CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. .^g/j

de CCS trois côlcs est rcprcscnlé aussi par l'évanoiiisscmcnl du jacobieii

Effeclivcmcnt, en multipliant ce déterminant par celui qui est formé des coefficients des premiers membres (35), on obtient le jacobien de P-, Q-, R^, c'est-à-dire PQR multiplié par le déterminant des coefficients des trois polynômes du premier degré P, Q, R. Par conséquent, sauf un facteur constant, on a

f~lHS'\\ {s=/),q,r),

le produit, indiqué par II, s'appliquant aux trois racines de o. Pour s'assurer qu'effectivement l'égalité a lieu, telle qu'on vient de l'écrire, il suffit d'envisager un point commun aux deux coniques / et (|/. En supposant ce point au sommet g, = ::^= o du triangle de référence, on aura <r/:i3 ^= ^:!:t= o, d'où résulte

'-'l 3) Pl2 = ^23^13)

Par conséquent, en ce point.

Or, en un point où^et '|i s'évanouissent, on a /i-si -4-/2^2-1-/353 = o,

et, par conséquent,

Donc enfin, en un tel point, ou D-= '^^, comme le veut l'égalité (3G).

Quand on suppose /—- o, le second membre seréduilau produit des trois binômes, tels que (o — pJi^'l). Comme è est le produit des trois binômes tels que (5 — />), on a ainsi

{37) pour f=o et 5=—^, D-=/<5t|/3o.

L'égalité (36), étant développée, prend la forme

Nous aurons encore à utiliser une autre propriété qui résulte aisément des mêmes considérations.

Désignons, en général, par^^î' une polaire

où y,, fil fi contiennent les coordonnées z. Abréviativement aussi mettons /(:;), j{z') pour désigner la formel/avec les coordonnées ; ou z' . Envisageons la combinaison

(Sg) (fY} = '^fi^^-A-m-)-A^)'^{^),

qui pourra être composée aussi avec une seule forme (4o) Uff) = {fir—A=^-)A^')-

Si on la compose ainsi avec une forme carrée, on obtient zéro pour résultat. Prenons donc l'un quelconque des trois carrés (35) et concluons que l'on a

c|uand on met pour .9 l'une quelconque des trois racines />, ^, /•. De là, trois identités que voici

I Ao(H) + '^2(//) = 2(/cp),

f (Yf) + o.Kh,{f^) = h,h,('y^) -4- h.hziff).

Nous aurons à employer la première.

CUAI'HUE X. — LES l'OLYGONES DE l'OMCELET. 897

Formules de duplication.

En supposant r,, Co, ^:t variables crunc manière quelconque, nous avons

-^ (-} d-:. - cp f/'L) = (02 -^3 - 03 'i/. ) ( -3 dz. ~ z, dz, )

— («s 'l'i — <?1 ^Vs )( -Si f^-3 — -3 C^^l ) -i- {Oi '1-2 — Cp2 'i^l )( -^2 dzi — Zx dZi ).

Nous pouvons écrire cette dernière quantité sous la forme

(4 0 \('^ d'^ - ? d'I) = {c\ . dz.2. z,),

comme nous avons fait précédemment pour le déterminant (3 i). Les quantités c' sont ici 'fo'j's — 'f-i'i'-^f • • •' et la quantité correspondante (c',/i H- c'2/24- c'3/3) n'est autre que — D. Supposons maintenant les variables assujetties à la condition /"::= o. La différentielle (32) est indépendante des quantités c. On y peut donc, sans la changer, mettre les c' au lieu des c; on a, de la sorte, d'après (4')'

(ci. dz2- Z3) __ I <l do — od<li

Si l'on pose maintenant

on obtient, d'après l'égalité (37),

(cj. dzi. Zii) r ds

(Cl/l -^ Ci fi -r- C3/3 ) \/<ll '^ yZ/lu 4* — /«l «^ + /'3 * — /'3

L'égalité (/îS) constitue l'expression de s par des covariants, dont il a été parlé (p. Sga). D'après les relations (19), où l'on prendra, pour simplifier, xr-^/j/^o, le second membre (44) est

