CHAPITRE X. — LES POLYf.ONES DE PONCELET. .i6ç

côté J'J',. Elle csl donc du sccoiul degré en y. D'aulrc pari, «[iiand )' est donné, celle équation doit convenir aussi bien à j-, (ju'à .r. Elle est donc du second degré en jr. C'est une équation doublement quadratique enlre x et y.

Ce mode de représentation conduit à envisager, parmi les équations doublement quadratiques, deux espèces difTérentes, absolument comme, dans le Chapitre précédent, on l'a fait, au point de vue des invariants. Sur une conique on peut changer le paramètre ./• sans changer le point correspondant. De la manière la plus générale, on peut, sans changement de la figure, transformer le paramètre par une substitution linéaire quelconque (fractionnaire). Les équations symétriques, où les deux variables doivent être transformées par une même substitution, se rapportent à deux points situés sur une même conique. Les équations où, au contraire, les variables peuvent être séparément transformées par des substitutions linéaires différentes, se rapportent à des points situés sur deux coniques.

Interprétation des éléments doubles.

Il y a quatre valeurs particulières Xq, a,, y..,, y.^ du paramètre a-, à chacune desquelles correspond une racine double y, soient |jo, j,, |jo, j3;, ces quatre racines doubles j'. Du point y.^ les tangentes menées à \ coïncident; c'est donc que ao est sur Y. Ainsi a-o, a,, aj, y.:) sont les paramètres, sur X, des points communs aux deux coniques, et ,3o, |j,, jjo, ,J:, sont les paramètres de ces mêmes points sur Y.

Il y a, de même, quatre valeurs |j'„, ,3',, |j'^,, [ii'3 du paramètre j', à chacune desquelles correspond une racine double x] soient a„, a',, a'^, a', ces quatre racines doubles x. La tangente de Y, au point ,3y, rencontre X en deux points confondus; c'est donc qu'elle est tangente à X. Ainsi les nouveaux paramètres sont ceux des points de contact des quatre tangentes communes aux deux coniques.

Lignes polygonales repliées.

Pour premier sommet de la ligne polvgonalc, prenons l'un des points y. communs aux deux coniques. Soient a', a^, . . . les som- H. .4

3jO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

mets successifs. Celle ligne polygonale ne peut êlrc prolongée dans l'aulre sens. Si l'on prend pour origine x de celte ligne le point a", avec a"~', a"~-, . . ., pour sommets suivants, on voit, au point a, la ligne polygonale se replier sur elle-même, et l'on a

Le même fait n'aurait pas lieu, en général, si de l'origine x on faisait partir la ligne polygonale dans le sens opposé.

Pour premier sommet d'une autre ligne polygonale, prenons un point a' où X est touchée par une tangente commune. Du pointa' partent deux tangentes de Y; l'une est la tangente commune. Prenons l'autre tangente pour premier côté; nous aurons ainsi des sommets successifs a'', a'-, .... Si l'on voulait prolonger cette ligne dans l'autre sens, il faudrait envisager la tangente commune comme étant le second coté aboutissant au sommet a'. Mais, sur ce côté, le second sommet est encore a'. La ligne polygonale se replie donc sur elle-même encore. Si l'on prend, pour origine x^ le point a'«, avec 7.'"7.'"~* pour premier coté, la ligne polygonale est repliée et Ton a

(2) oc'= .r„ = ar„+i, x,i-\ = Xn-^1^ ..., a"2«+i = ^ = a'".

Là encore, le même fait n'aurait pas lieu, en général, si, de l'origine .r, on faisait partir la ligne polygonale dans le sens opposé.

Condition de fermeture.

Parmi les lignes polygonales, en est-il qui se ferment? Pour répondre à cette question, on observe que les paramètres x et Xm-, lout comme .r el X\^ sont liés par une équation doublement quadratique et symétrique, puisque, un sommet étant donné, la ligne polygonale est déterminée sans ambiguïté : il y a donc deux sommets, et deux seulement, distants du premier par m rangs. La condition de fermeture, qui doit fournir un polygone fermé, ayant m sommets, est x^ = x. Celle supposition faite dans l'équalioQ qui lie Xm et x^ on obtient une équation du quatrième degré en X : nous en connaissons les racines. Si, en effet, ni est pair, m = 'î/i, ces quatre racines sont les paramètres des quatre points

OlIVt'ITRK \. — I,RS POLYCDNES l)E PONCELET. 37 1

a'y, a", a", a',', soinmcls de lignes polvj;on;ilcs (|tii comnionccnl par les points Xy, y.,, a^, a., communs aux t\cu\ conicpies. Si /n cslim- [)air, m ■-= .>./i -^ i, ces racines sont alors les paramètres a", a", a!,", a',", appartenant à des sommets pris sur les lignes polygonales (ri), qui commencent par les points de conlacl des tangentes communes aux deux coniques.

Ainsi la condilion de fermeture, pour chaque entier m, est effectivement satisfaite par quatre lignes polygonales, dont chacune, sans constituer un polygone fermé, se replie sur ellemême.

Théorème de Poncelet.

