initiale de z est la quantité arbitraire c, correspondant à x = ce. Pour avoir la formule cherchée, il n'y a donc qu'à transformer le second membre (43) en y introduisant z elf{z'), au lieu de x et de W{x).
D'une n>anière générale, '-^{z) étant un polynôme du degré /^, on a
d o(z) {z — c)o'(z')— no(z) dz (z — c/' ~ '.-s — cj«+i
et, si l'on suppose '-^(z) rendu homogène par l'emploi d'une seconde variable z\ la propriété
n':>^= z -^ -~ z — '- Oz Oz
(iiArniu; i\. — ÉgUArioN I)"i:lleh. 359
Iransforme la dcrivt'e précédente ainsi :
d o{z) ^ôz^ Tz' dz {z — c)- I - — c Z'-^-» '
Si 1 on .suppose ^ lié i\ x par la relation (44^ il s'ensuit
d o(z) ^ dz "^ dî' dx {z — €)"■ {Z — c)"-> '
Le numérateur étant du degré (/i — i)' *^" peut lui appliquer ce qu'on vient de dire pour '^, et conclure
., d- o(z) f)z'^ ' f)zdz' ' f)z'-
(acy- -p- — '-^ — — — ; j
dT-{z — c)"- {z — c)"--^
et ainsi de suite. C'est cette dernière formule qui nous importe ici. \ meltanty(::) au lieu de cp, supposant n = 4, nous voyons, au numérateur, sauf le facteur numérique 12, la combinaison que nous avons dénotée par/^. En outre, la fonction que l'on dérive, au premier membre, est W(x) d'après l'égalité (4'0- Ainsi
{ac)-(aQX--r- -lUiX -r- a-i)— ' "
{z — cy^
Prenant aussi, dans l'égalité (4^^)> ^'^ partie principale de l'un et l'autre membre pour z = c, nous avons
L'équation (43) devient donc
Revenons maintenant aux notations précédentes, x, y, W au lieu de ;^, c, /"; changeons la notation du facteur d'homogénéité, et nous avons
J \/^\x) '- 2{x~yy'
(') D'apn's M. l'élix Klein, il parait y avoir iiiroilihule sur le premier inven-
36o DEUXIÈME PAHTIE. - APPLICATIONS.
(l'esl la formule cherchée; on y retrouve l'intégrale (34) Je Tcqualion dEulcr. C'est aussi une forjnule d'arldition, U étant égal à // — //i-
rSoiis avons déjà mis sous l'orme rationnelle cette intégrale de Téqualion d'Euler. C'est l'équation (3c)"), que nous reproduisons ici (en mettant z au lieu de ]j.) :
(îr,) iir^-xr^ + (-i^c,-^-2)(x-j)2==o.
Telle est la formule générale fournissant la solution du problème de réduction.
L'une des solutions ;: de celte équation (46) est— pU, où U = // — f/,. Quant à l'autre solution, on l'obtient en changeant
le signe de l'un des radicaux \/W(^x), par exemple, ce qui change n en — // — r; c'est donc ~,p{f/ H- ^i -h «'). En prenant, au lieu de //, l'argument t qui s'évanouit quand .r est une racine de ^F, on a, pour les deux racines, — p(t — ^i ) et — p{t + ti ).
Formule de duplication.
Si, dans l'égalité (4^), on suj)pose û;=y, une racine z devient infinie; en supposant Y'H'(.r) et \^^i''{y) l>ris alors avec un même signe, celte racine infinie esl—p(n — ?/,). L'autre racine est finie, c'est — p(q u + ('). D'ailleurs, pour .r -^y, H{! et W^. deviennent M(.r) et Wi^x)-^ pur couséqucnl,]a. subsfifution (^ étant celte racine)
OÙ H(x) désigne le hessien de W[x)^ donne lieu ii l'égalité 'a dx d^
leur de cette belle formule, qu'il faul, sans doute, attribuer à M. Weierstrass ; voir Ueber hyperelliptische Signxifiuiclionen, von F. Klein {MatJi. A/m., p. \5-; avril i8SG).
ciiai'Hiik i\. f-yiAiioN n'iiiiii. iGi
Arrêlons-noiis un mshiiil siii- cri (c foriiiiilo. poiii- en examiner 1rs ionsé(|nenc('s ali;él)ri(|ues. ]) après l'expression de ;, elle donne
dx t/x
Soil T le polvnùnie suivant, dn sixième degré.
il Nerilie done ridentilé
(5o) 4T2-^ — 4H»-T- CîH^J'^— C^xpi.
C'est en prenant pour point de départ celte idenlit»', démontrée par la pure Algèbre, quand naissait la théorie des invariants, que, |iar une marche inverse de celle que nous venons de suivre ici, M. Hermite ( ' ) a trouvé la propriété qu'expriment les égalités (iy) et (48).
