CHAPITRE \. — LES POLYGONES DE PONCELET

2" m = 9^n-h\. La l'orme de M est la même, mais N a un lerme de plus ^„(.ç""', el les équations sont les suivantes :

■+- bop,i-i-i = o,

. -+- f>iiPn+1~ o.

l>n-lPii'r\ -+- bn-ïPn-

bopiii

A oici donc le résultat : ayant développé sous la forme (27) la racine carrée du disciiminant de (aX — Y), on obtient, pour l'existence des polynômes de in côtés, la condition

Pi

Pn^\ Pn^i

/'«-H Pn^l ■ ■ ■ pin-l

et, pour celle des polynômes de {'in + \) côtés, la condition

Pi

Pn ri Pn + i

Pn+l fhiA

Pin

Ainsi, pour les triangles, la coudilion cst/>2= o; pour les quadrilatères. p^z=o. On vérifiera aisément la concordance de ces conditions avec celles qui ont été trouvées précédemment.

La liaison avec la théorie des fractions continues est ici évidente; mais nous réservons l'étude de ces faits pour le moment où nous formerons efiectivement les fractions continues elles-mêmes.

Sur une forme de l'intégrale elliptique de première espèce.

Par un calcid tout semblable à celui C[ui a été fait au Chap. VIII (p. 3ij), on déduit des égalités (18)

p sfpqr ds

^./■(Zidzt — zids.,)

ipiz,idz-i— ZidZj) o.qjzidzj— z^dzj) ^ -1 ^2

SgO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Menons les lettres y et ^ pour désigner les deux formes quadratiques, représentées, jusqu'à présent, par X et Y :

Soient aussi

-..iz,'

Par les relations (i8), on a 'y = o-, et les égalités précédentes peuvent s'écrire

/ "iizidzx — z^dz.2) i( z^dzi — z-,dz^)

(28){ oAz,dz^-Z;dz,^ ds

On voit apparaître, sous le radical, le discriminant de {sf — >h). Ces égalités, obtenues en considérant ainsi les formes quadratiques f ci 'l réduites, s'étendent manilestenient à des formes non réduitcs, et voici maintenant comment on peut les trouver d'une manière directe.

Soity.-=:o l'équation (homogène en ^i, ^j, ^3) d'une conique. On peut représenter les coordonnées d'un point de cette conique par trois égalités, telles que

niyX- -r- 2/;ij X -:- 111 y lUiX'- -r- ini^x -H ni .,

miX--r 1 in^ X -+- ni.^

OÙ X est le paramètre et a un coefficient tout à fait arbitraire. Ceci étant, les trois déterminants, tels que (;o<:/;, — c, c/ca)) s'expriment ainsi

dx = 2a2[(/?2j tn'., — m-jm'y )x--T-(mim"2 — my/n'^ )x -^ ni\ m\ — m. y ni\].

Prenons, dautre part, les trois demi-dérivées partielles de /",

CIIAPITRi: X. — LES I>OLY(.0>ES DK PONCELET. SqI

par cxcmjilo f^^ en y subsliluaul, pour les coordonnées, leurs expressions (29). On a ainsi

/3= X(Ar2-t-Ba7-^C),

cl les coefficients A, B, C sont des constantes, indépendantes

de ).. Les trois rapports, tels que *"' "^ - ' — ?? sont donc indé-

pendants de \. En vertu de l'équationy = o, qui entraîne df= o, on a

/, dzx -^f.2 dz, -4-/3 dzs = o,

d'où résulte

z<,dz\ — Zidz-2 Zsdzî — z-idz^i __ z^dzs — Zsdzi

Chacun de ces rapports a, pour termes, deux polynômes du second degré en x, indépendants de X. Gomme d'ailleurs les trois polynômes dénominateurs n'ont aucun facteur commun, il faut que les polynômes numérateurs reproduisent les dénominateurs, sauf un facteur constant. Ainsi les trois rapports (3o) sont constants : c'est ce qu'on exprime habituellementen introduisant trois arbitraires c,, c-i, C3, dénotant par (^CidZiZ-:t) le déterminant

I Cl Ci C3

(3i) {ci dz-i Z3 ) — \ dzy dz.2 dz3

et disant que le quotient ^^ ^ -. ' . , , ■ est constant,

quelles que soient les arbitraires c,, Co, C3.