Il n'y a donc, en général, aucun polygone fermé, à la fois inscrit dans une conique X et circonscrit à une autre conique Y. Mais, si ces deux coniques ne doivent pas être prises arbitrairement, il peut certainement exister de tels polygones. A un triangle, un quadrilatère ou un pentagone, on peut, à la fois, inscrire une conique et circonscrire une autre conique.

Quand il en est ainsi, l'équation de fermeture, qui a plus de racines que dunités dans son degré, se réduit à une identité; elle est satisfaite alors, quel que soit le point x. C'est le théorème de Poncelet: s^ il existe un polygone fermé, inscrit dans une conique et circonscrit à une autre conique, il existe une injinitc cVautres polygones, du même nombre de côtés, inscrits, comme le premier, dans r une des conicjues et circonscrits à Vautre.

Expression géométrique de la condition de fermeture.

Supposons deux coniques X et 1 , telles que les lignes polygonales se ferment effectivement toujours, en formant des polygones de /;* cotés. Cette propriété se retrouve aussi dans les lignes polygonales repliées, et c'est ce fait que nous allons examitier.

Considérons la ligne repliée (i), qui commence au point .r, et supposons '> n inférieur à m. La ligne, en se continuant au delà de x-yin doit satisfaire à la condilion x„,= x. Il faut donc (ju'elle se replie, de nouveau, au delà de x.^ni qu'on ait donc

Si m csl pair, les somniels qui coïncident de la sorte sont distants d'un nombre pair de rangs; c'est le caractère de la ligne repliée de première espèce (i).

Si, pour origine de la ligne polygonale, on prend le point .r„= a, on aboutira donc à un autre point a; entre ces deux points il y a ^{m — ''.) sommets.

Si tn est imj)air, les sommets en coïncidence sont distants d'un nombre impair de rangs : c'est le caractère des lignes repliées de seconde espèce (2). Si donc, pour origine de la ligne polygonale, on prend le point a, on aboutit à un point a'; entre les deux points, il y a ^(/n — 3) sommets.

Considérons, en second lieu, la ligne repliée (2). On aura

Si m est pair, les sommets qui coïncident ainsi sont distants d'un nombre impair de rangs : c'est le caractère des lignes repliées de seconde espèce. Ainsi, partant d'un point a', on aboutit à un autre point a'; entre ces deux points, il y a j (m — 4) sommets.

Si m est impair, partant d'un point a', on aboutit à un point a; entre ces deux points, il y a \{m — 3) sommets. C'est une ligne polygonale qu'on vient déjà d'envisager, mais en la parcourant dans l'autre sens.

Voici donc, d'une manière générale, la condition d'existence des polygones de m côtés : si, pour premier sommet, on prend un des points communs aux deux coniques ou l'un des points de contact d^ine des tangentes communes, on doit aboutir à un autre pareil point, de même espèce si m est pair, d^ espèce opposée si m est impair.

Si, quand on prend pour premier sommet un quelconque des huit points a ou a', cette condition est satisfaite, on voit qu'elle l'est aussi quand on prend pour premier sommet tout autre de ces huit points. Mais c'est là une propriété qui résuite aisément de ce fait bien connu, que la figure composée de deux coniques se change en elle-même de diverses manières, par homographie et par polaires réciproques.

Voici les constructions qui résultent de la proposition précédente :

1° A une conique Y on circonscrit une ligne polygonale ayant

ciiAPuni; X. — LES polygones de poncei-et. 37.3

(// — i) sommcls. Si, par ces soniinels cl par les dcii\ points de contact des côtés extrêmes, on peut mener une conique X, il y a des polygones, de iti côtr's, inscrits dansX et circonscrits à Y.

2" Dans une conique X, on inscrit une ligne polygonale ayant (// — i) côtrs; on prend, en outre, les tangentes de X aux sumniels extrêmes; s'il existe une conique Y tangente à ces (n + i) droites, il v a des polygones, de in cotés, inscrits dans X et circonscrits à Y.

Ces deux constructions , corrélatives l'une de Taulre, s'appliquent sans obstacle jusqu'à n = \. Elles fournissent donc les cas du quadrilatère, de l'hexagone et de l'octogone.

3" Dans une conique X, on inscrit une ligne polygonale a\ant (// — 1) cotés; on prend, en outre, la tangente de X au dernier sommet; s'il existe une conique Y tangente à ces n droites et passant, en outre, au premier sommet, il y a des polygones, de '2 11 — I côtés, inscrits dans X et circonscrits à Y .

Cette construction s'applique jusqu'à n = 4 et fournit les cas du triangle, du pentagone et de l'heptagone.

C'est maintenant aux fonctions elliptiques que nous allons demander la définition générale de la condition de fermeture pour un nombre quelconque de côtés.

Représentation elliptique des lignes polygonales.

Ainsi qu'on Ta vu au Chapitre IX, on peut considérer les paramètres X et :r, comme égaux îx pu et p(// H- Ll), u étant un argument variable, U constant. De cette manière, les sommets successifs jr 2, x^i. X, X,, Xi, . . . ont pour paramètres les valeurs de la fonction j) pour les arguments a — 2U, u — U, a, it -\-lJ, n -r- 2U, .... Les paramètres jk, correspondant à x^pii, sont

Les arguments des paramètres a sont zéro et les demi-périodes; ceux des paramètres [j sont 4L ou |U augmenté des demi-périodes. Ce sont aussi, en ordre inverse, les arguments des paramètres y.' et [j'.