Nous reviendrons tout à l'iieure sur l'idenlilé (5o); il nous faut auparavant faire encore quelques remarcjues sur les résidtats qui précèdent.
Si ^'(x) est le polvnome rc'duit 4-^'^ — ^'2-X^ — g'^i ^ est égal à pu, t' est nul, et ç est égal à ipu. L'égalité (47) nous fait retrouver la formule de duplication (6) du Tome I, p. 95. Rien n'est plus facile, en effet, que de contrôler les deux formules, en observant que, W(.r) étant écrit sous la forme générale (4')' ^^^ coefficients sont ici
ao=o, «1 = 1, <72=o, «3 = — T^2' «; = — J?3-
Le hcssien (38), changé de signe, coïncide avec le numérateur de la formule qui donne p'iu.
La quantité ; (47) est égale à —p.it, L étant l'argument // —
qui s'est offert dans la première réduction. Mettant, dans légalité
(47), à la place de ;, l'expression de — j)2/ en fonction de j)/, el
( ' ) Journal de Crelle, t. LU.
remplaçant p/ |iar -'-z, i-o et 1^.1 par t''C2 et ':*''C:i, on voit disparaître le facteur d'iiomoirénéité t, et il reste
^i-^|C,-2^2C3^^VfiGi H(.r)
C'est la relation dont il a été question plus haut, celle qu'on obtient en rendant rationnelle, par rapport aux coefficients, la substitution linéaire qui fournit la première réduction. On peut, comme on voit, l'écrire sous la forme
( 5i) h{z.)Wi.r) — H( cr)iiiz)= o,
OÙ h(z) désigne le hessien du polvnùme 'i>(;)=r= 4^^ — Co^— C3, considéré comme du quatrième degré.
Plus généralement, si •}(^) désigne un polynôme transformé de U'(j:) par une substitution linéaire quelconque, et h{z) son hessien, la même relation (01) traduit manifestement l'ensemble de quatre substitutions linéaires par lesquelles celte même transformation peut s'opérer.
En particulier, si Ton prend, pour •!/, le polynôme W lui-même, et qu'après avoir divisé par x — :; on considère léquation entière
ÏI(z)W(x)—U{t)W(z)
le premier membre est décomposable en trois facteurs linéaires. Cette équation représente l'ensemble des trois substitutions qui, échangeant les racines, par couples, les unes dans les autres, transforment le polynôme W en lui-même. Pour le polynôme
4^'' — .^î^ — ffs = 4 (-2^ — ei){x — e.2){x — €3),
les facteurs linéaires sont
(x — ey,)( z — e^i) — ( 6:^— e^^{ey,— ey) (a, ^, •; = i, 2, 3),
comme on le sait par la formule d'addition des demi-périodes.
Propriétés des polynômes du quatrième degré.
Nous avons reconnu précédemment que, W étant un polynôme du quatrième degré, H son hessien, tout polynôme 'l du faisceau
r.MAlMTIU; 1\. fOlATIO.N U'i-II.KR. 303
(H,^r) a son hcssicii // compris dans ce nicnic faisceau. Celle propriété s'est trouvée e\prirn('c par les égalités
(52) pM' = //-f-v>. •b^U-^y.r,
dans laquelle u, v, z sont trois constantes. Lne seule de ces constantes est arbitraire, et nous connaissons d('jà, d'aprrs l'intégrale (39\ la relation
(53) v = -jLc,-|^2
entre les constantes a, v et l'invariant quadratique Co de M". Il reste encore à trouver p.
Considérons le polynôme /, analogue à Tt^^i)), mais composé avec •l et /i. D'après les égalités (02), on a t ^r^ — pT. En désignant par c-, et c.i les invariants de -l, on aura, suivant l'identité (^5o), cette autre
i /l" -- c, h -l'- ^ C:, 'l^ ^ p2 [ \ II-' — C. II M-2 — C3 W^ ] .
Substituons, au second membre, les expressions de 11 et M* tirées de (^2) et identifions, de part et d'autre, les coetficients de h^, etc., nous aurons d'abord
(54) 45=4,j,3^C2;JL-^C3.
Le terme en h--l fournit la relation (53 ); les deux autres serviront à trouver Co et C;j, dont nous n'avons pas besoin.
La double égalité (02) et l'identité (5o) renferment toute la théorie des équations du quatrième degré, sur laquelle nous ne devons pas nous arrêter davantage. Il nous faut seulement retenir la conséquence principale, celle d'où découle la résolution algébrique. Soit
4;j.3— Coj-t— C3 =4(!A — [jti)([j.— [ji,)(;-i — fJis): on a, d'après ridentité (00),
(55) T2^ — (ii-i- ,aixr)(ii-^|jL2vr)(ii-^ ijLjvr^.
