PU
En dilférenliant encore dans l'égalité (G) et remplaçant, au cfi
premier membre tjd'U —,- par l'expression (7), on obtient
Au mojen de l'égalité (6) et de l'expression de tjdU, savoir
C8) .3TpU
nous obtenons immédiatement <j'3(U), c[ui s'exprime ainsi (t. I, p. 95 et 96)
^3(i^) = 3pUjy2U-i-j/2u,
d'où résulte
'''^3(U; = ^^^^^,^'i4Y(Y-i;[:t2-(2Y-'r^-Yl-[Y^-C^'^-')T-^]^l-
CH.VPITRi; X. — LES POLYiiONES DE PONCELKT. 877
Le cIévclo[)pemenl du second membre offve des réductions, el
il resle
IViur calculer ensuite •]/•, (U), on a la formule MUJ=p'vU-p"U^3(U),
li doni
-^J Uj aa='(a — 1)3
P élanl un j)olynôme entier dont le terme du plus haut degré en y provient de la seconde partie — )/U'}:j(U); c'est v«. Revenant au\ égalités (5), on en conclut
Prenons maintenant, comme au tome I (p. io3),les deux quantités (que l'on ne confondra pas avec les paramètres des coniques)
eu nous souvenant que 'i/o n'est autre que — p'. Nous aurons
■^,«a2(a — i)2yMt -i)'* (ya— g)(Y2— -27 -4- a)(Y3 — aav •23a(a — i)y2(y i)2
En résumé, dans les deux égalités (10), a. eL^^ désignent les rapports anliarmoniques des quatre points communs à deux coniques X ef Y, pris dans un même ordre sur X et sur \ respectiK'ement. La condition pour Vexistence de polygones de m côtés ^ inscrits à X et circonscrits à Y, est
l'our /» = 3 .
m = Il
{y — x)x — yï =
{y — x){'>.x — y) — xy"^ =^ o,
r^iy — r —y-) — {y — jry = o,
yi{xy — j-2— j3) ,r(y — x —y^ f = o,
{xy — x^ — y^ ){y — o:f — Ty(y — r — j'^f = o,
cl ainsi de siiilc, confonnémenL à la rormulc récurrcnlc qui a clc clt'inonlrcc au tome I (p. io3).
Cas où les deux coniques sont tangentes entre elles.
Si l'on voulait considérer deux coniques tangentes entre elles, on se trouverait dans le cas où les fonctions elliptiques dégénèrent. Il est à remarquer que les formules précédentes s'appliquent fort bien à ce cas singulier, comme on va voir.
Supposant les points ao et a, infiniment voisins, on devra admettre, pour les différences ao — a, et (i>o — [^1, <les arguments de ces points, sur les deux coniques, des quantités infiniment petites dun même ordre. Les rapports anliarmoniqucs a et y sont donc infiniment petits, et leur rapport est une quantité finie c. D'après cette supposition, les formules (10) se réduisent ainsi
, . ( 4 c — 1 )■■* ic — }
et les résultats ci-dessus sont toujours valables.
Pour comprendre leur exacte signification en ce cas, observons <]ue y. est le carré du module des fonctions elliptiques, supposé nul ici. La fonction sn dégénère en la fonction sinus cl l'on a [en prenant \ = i dans l'égalité (19) du tome I, p. 24]
3 sin-U D'après nos suppositions, la Ibrmule (8) donne, en supposant
3pU =
De ces deux égalités résulte
c = cos-U.
Les expressions (i i) de .r ety peuvent alors être écrites sous la
forme
sin''3U COS2U
2'* sin^ U cos" L) 2'* cos* U
cii.vrniu: x. — les polygonks di: i'oncI'Lkt. 079
On a vu (l. 1, p. i<)S) (jiK! la foncLioii 'JuiU) s'expiiine |tiir la loiiclioii j sous la Imiuc
Pour la combinaison -'„, cmj)lojcc au Cliapilrc IV du lonie 1 ol (Jonl uous venons de faire usage, il en résulte
(12) Y„(U) = 3'(«U)(:rUj~^(3'2U) ~.