SgS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

égal à Tv^/r. Puisque v est le double de rargument a, on voit que l'équation difTérentielle

(45) du

(Ci/i -H 02/2+03/3)/^

définit précisément ce même argument u dont il a été question jusqu'à présent. C'est, au reste, ce qui résulte aussi de ce fait que, si on le suppose nul en l'un des points di=: o, il est égal à une demi-période en chacun des trois autres points analogues. Ceci supposé, l'argument 211 est égal à une période quand s est infini (43). L'égalité (44) donnant

(46) y.du = -— ^ - >

on en conclut

(47) .9 = -^ (4p2«-^-jAi).

La ressemblance de cette analyse avec celle qui a suggéré à M. Hermite la formule de duplication (IX, 48), indique suffisamment une autre voie par où l'on parviendrait encore à ces résultats.

En supposant les c exprimés par un paramètre x (29), on obtient, pour 'i>, un polynôme du quatrième degré X. En même temps, o devient aussi un tel polynôme, et il est visible que o -\- |/î, 'i doit se changer en le hessien de X, tandis qu'en même temps D reproduit le covariant T ('). Un autre moyen s'offre encore. En définissant U par la différentielle (45) intégrée le long de la conique/ entre deux points ;:' et z, il y aura lieu de chercher l'expression de pU, comme on l'a fait au Chapitre IX (p. 359), et la formule (47) devra en résulter. Cette recherche est rejetée à la fin du Chapitre.

Les égalités (43) et (47) nous donnent

C) Voir à ce sujet un Mémoire de .M. Lindemanx, intitulé : Sur une représentation géométrique des covariants des formes binaires {Bulletin de la Société mathématique, t. V, p. 3i3, et t. VI, p. igj).

ClIAIMTnK X. — LES POLYGONES I)i; PONCELET. 099

En difTércnliant, nous oblcnons

, , \ il d<ç> — o d'il 0. p 2 ;/ du — - -! — , „ ' — -

ou, d'après les égalités (42, t\\A,

Calculons encore j/. Les égalités (46, 47) nous donnent

2 p' 2 if du. — |- /lo C^5,

p'2 2 f< — i-',T /ig ( Ao 53 — A, 52 -{- /jo 5 — /i3 ).

De là, par différentiation dans la dernière, résulte j/ 2 « = 8 /«o ( 3 Au 5- — îhiS-i- hi ),

c'est-à-dire, suivant (43),

( 5o ) p 2 u = -— ('f 2 - I /? , o 'i' -+- ï /'o Ao -y- ) •

Nous reviendrons, un peu plus loin, sur ces formules de duplication. Il faut actuellement observer que la définition (45) ne fait pas intervenir la conique 'l elle-même, mais seulement les quatie points où elle rencontre la conique /. Effectivement, comme dans la différentielle on suppose f= o, on peut, sans changement, y remplacer •} par 'i> + A/. L'argument u est, comme on dit, un combinant du faisceau 'l -t-")^/- Dans la théorie des polygones de Poncelet, il faut encore définir l'argument U. Nous savons déjà (|ue c'est la valeur de l'argument 2 m pour 5 = 0 [éq. (19) et (20)]. C'est ce qu'on retrouve facilement ici par l'égalité {'i^), où l'on voit que 5 est nul au point de contact de / avec chaque tangente commune (p. 894, en note). Les arguments it de ces points de contact sont :rU, sauf des demi-périodes. L'argument LJ est donc bien la valeur de 'in pour 5 = 0.

Nous venons de considérer les fonctions elliptiques comme des co/nùina/ifs du faisceau de conicjues, en faisant varier seulement la conique 'l. 11 est naturel d'étendre cette notion et de faire varier aussi la conique /. Pour ce but, il nous faut dire quelques mots des combinants.

400 DEUXIÈME PARTIE. — APCLIC.VTIONS.

Combinants d'un faisceau de coniques.