En prenant, pour II, l'expression suivante
364 DEUXIÈME PARTIE. — APIM.IC.VTIONS.
on reconnaît que II ol M' sont deux polynômes premiers entre eux. De là résulte qu'au second membre (j5), chaque facteur est un carré parfait. Ainsi, dans le faisceau II 4- ijlM', // )- a. trois polynômes qui sont des carrés; on les obtient en prenant, pour jjL, une rjuelconrjue des trois racines de Véquation (résolvante)
(56) /,;jl3— Co.u— C3=o(').
Discriminant des équations doublement quadratiques.
Revenons aux équations doublement (piadratiques F = o, en ne considérant, toutefois, que des équations symétriques. Nous savons (jue le premier membre peut être mis sous la forme
et que l'équation d'Euler, dont F i^^ o fournit l'intégrale générale, étant relative au polynôme ^F, on a les relations
L'équation F = o traduit la relation (pii existe entre deux fonctions elliptiques semblables ^,j', dépendant l'une d'un argument w, l'autre d'un argument «i, dont la différence U est constante.
Par l'intermédiaire du polynôme ^F, la constante U et les invariants elliptiques nous sont connus, savoir
(59) a"'2 = -^G2, ô-s^-^^Ca, pU = T2|x,
T étant un facteur arbitraire d'homogénéité.
Le dernier progrès qui nous reste à faire est de trouver ces mômes quantités directement sur le polynôme F ou, plus précisément encore, former explicitementre^i/a^fO/iCrt/'acier/5^/^«e(i6), dont les racines sont proportionnelles aux trois quantités e^ — pU. C'est pour ce but que nous allons considérer le discriminant de F.
(') Pour cette tliéorie des polynômes du quatrième degré, on trouvera tous les détails désirables dans l'Ouvrage de GLEnscii déjà cité, Tfieorie der algebraischen binliren Fornien, ou dans celui de .M. Salmox, Lessons introductory io the modem Aliiebra.
ciiAPiTUE i.\. ÈgiArniN i)"i;ri.Ki«. >•">>
On a Ji'jà observé (p, 339* que F i-sl iiii pol} tiùnic du second degré ordinaire par rapport aux dcuv variables xy et x -^ Y- Envisagé ainsi, il a un discriminant qui, égalé à zéro, exprime la possibilité de décomposer F en deux facteurs linéaires par raf)porl à j"j' et X -\- y. C'est ce discriminant que nous considérons ici et dont révanoulsscmcnt exprime, coninic on voit, que F est le produit de deux polynômes doublement linéaires en x et )-.
Si le discriminant est nul, de F = o on tire deux expressions de y rationnelles en x] B- — AC est donc un carré. On se souvient que B- — AC n'est autre que W{x). C'est en considérant les polynômes H -r [Ji-a^I*> oîi l^a est racine de l'équation (56), polynômes qui sont des carrés, que nous allons parvenir au but.
Dans le faisceau (H, H*), prenons un autre [)olynômc quelconque T', p'^'' = /i + v''|.
Éliminant li et •} entre les équations l^oSj et celte dernière, nous avons
Le polynôme F', relatif à W, a la forme (ôj), où v est remplacé parv': c'est donc F -h (v' — v)(x — ))-; ou bien, si on le divise par
IV — ^v), ce sera sv -h {x — j )-, en prenant s = ^ ■•
Si l'on suppose a = [J-oli ^' est un carré; F' est donc alors décoraposable en deux facteurs et son discriminant est nul; par conséquent, le discriminant de 5F-|-(^ — y)'^ a pour racines 5 les
trois quantités ' ^ ^ —' Or, suivant les égalités (5c)), les racines jj-j de l'équation (56) sont les trois quantités — e^. Les trois racines .v
ont donc pour expression -—^-—-', elles sont proportionnelles aux
trois quantités e^ — jdU. Ainsi, l'érjuatio/i caiactéristiqiie a pour premier membre le discriminant de s¥ -{- {x — >-)-. Les invariants de F sont ainsi trouvés de la manière la plus complète et la plus simple.
On pourrait donner bien d'autres détails sur les polynômes F, examiner la composition du discriminant relativement aux invariants Co, c-i de '1; mais nous devons nous borner, et nous nous
'MÎ6 DEUXIÈME PAUTIE. — API»UCATIONS.
contenterons de dire encore coninient le discriminant de F est composé avec les quantités précédentes.