Soit maintenant 'h un polynôme du second degré, ou forme quadratique, homogène en ;;,, ^2? -s»- En y mettant, pour les ;;, leurs expressions (519), on obtient le produit de )>- par un polynôme X, du quatrième degré en x. Il en résulte

{ \],\ ( Cl dz^ Z3 ) d^ ^

(Ci/i -f- C2/2 + C3/3 ) v/<^ y/X

Voilà donc une nouvelle forme des différentielles elliptiques de première espèce. Cette différentielle, qui figure au premier

Sga DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

membre (32), est prise tout le long de la conique f =^ o^ c'està-dire qu'on y considère les variables comme liées par réqualion f= o. Elle est indépendante des quantités c\ de plus, elle ne dépend que des rapports des trois variables. Enfin elle est mise sous forme invariante^ comme il est évident. Mettre aussi sous forme invariante la substitution qui amène la variable 5, c'est ce qui n'offre pas de difficulté par les formules (18); on en tirera s ainsi

^-'■^-ùliP

rj)(p-r)^,

et l'on exprimera le second membre par les invariants etcovariants de/, ^|/. C'est là un calcul analogue à celui qui a été fait au Chapitre VIII. Mais, pour qu'on aperçoive mieux le lien avec la formule de duplication de M. Hermite (IX, 48), nous prendrons, comme point de départ, une identité entre des covariants.

Sur les covariants de deux coniques.

Soit/ une forme quadratique

/= ^Oij z,Zy = aiizi -haoi^l-^ a3

2ai2^i

2«2.î-2-3-!- 2rti3-iZ;j.

qui, égalée à zéro, représente une conique/. Son discriminant, que nous désignerons par //o, est le déterminant des coefficients.

ha =

les mineurs de ce déterminant seront désignés par les lettres a :

D'après les propriétés élémentaires des déterminants : i" le déterminant analogue, formé avec les a, est égal au carré de //q :

hl

^11 «12 «13 I 3ti2 «22 '^l.i «13 «23 «33 I

CIIAPITIIE X. — LES F'OLYGONES DE PONCELET. SgS

•>,'^ lc> mineurs de ce dernier reproduisent les coelficients primilifs, miillipliés par A„.

(33) Au«Jt = 3[22 2t.13— ^L) /'o'Tf23~ ai:,a,2— aii3:2:j,

En désignant par ç,, z-,^ ^i les coefficients de l'écpiation d'une droite

on sait, par les éléments, que la forme

égalée à zéro, représente la conique /en coordonn('es langentielles, c'est-à-dire la condition pour que la droite louche la conique. Soit maintenant une autre forme quadratique

Le discriminant de .9/ — 'l est im polynôme du troisième degré en 5

le premier coefficient est le discriminant Ao de /, le dernier A, est le discriminant de •^. Les coefficients intermédiaires sont composés comme il suit

A , = ^ a/y bij, h,= Z ciij 'ijj ,

la lettre |j étant employée pour représenter les mineurs du discriminant de '}.

Soit «y la forme adjointe à -i/, commet' a f^ et considérons la forme composée/"' — s'-V. Son discriminant est

Comme on Fa observé déjà, h[ et //', sont les carrés de Ao et /r, . On a aussi, à cause des égalités (33),

De là résulte

0'= A5— htyh.,s'-^ /13/iis'^— /i^s'^.

Si l'on pose

il vicnl

en sorlc qu'à chaque racine 5 de o correspond la racine -j— de d'.

Pour une telle racine, sf — -L = o représente deux droites et /' — 5'6'= o deux points.

Prenons maintenant l'équation de la conique^' — s'<y en coordonnées ponctuelles; son premier membre est

(34) /i,/—s'o-^s'-^/ii'!^{^},

'^ étant une forme nouvelle dont voici les coefficients :