Au lieu (le y et •!/, on considère F el M', en posant

p, p', q, q' étant des constantes quelconques. On a alors

SF-T = (S/>-y)/--(S<7-<7')6 = (.9/-4-)(^'-Sg'),

Soit HoS^— H.S^ + H.S — H3 le discriminant de (SF — T) ; il reproduit celui de {sf — -i/), multiplié par {q' — S^)^. On a donc

HoS3— HiS-î-^ H2S — H3 = K{^p —p'f^hiiSp —p'y-iSq - q')

-^ /i3{S q — q' f ^ /u{Sp — p' ) {Sq — q')\

Par là sont déterminés les nouveaux coefficients H, qu'il n'est pas nécessaire de développer.

Le nouveau covariant <I>, qui remplace o, est composé linéairement avec o, y, 'l; soil A C3 4- B/ 4- G •} son expression. D'après l'expression de D sous forme de déterminant, on voit que D se reproduit multiplié par A(pq' — qp')- Mais, dans lidentité (38), le terme en 4)' seul reproduit un terme en es', et ce terme est affecté du coefficient A'^ ; on a donc

\-2(^pg'—qp'y-=A3-

d'oiî résulte

A ^{pq'-qp'T-

Ainsi, D se reproduit multiplié par {pq' — qp'Y '■, c'est la seule conséquence qui nous importe ici. Mais on verra tout à l'heure aussi quels sont les coefficients B et G.

D'une manière générale, on posera, pour un poljnôme P du degré /z en ::, , ^2, ;;3,

I r;P p I '>P p I àV

n dz-i II oz-2 n azs

comme on l'a fait déjà pour/", '^, •!*, où n était égal à 2.

CIIAPITIIE X. — LES POLYGONES I)i: PONCELET. /jOI

Supposons (juc ce polynôme P soit exprimé, comme Test D-, j)ar une fonclion de/, o, (|/, à coefficienls conslanls, homogène et du degré ni, en sorte (pie Ton ail // ^= '.m. formons le déterminant (/, . •}... P-i). Soit

on aura nianiieslemcnt

ou bien

Ainsi, le déterminant (y,.'i>o. P3) s'obtient en multipliant par

— D la dérivée partielle de P, prise par rapport à o considérée

comme une variable.

Appliquons ce résultat à D-, pour lequel on a m = 3, et observons que (D-), est égal à DD, ; nous aurons, d'après l'expression (38) de D-,

C'est un nouveau combinant, cpii se multiplie par (/;^' — 1P')'i quand on change f ei <l en F et W.

Appliquons ce même résultat à E et nous aurons

^-^^^^^^ = o-\{lHf^h,^).

C'est encore un combinant, (jui se reproduit multiplié [)ar {pq — 7/^')"- ^^ ^ donc

égalité qui lait connaître explicitement <I>, comme on l'annonçait tout à riieure.

Fonctions elliptiques sous forme de combinants.

Imaginons que nous ayons défini l'argument elliptique ;/, non plus au moyen de la conique/", mais au moyen d'une conique quel- 11.' 26

conque F du faisceau. Soit ainsi

du —

Celte diflY'renlielle est considérée le long de la conique F = o, el // a la valeur initiale zéro en un des points fixes du faisceau, toujours le même. On aura l'égalité analogue à (48), savoir:

I *— '-HiW P^"^4 ^ '

mais, puisque F est supposé nul, on peut écrire aussi

I ci>|(n,xj-^ H,F) p2« = 7 ^p -—'

Le numérateur étant un combinant, nous pouvons écrire cette égalité sous la forme

(pq' — qp'f-

Semblablement, dans l'égalité analogue à (49)? D se reproduisant multiplié par [pq' — <jp')'^, on a aussi

aD.

Écrivons l'identité (38) sous la forme suivante :

D2 = Cp3 — KiCp2 + K2'^ — K3 = i('^),

K, = A, h^p -+- hJwY- -^{/hh, - 3 A3//o)/'^

K3 = h.hlp ^ iHhl .P + (Af - 'xhoh,)h,p'Y-^ (hl - ih,hi)h,f'y,

et posons

(pcj — qp f

les expressions de paw et jVaw prennent la forme

CHAPITRi: X. — LES rOLYGOXF.S DE PONCELET. 4o3

lûulcs semblables, dans laspccl, auv expressions (a/j) de pv et p'-r. La letlre -^ rcmplaee s. La signification des lellres est, de part et d'antre, bien diflcrentc cependant ; les coefficients du polynôme rî et la quantité t sont ici des quanlitcs variables. Malgré cette difi'rrencc, toutes les autres fonctions elliptiques se composent encore ici par des formules toutes pareilles à celles qu'on a trouvées dans le premier cas. Prenons, par exemple, p"2U. Dans son expression (5o), on reconnaît le combinant E (5i), où l'on a fait F = o. On a donc maintenant