Quand se présente la dégénérescence supposée actuellement, la fonction a* se réduit à un sinus (t. I, p. i83), sauf un fadeur qui disparaît dans la combinaison (12), et l'on a
sin/iU (sinU) ^ (siii2U) »
Les deux, quantités x et y ne sont autres que v^ et v^: on a bien effectivement
(sin3U)3(sinU)- (sinSU)»
(sin2U)8 •^»(sinU)''(coslJ)8 '
sin 4U(sinU)'* cos'^U '' ~ (sin2U)5 ~ 2»(cosU)* ~'-^'
On voit donc que, pour le cas où les coniques sont langentes, le calcul emplové précédemment conduit à des résultats que Ton peut trouver directement par la multiplication des angles, et qui peuvent s'énoncer ainsi : deux coniques X et Y étant tangentes entre elles, on prend les rapports anliarmoniques a, y de leurs points d^ intersection, comme précédemment, en supposant a et Y infiniment petits et y : a = cos-U ; la condition pour V existence des polygones, de m côtés, inscrits dans X et circonsci'its à Y, est alors sin/?iU = o.
Il n'existe aucune simplification nouvelle pour le cas où les coniques ont entre elles deux contacts séparés, sont, comme on dit, bitangentes. En elfet, on peut supposer, à la fois, ao — a, et X;, — ao infiniment petits ; a et y ont encore un rapport (ini, (jui constitue un invariant c. Le calcul précédent s'appli({ue sans au-
380 DEUXIÈME PARTIE. — APPHCATIO^S.
riiiie modificalion. Deux coniques bilangentes peuvent, on le sail, cire considérées, au point de vue de la géométrie projective , comme deux cei-cles concentriques. A ce point de vue, le lien est manifeste entre la condition d'existence des polygones et la multiplication des angles.
Les cas où les coniques ont un contact du second ou du troisième ordre seront, tout à l'heure, examinés plus nettement par un autre procédé. On doit prévoir que, pour ces cas, l'existence des polvgones est toujours impossible ; car, dans une telle figure, il n'v a aucun invariant absolu.
Equation caractéristique.
Nous avons, au Chapitre IX, appelé équation caractéristique celle dont les racines/?, q, /-sont les trois quantités ":(jjc' — g)), etc. Par ces racines les deux rapports anharmoniques a, y s'expriment ainsi :
p— r qip — r)
Ces deux égalités ont précisément la forme de celles qui servent à exprimer les deux rapports anharmoniques a, y par les racines de l'équation dite équation en s dans la théorie analytique des coniques. Soient X=o, \ =o les équations des deux coniques en coordonnées ponctuelles. Envisageons , dans le faisceau .çX -f- Y = o , quatre coniques caractérisées par les valeurs 5o, S\ , .V,, S;i du paramètre s, et prenons la quantité
(^0 — ^i) f .y.-i — s,) ^ (*o — ^^2; (s-s — Si)
C est le rapport anharmonique des tangentes de ces quatre coniques en un quelconque des quatre points communs. D'après cette propriété, prenons So = y^, de façon que l'une des coniques envisagées soit X. Prenons ensuite, pour 5(, 50, 5», les paramètres au moyen desquels 5X + Y = o représente deux droites. Chacune des tangentes est alors une des trois droites qui joignent l'un des quatre points aux trois autres, tandis que la première tangente est
CIlAPirUE \. — LES POLYCO.NES DE PONCELET. 38 1
celle de X. Le rapport anliarmonifpie des fjualre tangentes est donc celui des quatre points sur la conicpic X.
Si />, </, /• sont les trois parainèlrcs dont il s'agit, on voit que ee rapport anharmoni«jue a Tcxprcssion donnée toul à l'heure pour a. Si l'on pi'end maintenant 3^ = 0 et encore />, q, r pour •f» , s-i, .Ç3 , on a, de nirnic, le rapport aidiarmonique •' avec son expression (1 3).