D'après la forme — — '- des racines, on voit (lue le discriminant
de 5F H- {x — J')'} sauf un facteur indépendant de s, s'obtient en mettant so -+- a, au lieu de ja dans le polynôme (56). C'est donc
(6o) Msp -^ .tJt)^— C-îis? -T- IJ-) — C3,
sauf un facteur indépendant de s, et qu'il faut trouver. En faisant A* =r o, on doit obtenir ici le discriminant de
Si l'on envisage, pour prendre les discriminants, jc + r comme la première variable et xj' comme la seconde, (x—y)- a pour discriminant — 4- Le facteur est donc le quotient de — 4 P^r
4 -jL ' — C^'J- — C3 ; c'est -(58). Dans (66), le coefficient de s'-^ est
4 ; ' ; en le divisant par p, on aura 4 p'"- Ainsi, le discriminant de F a pour expression 4p' ou bien
CUAI'ITRE X. — LES POLÏGU.NES UL l'U.NCKLET. oÔ"]
CIIAPITUE \.
LKS l'OLVGONES DK PONCKLET
Préambule. — Représentation géométrique des équations doublement quadratiques. — Interprétation des éléments doubles. — Lignes polygonales repliées. — Condition de fermeture. — Théorème de Ponceict. —Expression géométrique de la condition de fermeture. - Représentation elliptique des lignes polygonales. — Invariants. — Invariants de fermeture. — Cas où les deux coniques sont tangentes entre elles. — Equation caractéristique. — Coniques ayant un contact du second ou du troisième ordre. — Autre méthode. — Autre expression des invariants de fermeture. — Expression des invariants de fermeture par des déterminants. — Sur une forme de l'intégrale elliptique de premicrrespèce. — Sur les covariants de deux coniques. — Formule de duplication. — Combinants d'un faisceau de coniques. — Fonctions elliptiques sous forme de combinants. - Représentation elliptique des points d'un plan. - .Multiplication des arguments par 2. — Multiplication des arguments par un nombre quclcnnquc. — Lieu des points dont les arguments sont des parties aliquotcs de périodes. — Nouvelle intégration de l'équation d'Jùulcr. — Nouvelle expression de pu.
Préambule .
Dès le début du Tome I, on a vu (p. i.j) Taddiliou des ar:;uments représentée par une conslnicilou <;('oiiiélnfjiie au moyen de deux cercles. A chaque point de l'un des cercles, on (ail correspondi-e un argument elliptique : la corde qui joint deux points, dont la différence des arguments est constante, enveloppe le second cercle.
Cette construction de l'addition peut cire modifiée de façon que, au lieu de deux cercles, on ait à considérer deux coniques quelconques. On n'en saurait douter, d'après les enseignements de la Géométrie projective. Mais il convient de présenter directement cette construction sous sa forme générale. C'est à quoi se prête mer\fillcusemciit la considération des équations doiibltincnt quadratiques, objet principal du rdKi|)i(re piécédenl.
568 DEUXIÈME PAUIIE. - Ai'PLIC.VTIONS.
Représentation géométrique des équations doublement quadratiques.
Soil X une courl)e iiniciirsale; c'esl-à-dire qu'à chaque point x de la courbe correspond une valeur unicjue d'un paramètre x cl réciproquement. Toute équation entre deux variables jrotXi peut être envisagée comme une relation entre deux points x el X\, variables ensemble sur la courbe X, S'il s'agit d'une équation quadratique en Xi, le point x a pour correspondants deux points; soit .r, l'un deux. S'il s'agit maintenant d'une équation symétrique entre les deux variables, le point Xx a, pour correspondants, deux points dont l'un estx; soit x-i le second. Ce dernier a, pour correspondants, le point X\ et un nouveau point .Ts, et ainsi desuite. De même, le second correspondant de x peut être dénommé x.i, — Ainsi, une ligne polygonale variable, complètement déterminée par un seul de ses sommets, et inscrite dans une courbe unicursale X, peut servir à représenter une équation doublement quadratique et symétrique.
Pour donner une foiune entièrement géométrique à ce mode de représentation^ il laut, en supposant plane la courbe X, connaître renveloppe des côtés de la ligne polygonale. Si l'on admet alors que X soit une conique, on trouve immédiatement cette enveloppe. Chaque côté n'a, en effet, avec X, d'autres points de i-encontre que les sommets adjacents. Par chaque point de X passent donc deux tangentes de l'enveloppe et deux seulement, ce qui n'aurait pas lieu si X n'était pas une conique ('). L'enveloppe est donc de deuxième classe ; c'est une seconde conique Y. Ainsi toute équation doublement quadratique et symétrique traduit la relation entre les extrémités d\ine corde variable, inscrite dans une conique X et enveloppant une conique \.
Sur la conique \, les points y peuvent être représentés aussi par un paramètre )'. Pour le point de contact du côté xXi , ce paramètre jk est lié au paramètre x par une équation algébrique. Mais cette équation doit convenir aussi bien au point de contact du
( ' ) Si l'on prenait, pour X, une cubique unicursale, il passerait, par chaque point, deux autres tangentes de l'enveloppe ; celle-ci serait donc de quatrième classe.