Mais, d'après la manière même dont on a formé E, on a aussi

Par conséquent,

-:2jy'2« = 2 J'('i),

exactement comme les expressions (a4) de pi> et p'v donnent

-Jp"i> = 2F'(5).

C'en est assez pour que l'on déduise de là, par analogie avec les égalités (25, 26), celles-ci :

( J2) ■:'*<\i3{2u)= 3cpi— 4Kicp3-i-6K20- — iaKj'j + {KiKj — K| — .Ji('-î), ^'^^ ^«'^y^^=-'6iH'.)-2.f'('.).f.(o) = ^,(^^).

Soient maintenant, comme plus haut (9),

nous avons pour ces fonctions les expressions suivantes (-J/o étant égal à — .p') :

■i^J* -X^rP

Par leur moyen, on pourra calculer une quelconque des fonctions (t. I, p. 102)

d'après les formules récuncnlcs déjà employées dans ce Chapitre. Toutes ces fonctions nous sont donc dès maintenant connues sous forme de combinants absolus, (diacune d elles est, par nos formules, déterminée en tout point du plan, et leur expression est indépendante des deux coniques particulièresy, 'y, qu'on a choisies dans le faisceau.

Ici se présente tout naturellement la considération du lieu géométrique défini par l'équation '|i„(2if) = o. Nous devons donner de ce lieu géométrique une définition indépendante des fonctions elliptiques et mettre en lumière un fait bien remarquable : ce lieu se décompose en plusieurs lignes distinctes, comme déjà nous le voyons à l'égard du lieu •lo(2«):^o. Effectivement, 'l^ n'étant autre que p', ce lieu est défini par D = o; il se compose des trois côtés du triangle conjugué, commun à toutes les coniques du faisceau.

Représentation elliptique des points d'un plan.

Nous supposons donnés, dans le plan, quatre points fixes ao, a,, ao, as, pivots du faisceau, et nous affectons à chacun d'eux, pour argument, une demi-période, y compris zéro. Soient, pour fixer les idées, o, oj,, Wo, tos les arguments respectifs de ao, aj, ao, as, dans cet ordre. L'invariant absolu ou module des fonctions elliptiques doit être d'ailleurs considéré comme variable, en sorte que, pour chaque point du plan, il y aura un module et un argument, servant de coordonnées.

Soit z un point du plan. Envisageons la conique /' du faisceau qui passe par ce point. Le rapport anharmonique a des quatre points a, sur cette conique, définit l'invariant absolu (4) des fonctions elliptiques. En supprimant la conique, nous avons, pour a, le rapport anliarmoni([ue du faisceau de droites, ayant son sommet au point z, et passant par les quatre points a.

La fonction pu est alors, pour les divers points de la conique y, un paramètre correspondant uniformément aux divers points de cette courbe, et prenant les valeurs ^, (?| , ^o, e^ aux quatre points a. En désignant par y le rapport anharmonique du faisceau de quatre droites dont a^ est le sommet et qui passent par z, a,, a^, aj, on

Cll.VPITUE X. — I.KS POI.YfiOM-S DT. PONrEI.F.T. [\OÔ

a donc

en même loinj^s (jiic

e^ — ei

\ oilà (Jonc les lonclions (•lli|)li(ines et Targument définis, pour cliaque point du plan, par les rapports anliarmoniqucs de deux faisceaux de droites. Il s'agit maintenant de reconnaître la propriété géométrique des points qui répondent à des parties aliquotes de périodes.

Joignons le point ; au j)oint ao et envisageons la conique 'l du faisceau qui a cette droite v-qZ pour tangente. Pour cette couple de coniques y et 'l, l'argument ;/ du point z coïncide avec l'argument dénommé précédemment U.