Les rapports niuliicls des quantités />, y, /• sot)t seuls déterminés, parles égaillés (i3), en fonction de a, ■'. De même aussi les rapports seuls des paramétres sont déterminés par la condition que 5X -1-^=0 représente deux droites; car chacun des polynômes X et \ est déterminé à un facteur près seulement. Aussi peut-on conclure en disant : Soient X = o, \ =: o les équations des deux coniques en coordonnées ponctuelles ; l'équation caractéristique a pour premier membre le discriminant de iX-i-Y.
Cette proposition, extrêmement élégante et qui est due à M. Cavlev, peut encore être établie de diverses manières.
Pour éviter toute confusion, désignons les coordonnées courantes (homogènes) par z,, z-2, z-3. Supposons la conique Y figurc-c par l'équation
en sorte que l'on puisse représenter les points au moyen d'un paramètre j' en posant
La tangente a pour é([uation
■iyZi — Z, — 2/2^3 =0.
Prenons deux tangentes répondant aux paramètres j' et y, . Les coordonnées du point d'intersection sont les suivantes
( 1 5 ) -1 : r + ji : : ^2 : ^yyi : : -3 : 1 •
Supposons maintenant les deux tangentes mobiles, mais liées entre elles par la condition de se couper sur une coni(|ue X, représentée par une équation du second degré homogène entre
382 DEUXIÈME l'ARTlE. — APPLICATIONS.
r,, :■-,, z.i- Celte condition se trouve exprimée si Ton remplace, clans l'équation de X, les coordonnées par les quantités proportionnelles (i 5). Ainsi,
\(Zi, :..2, Z:i) = o
étant l'équation de X , on aura l'équation de condition en écrivant
(i()) ^(r-^,ri, 2j)-7i, i) = o.
(iCtle analyse a un lien évident avec celle qui a été employée au Chapitre IX (p. 339), et l'on voit immédiatement comment, .r étant le paramètre du point d'intersection sur X, on déduira la relation doublement quadratique entre x et y. Mais c'est une autre conséquence que nous voulons atteindre ici. Nous avons actuellement l'équation doublement quadratique et symétrique (i6) et nous savons (p. 365) que l'équation caractéristique a pour premier mend^re le discriminant de sX.-'r{y — J'i)^- Oi"i si l'on remplace y et j, par ^,, z-^, ^3, en vertu des relations (i5), X redevient le premier membre de l'équation de la conique X et [y — yi )-' se remplace par
(/ —fi)- = (y ^ ji)^ - 4 j/i = -î — 2^2-3,
premier membre de l'équation de la conique Y. C'est donc bien le discriminant de sX. -h Y que nous retrouvons ainsi.
Coniques ayant un contact du second ou du troisième ordre.
Le discriminant se réduit à un cube quand les coniques ont trois ou quatre points d'intersection confondus en un seul. Les trois racines e^, e^, e-^ sont toutes trois nulles. C'est le cas ultime de dégénérescence pour les fonctions elliptiques, celui où la fonction 3'« se réduit simplement à u. On prévolt donc que les points successifs de la ligne polygonale seront caractérisés par l'addition d'une constante à un certain paramètre. Nous allons trouver aisément un tel résultat.
Conservant, pour Y, la forme d'équation (14)5 prenons
rnAPimi: x. — i.rs polygones dk poncelet. 383
de façon ([ii'il v ail conlacl du second ordre au [)()iul :;, r:^ z.i = o. L'cqualion (i(J) devient alors
(17) (7 — V,)î-^?.X(JK+Ji) = 0.
Résolue par rapport àjii, elle donne
L'équation difTérentielle correspondante est donc dr ^ f/ji
et rintégrale (17) peut s'écrire
Il n'y a plus aucune période. En choisissant les signes des radicaux, on peut écrire simplement
V^ À^ - 4 Xji - y/ À^ — 4 À J- ^- 2 X , puis conclure
/ X^ — 4 À7„, = v/ X- — 4 Xj- -f- 2 m X .
Le polygone ne se ferme jamais, puisque À ne saurait être nul. Pour le cas d'un contact du troisième ordre, on prendra
X = Y-X^| et Ion aura
(7— j'i)' = ^^, ri=j' — /X-
Autre méthode.