Les arguments des sommets, sur les lignes polygonales repliées, sont de la forme (o + /? L ((o étant zéro ou une demi-j)ériode).

374 DKIXIÈME l'ARÏIi:. — APPLICATIONS.

pour la première espèce (i); ils sonl de la forme (.<) -+- {n -+- ^)U, pour la seconde espèce (2).

La condition pour l'existence des polygones fermés, de ni sommets, c'est que niU soit une période.

Invariants.

Les deux invariants absolus a, y, qui caractérisent l'équation doublement quadratique (p. 34o), ont, sur la figure, des interprétations simples. Ces deux invariants

cpie nous avons envisagés comme des rapports anliarmoniques, sont cfTectivement les rapj)orts anliarmoniques des quatre j)oints communs aux deux coniques, considérés, dans un même ordre, soit sur X, soit sur Y.

La [proposition prouvée au Chapitre précédent, et qui consiste en ce que ces deux invariants déterminent l'équation sans ambiguïté, à des substitutions linéaires près, cette proposition est évidente par le mode de représentation actuel. Etant pris, en effet, quatre points à volonté, il existe une conique unique X, lieu du sommet d'un faisceau dont les côtés passent parées points et dont le ra[)port anharmonique soit égal à a. Semblablement, la conique Y est déterminée, sans ambiguïté, par le rapport y. Ces deux coniques déterminent les lignes poljgonales et, par suite, l'équation doublement quadratique.

On peut intervertir les rôles des variables j: et )'. Les rapports anliarmoniques analogues à a et à y doivent reproduire ces derniers. Ils sont composés avec les paramètres |j' et a'. On retrouve ainsi cette proposition très connue, que le rapport anharmonique des points d'intersection, pris sur une des coniques, est égal au rapport anharmonique des tangentes communes, ])ris sur l'autre.

Invariants de fermeture.

Les invariants de fermeture sont ceux qui, égalés à zéro, expriment la condition pour l'existence de polygones inscrits dans X

rHvriTiii; x. — les polycîones de poncelet. ^^7.5

cl circousciils à Y. Ce sont des fonelions des deux invarlanls fondamentaux a,-/. Nous les Irouverons en exj)rimanL ([uc niU csl une période.

El, d'abord, excluons le cas où 2U est une période; ce cas correspond à la supposition que la conicpie Y se réduise à un point, l'.u- cette supposition, (pii entraîne jiour jjU l'une des valeurs e,, ^2, C;,, Y aurait l'une des valeurs o, ce, i.

Aous allons considérer, en premier lieu, le cas où 4^ est une période. On a vu (t. 1, p. 5i) qu'en prenant

( 3 ) ji U = es -!- v/(ei— 6'3)(e2— 63) ,

on oblient, pour U, un quart de période. Avec cette valeur de pU, on a

pV — ei ^ /ei — e-i ^ pV — 6-2 Y ^2 ~ ^3

A cause des égalités (IX, 10, i5) , ,. e,— 63 ,pU — ei

il en résulle a^v'-. C'est une forme élégante de la condition pour le cas des quadrilatères : il r a des quadrilatères inscrits dans une conique X et circonscrits à une conique Y, quand le rapport anharmonique des points communs à ces coniques, pris sur X, est le carré du rapport anharmonique de ces mêmes points, pris sur Y . C'est d'ailleurs une traduction immédiate de la condition graphique, trouvée plus haut : les tangentes de Y, en deux points communs aux deux conicjues, doivent concourir sur X.

Il y a six valeurs de J)U, analogues à la valeur (3), et qui correspondent à des quarts de périodes. L'égalité a = Y' "'est donc pas seule pour traduire la condition relative aux quadrilatères. Au lieu de considérer les six valeurs de pU, nous pouvons aussi efTectuer le système complet des six substitutions, qui remplacent

à la fois y. et 3 iiar 1 — a cl 1 — fi, - cl r ' • • • • H n^îL de là trois

égalités seulement, savoir

(5) Y' — a = o, Y^"~ ^Y -i- i« = 0, Y' — iy.'{ -\- 'J. = o.

376 DiaXlfcME PARTIE. — APPLICATIONS.

Les premiers membres de ces trois égalités consliluenl trois facteurs de la fonction ^i(U), dont les racines sont les quarts de périodes (t. I, p. 9(3). Nous allons former effectivement cette fonction, ainsi que celle d'indice 3. Par là on trouvera tous les invariants de fermeture.

Par les égalités (4), on conclut c,, e^i e^, sauf un facteur arbibilrairc t, comme on Ta déjà vu au Chapitre IX, et Ton a

afa — 1)

:(pU-f3) =

De là résulte, si l'on multiplie membre à membre,

.iaVa — i)2(y — [)Y

(6) T^jy^u^

et, si l'on différenlie, en laissant a constant, ainsi que t, ce qui laisse constants les invariants elliptiques,