Voici donc la propriété géométrique de tout point :; dont l'argument u est une ni^"'"^ partie de période : si, par z, on mène une conique f du faisceau ci que, Icingenliellenienl it a„-, on juenne une autre conique 'l du faisceau, il existe des polygones de ni Cotés, inscrits dans f et circonscrits à 'l.

Pour chaque entier m, il y a un lieu du j)oint c; c'est ce lieu qui doit être examiné. Mais il est bon de s'arrêter un instant sur une conséquence du mode actuel, employé pour représenter les fonctions elliptiques.

Multiplication des arguments par 2.

Lu point z du [)lan icprésenlant un module et un argument elliptique, il s'agit de trouver le point )' qui représente le même module et l'argument double.

Pour cet objet, nous avons une construction : considérer les coniques/et -i/, comme on vient de le dire, puis mener du poini :; à la conicjiic ■]> la seconde tangente, prendre le second pouit d lulerseclion de cette tangente avec/": c'est le point )- demandé. C'est cette construction que nous devons réduire en formules.

Pour triangle de référence, nous choisissons le triangle conjugué du faisceau; nous affectons aux (juatrc points a les coor-

4o6 DEIXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

données C| = i , Co = rh i ,:;;) = ± i et choisissons les signes plus pour le point ay. En désignant para' les coordonnées courantes, on a, comme on s'en assurera aisément, les formes suivantes pour les équations des coniques /cl vî;,

f = {z\- zl)x] -~{zl- z])xl-^{z] - zl)xl = O,

<V = (-2 — Zi)^\ -4- (23 —ZY)T\-^{Zi — Zi)xl = O.

Le point de contact x de la seconde tangente, menée du point z à la conique 'i>, a pour coordonnées

zlz\

.Ti = -^2-^3 -^1-^2 ' -"1 -^31

\ Xi =^ ZiZ-i — Z-^ Z^ -^3-^2 •

Enfin, le second point y où cette tangente coupe la conique / a les coordonnées

(55) jj2 l ^3

Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ces formules, que chacun pourra vérifier sans peine par les procédés de la Géométrie analvtique. On reconnaîtra aussi qu'à chaque point j'' correspondent quatre points z, comme cela doit être, puisqu'en passant dey à ^ on divise l'argument par le nombre 2.

Les formules (55) donnent

J'l-2— -1^2 JK2^3 — ^2^-3 73^1— ^3 Jl „ , ^__^.

(•Si— -2)^3 (-2 — -=3J-^I (-3— -1)^2

par où l'on reconnaît que l'équation

(56) Ao= -1^2-^-2-3-^-3-1= o

caractérise les points - coïncidant avec leurs correspondants j)^; ce sont ceux dont les arguments sont des tiers de périodes.

Pvemarquons enfin que les trois droites, joignant deux à deux les points a,, ao, 7.3, et dont les équations sont

-32 -+--3=0, -3+^1=0, Zi-^ Z-2^ O^

CIIUMTIIK \. — I.KS IM»I.V(;0>ES Dl- PONCF.I.KT. 4^7

coiipeiil mil.' ((iniciiic (|iiclc()ii(jii(' du (aiscciui, cliiicunc en deux. de ces points a,. Xj, a^.

Enfin, nous déduisons des formules (55) y, -hj'o = — 1Z^^ z',i ... ; ce (jui fait relrc»uvcr ce rcsullat déjà connu, que le lieu des quarts de périodes se compose des trois côtés du lriani;le de référence.