\'oici maintenant une autre manière d'étal^lir cette théorie, Prenons l'équation d'une conique X sous la forme
De même qu'au Chap. \III, exprimons les carrés des trois
384 DEUXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.
coordonnées en fonction de deux paramètres s et p-^ et posons
Pour traduire ces relations sous la forme elliptique, nous faisons
pv — ei pi' — e, pt' — e, i
ce qui donne
■zpi, = s — lip + q + /■).
Nous désignons par U l'argument qui répond à ç =: o, en sorte qu'on a
pU — ei p U — ^2 P U — <?3
Les expressions (i8) des trois coordonnées Zy, sont comprises alors dans la forme
^^'^ ^^- (e^-ep)(^a-e,^) P '
ce que, d'après le théorème d'addition des demi-périodes, on
peut encore écrire
J , ^ Pt' — gg
p2 "'-^ p(U — oj^) — eg
On reconnaît ici l'expression de cos-aj, employée au Chapitre I (p. a) de ce Volume.
En extrayant la racine carrée, nous pouvons écrire, au lieu de l'égalité (21 ), celle-ci
I a'(v — «iy) 3'(U — W5() ^rja(U + t'-W„
comme on l'a fait, à l'endroit cité, pour cosa.
CllAl'ITKE X. — Li:S POLYGONES UE PONCELET. 385
Considérons une autre conique Y, dont nous pouvons prendre l'équation sous la forme
llcpréscnlons les points de cette conique par les égalités ana-
logues
Cette dernière peut élre envisagée comme découlant de l'analogue (21) où l'on ferait U = o, et où l'on prendrait, pour ^3^, la limite de zhUz^, en sorte que, suivant la forme (22) donnée à l'égalité (21), on a maintenant
On en déduit
I , ^fc — (0-x)j'0)5( 'l'y.l*''— Wa'
p' ""* jV'
la sommation, au second membre, devant s'étendre aux trois demi-périodes. Cette somme nous est connue (p. 10); nous savons qu'elle est égale au double produit des quatre fonctions
Elle est donc nulle si nous lions les deux arguments v et ç' par la relation v' = v ±U. La droite joignant les deux points est alors tangente à la seconde conique, comme l'exprime la relation
Voici donc démontré à nouveau le théorème fondamental. Pour se bien convaincre que le mode actuel de représentation ne diffère pas, au fond, de celui qu'on avait considéré d'abord, il faut faire l'observation suivante. Par les formules (22, 2.3) les coordonnées z et z' sont représentées comme des fonctions de i', doublement II. 2.5
périodiques de seconde espèce, ayant chacune un seul pôle. Mais ce sont ici les fonctions particulières dont les multiplicateurs sont rt I (t. I, p. 234). Elle se changent en fonctions doublement périodiques ordinaires si l'on y met 2//, au lieu de v; ces fonctions ont alors quatre pôles. C'est ce qui doit être, en effet, quand on exprime les coordonnées d'une conique en fonction rationnelle du second degré par un paramètre, et que l'on représente ce paramètre par une fonction doublement périodique à deux pôles. Si l'on met ainsi 2 u et 211', au lieu de v et ç', sans changer U, la relation entre les deux arguments variables devient II' = uzh ^\J, et l'on reconnaît que U est bien le même argument qu'on a envisagé jusqu'ici. Par les égalités (20) nous trouvons maintenant encore que les trois quantités (^a — pU) sont proportionnelles aux trois racines p, q, r de l'équation
ayant pour premier membre le discriminant 5X — Y.
Autre expression des invariants de fermeture.
Soit
F ( 5 ) = 53 — Âi s- -h I<i s — /cs
le déterminant de 5X — Y, dont les racines sont proportionnelles aux trois quantités (jîU — e^), ou, plus exactement, ce discriminant divisé par celui de X. Considérons d'abord un argument variable c, défini par les égalités (19). On aura
(24) -Jp'H' = /iF{s), zpv = s-i/c,.
Pour calculer '}:)(f), nous pourrions procéder comme nous l'avons déjà fait plus haut (p. 376). Afin de varier, observons deux propriétés caractéristiques de '}:((//)• On a (t. I, p. 96)
d'où résulte
