CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE POXCELET

De plus, les cocfficicnls de -i/;,, comparé au polynôme général du quatrième degré

«oP*-^ 4«ir'-+- firt'2P--^ l^'aP -i- «i,

sont

•in ' rv In- -< - rt- 2

Jj "i ', .^ 2) i rt 3) I r, ,-5 2»

el l'invarianl (foCf; — U't •''u-l- 3rtj se réduit à zéro. Ces deux propriétés sont caractéristiques. De la première on déduit ,

par conséquent

■z^<li3(v)= 3 s'* — /^ i s^ -h 6/C2S- — 12/1-35 -f- const.

Parla seconde propriété, on détermine cette constante, qui doit faire évanouir l'invariant quadratique. 11 en résulte

(25) ■Z'<i^3{v):=3s*— 4 /m 5^ -i- 6 Ao .S^ — I 2 /.;j 5 + 4 Âj /.,— /.'I = F, (s).

C'est en supposant 5 = 0 que l'on voit ç se réduire à U. Ainsi On trouve tout aussi facilement

i6F'-(s)—9.¥'(s)Fi(s),

Les deux invariants de fermeture .r, j- (9) ont, d'après ces égalités, les expressions suivantes :

'^ ~ 2»/.!; ' -^ ~ 23/iiî

Expression des invariants de fermeture par des déterminants.

Le calcul de la condition pour l'existence des |)olvgoncs à /;? côtés se fait, au moyen des invariants x, 1', comme il a été indiqué précédemment. C'est ce qu'on a de plus sinqilc sur ce sujet. On ne saurait néanmoins omettre un autre moven de faire le

calcul, infiniment moins commode, mais extrêmement élégant. Il a été trouvé par M. Cajley et se rattache, de la manière la plus directe, à la théorie des fractions continues, ainsi qu'on le verra dans un Chapitre ultérieur.

Ce mo}en consiste à exprimer la fonction '!>,„ sous forme de déterminant, comme on l'a fait au tome I (p. 222)5 mais, au lieu de composer le déterminant avec des dérivées prises par rapport à l'argument, on emploiera des dérivées prises par rapport à jdU.

La condition que mU soit une période peut s'exprimer sous la forme suivante : il existe une fonction entière de pi' et p' v ayant la seule racine r r= U, multiple d'ordre m. Cette fonction est précisément celle-là même qui est dénommée '/ («) à la page 224 du tome I, sauf les notations //, r au lieu de c, U. On peut la mettre sous la forme M -|- Ny/F(A), M et N étant des polynômes entiers ])ar rapport à la variable .v, qui remplace pr, comme \jF(s) remj)lace p'{^)'

La valeur particulière U de l'argument v répond à 5 = o. L'existence de la racine U, multiple d'ordre m, exige donc que le déxeloppement de M H- Ny/F(5), suivant les puissances ascendantes de 5, commence par un terme du degré m. Pour effectuer ce développement, nous prendrons les expressions explicites des polynômes !M et N, et nous supposerons v^ï^('^) développé ainsi

(27) v/F(«) = Po^ P\s -^ p^s'^^ piS^^

Pour les degrés de M et N, il faut distinguer deux cas, d'après cette condition que, s étant regardé comme du degré 2 (ainsi que j3m), m H- n y/F (5) doit être du degré m.

M = r/y-i- a^s -T- aîS--\-. . .-h n,iS", H = b^-^ biS -\-. . .-h ba-^s"-'^-

La disparition des termes dont les degrés sont o, i, 2,...,/i fournit des équations contenant les coefficients de M. Pour les termes suivants, les coefficients de N interviennent seuls :

bn-iJH -^bn-zp* —.. .-h boPn+1 = O, l>n-lP\ -^bn-:iP:, — . . . -h ùo pn-^î = O,

b,i-ip,i+i -T- b,i-zp,i+2-^- ■ --T- àop2a-i = o.