Multiplication des arguments par un nombre quelconque. Ces éléments suffisent pour construire les deux fonctions

Nous savons que ce sont des fonctions rationnelles de pu et des invariants. Ce sont donc ici des fonctions rationnelles des coordonnées z. Composons des fonctions rationnelles de ces coordonnées, ayant les mêmes racines et les mêmes pôles, avec les mêmes ordres de multiplicité. Ce seront les fonctions oc, y sauf des facteurs constants, qui se détermineront sans peine. D'après ces considérations, nous avons

(58):r = - (-1 ^2 + ^2^3+ ^3^1 1^ ^ fi£2£3

Ces fonctions, en effet, homogènes et du degré zéro, ne dépendent que du seul j)oinl z. Elles ont les racines et les pôles demandés, avec les degrés de multiplicité nécessaires; car, on le remarquera, la fonction dénominateur

{Zi-~ Z-i){Zi-r-Z3){Z3-^ Zi )

admet chaque demi-période pour racine double. Enfin les valeui's numériques des fonctions, pour u = o, coïncident de part et d'autre. Les expressions (Sy) donnent, en effet, pour u = o,

tandis que. pour les quantités (58), on trouve, en supposant ^, =z ^.j= C3, c'est-à-dire au pointa,,, les mêmes valeurs numériques.

4o8 DEIXIKMK PAUlli:. — APPLICATIONS.

Au moyon des deux fonctions x etj»', nous savons cfTecluer la muhiplication de rargumenl jiar un nombre entier cjuelconcjue.

LJeu des points dont les arguments sont des parties aliquotes

de périodes.

D'une manière générale, appelons ;,„ un point dont l'argument est la /;i"^"'^ partie d'une période. Nous connaissons déjà le lieu des points ;;,, c'est Ao (56), et celui des points^., c'est l'ensemble des trois côtés du triangle de référence.

Le lieu des points Z(, est formé par l'ensemble de trois coniques A,, Ao, A3, dont on obtient les équations en égalant à zéro les trois quantités x (54). C'est une conséquence immédiate des propriétés que nous avons reconnues aux lignes polygonales repliées. Mais voici un autre moyen.

S. anto -i- 2n'co' ,, ,. • r 1

oit I argument d un point z^,. Les deux entiers n

cl // ne doivent pas être pairs tous deux, sans quoi il s'agirait d'un point C:). Considérons le point dont l'argument est /iw + /i'(o'; c'est un des points a/, mais non pas ay, comme on le voit par l'observation faite sur n et //. La différence entre les arguments

de ce point a, et du point Zf, est 7, 01 donc on mené une

conique '!/(, tangente à la droite a/^c? l'argument correspondant U est un tiers de période. Le point ^c ^ donc, par rapport au point a/, la même propriété que chaque point z^ par rapport au point ao.

Par le changement du signe des coordonnées, on échange les quatre points a les uns dans les autres. Ce changement a pour effet de changer la conique Aq en l'une des coniques A,, Ao, A3. La proposition est donc prouvée.

On parvient encore au même résultat par cette observation que l'on a, d'après les formules (55),

J>'lJ»-2-+- J-2J-3-Î-JV-1 = AftAi A2A3.

Si, de même, dans A,, A2, A3, on substitue, à la place des -G, les y, exprimés par les formules (55), on obtient les équations de trois courbes, composant le lieu des points Z\<x. Répétant celte même substitution, on obtient le lieu des poinls z.,,^., ....

ciiAi'rmK X. — i.rs polygonks dk poNr.F.i.i-r. 4^9

D'une manirrc f;('iiéralf', on voil, pai- 1rs nirincs raisonncnionls, (|nc le lieu des points z-^n+i se compose d'une courbe : en Iranslornianl cette courbe par la substitution (');>), on obtient trois nouvelles courbes, lieu des points Zui+j: cl l'on peut obtenir les mêmes courbes, en changeant, dans Tt^pialion de la précédente, les signes des coordonnées. En répétant ensuite la même substitution (55), on obtient constamment trois courbes, composant le lieu des points z»„^^, '•ici+a-,

Pour les i^oints ;■,, le lieu se compose de trois lignes droites; en répétant la substitution (55), on obtient toujours aussi trois courbes distinctes, pour le lieu des points dont l'indice est une puissance de ■?..

Revenons maintenant aux combinants rationnels par lesquels

s'expriment 'i>;,(2«), •b^{2i(), La fonction •]/,„ (2 m) a pour racines

toutes les n'""^^ parties de péiiodes, n étant un diviseur de Q.m. Si m est impair, le lieu, obtenu en égalant à zéro le combinant correspondant, comprend les lieux des points Zn et z-^ni en tout quatre courbes, pour chaque diviseur de n. Il se compose, au total, de courbes distinctes dont le nombre est égal à quatre fois celui des diviseurs de m. Soit maintenant m = '2^ m', m' étant impair. Outre les courbes analogues, en nombre 4^'''^ l'elalives aux diviseurs de m', nous aurons encore d'autres courbes, en nombre 3c/, lieux des points dont les indices sont /\/i'^ S/<', ..., ■>/'+'//, pour chaque diviseur n', y compris l'unité. En résumé, si l'on a ni = i"ni\ m' étant impair, l'équation '^,„(2«)=:o représente des courbes dont le nombre est 3rt -j- (3rt -t- 4)^"'? '^' étant un diviseur quelconque de m' , l'unité non comprise. Si l'on a m =^ 2", le nombre des courbes distinctes est seulement 3«.

Par exemple, le combinant .f, est le produit de quatre facteurs quadratiques AqA, A^ A.^. Le combinant S.^ est le produit de trois facteurs du quatrième degré: c'est yiVoj's. Les trois autres courbes nécessaires pour former le nombre six, exigé par l'énoncé précédent, sont les trois droites ^,rjC.j^o, conformément à l'égalité (53).

4 10 DEUXIÈME TAUTIE. — APPLICATIONS.

Nouvelle intégration de l'équation d'Euler.

En définissant la dlfTérenliclle de l'argument elliptique au moyen de l'égalité

du =

on peut refaire, sous une forme appropriée, les théories qui ont été exposées dans le Chapitre précédent.

D'après les égalités (29), tout polynôme du second degré en X peut être remplacé par une fonction linéaire et homogène des coordonnées Z|, s^^^s d'un point de la conique/. Un polynôme doublement quadratique et symétrique de deux paramètres x^y peut donc être remplacé par une fonction doublement linéaire et symétrique des coordonnées ::|, z-^, z-s et z\, z'.^, z[ de deux points pris sur cette conique/. Une telle fonction est la polaire F^' d'une forme quadratique. Ainsi l'intégrale de l'équation d'Euler peut être présentée sous la forme F^';= o, ce qui, en termes géométriques, peut s'énoncer ainsi :

Une ligne polygonale étant inscrite dans une conique et circonscrite à une autre conique, il existe une troisième conique par rapport à laquelle deux sommets consécutifs quelconques sont conjugués (*).

C'est sous cette forme qu'il s'agit de mettre effectivement l'intégrale. L'équation d'Euler exprime que la droite zz' est tangente à une conique fixe, faisant partie du faisceau (/,'}')• Soit à — \f le premier membre de l'équation de cette conique. La condition de contact s'exprime par l'égalité

qui se réduit à

(59) {•!^^-^-fiy-'H-)'H-)=o,

(') C'est sous cette forme même que les polygones de l'oncelet ont été considérés par M. .Moutard dans le Mémoire inséré au Tome I des Applications d'Analyse et de Géométrie de Poncelet (p. 535). L'étude de ce Mémoire ne saurait être trop recommandée. Comme on le dira dans l'historique, à la fin du Tome III, on trouve dans ce Mémoire les formules de la multiplication de l'argument données, pour la première fois, sous leur véritable forme.

CHAPITIIK X. — LES POLYGONES DE l'ONT.EL'-T. 4ll

pijisquey*(-) cl/(z') sonl nuls. On lire de là dabord l'inlégralc (60) 1=1^ ^ y., '^ ^ = ronst.,

cnlièrcmenl équivalcnlc à Tinlégrale (S/i) du Chapitre IX.

Dans l'intégrale sous forme entière (09), il y a lieu de faire une transformation toute semblable à celle qu'au Chapitre IX on a faite pour passer de l'intégrale (33) à l'intégrale (Sp). Or, suivant la notation (Sy) du Chapitre actuel, cette intégrale, étant développée, s'écrit ainsi :

Mais on a, suivant l'égalité (4o)>

ce qui, en vertu des suppositions /*(;)= o, /"(;•')= o, se réduit à

Le facteur yi supprimé, on a donc

C 2 ç- — hif — ■>. Iiq à 6 -1- Ao >'-f)l' = o.

C'est 1 intégrale cherchée, sous la forme définitive (').

Si l'on prend le cas particulier où z et z' coïncident, une racine A devient infinie; quant à l'autre, elle se réduit à y^ ; elle coïncide avec la variable s (18), envisagée précédemment.

Nouvelle expression de j)«.

Soit l'argument U défini par l'égalité

(cx.dz-i.z^)

(Cl/l-f-C2/2-HC3/3)v/^

(•) Cette forme est inédite; l'auteur en doit la connaissance à une bienveillante communication de M. Glsdelfincer, professeur à Darmstadt, qui a, le premier, considcré la différentielle elliptique sous la forme (Sa) et trouvé la formule de duplication ( \?>,\ \ ) ; voir Journal fCir die reine und ang. Mat/t., t. LWXIII.

4l2 DEUXIÈME PAnriE. — APPLICATIONS.

OÙ l'on (Miloiul que rinlégralc est prise, le long- Je la coniquey", depuis le point z' jusqu'au poinl ;, le premier élant envisagé comme fixe.

La (juanlilé A, qui dovicnl infinie quand r' coïncide avec z et non autrement, est nécessairement un hinùme du premier degré en pV . Nous allons trouver ce binôme.

Si l'on envisage les intégrales (/, u' analogues à (6i), mais prises depuis l'un des points où ']> est nul, l'une jusqu'à s, l'autre jusqu'à z' , U est égal k ii — u' ; l'une des racines \ de l'équation (09) est «jj(« — «') -h ^. L'autre racine esl ap{u -\- ii')-\- b\ c'est ce qu'on voit immédiatement, comme au Chapitre IX pour l'équation analogue, par le cliangement du signe de \/'l[z'). Si maintenant on fait coïncider z' avec z^ cette dernière racine devient ap 2U -\- b. Or nous venons d'observer que, dans ce cas, \ coïncide avec 5, et nous avons déjà trouvé l'expression (47) de s par p'i.ii- Nous pouvons donc conclure maintenant que, L' argumenl U étant défi iii par r égalité (61), on a

expression entièrement analogue à celle qu'on a trouvée au Chapitre IX (p. 359).

oiiAi'iiiu: XI. — LKs COI iini;s dl I'ukmieii (^i-mik. 4i3

ClIAPITHK \[.

LRS COURBES DU PKEMIEU GKMU: ; L.V CUBIQUE PLANE (').

Généralités sur le mode de représentation des courbes du premier genre. — Second mode de représentation. — Propriétés élémentaires des courbes du troisième degré. — Distinction des divers cas, au point de vue de la réalité. — Rapport anliarmonique des tangentes. — Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de première espèce. — Expression elliptique de la première polaire. — Dérivation par rapport à l'argument. — Expression elliptique de la seconde polaire. — Les fonctions elliptiques exprimées par des polaires. — Autre démonstration.

— Sur l'expression des covariants par des polaires. — Les fonctions elliptiques exprimées par des covariants. — Multiplication par 3. — La cubique rapportée à un triangle d'inllcxions. — Expression des fonctions elliptiques et des invariants. — Multiplication de l'argument. — Sur les combinants. — Biquadratiquc gauclie. — Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de j)rcmière espèce.

— Deux modes de coordonnées elliptiques dans l'espace.

Généralités sur le mode de représentation des courbes du premier genre.

Soit une courbe plane du troisième degré, que l'on représente par une équation entre des coordonnées rectilignes x, y, dont l'origine est prise sur la coui'bc. Si, dans cette équation, on pose y = )>.r, on oljticnt, par disparition d'un facteur x,

Chacun des coefficients est un polynôme entier dont le degré

(') .\ consulter : les Leçons de Clebscli, pour la lliéorie des cubiques planes; pour celle de la biquadratique gauche, un Mémoire de M. ILvrnack : Ueber die Darstellung der Raumcurve !\" Ordnung eister Species iind Unes Secantensystems durcli doppell periodische Functionen {Math. Annalen, \II, p. 48).— Comme application des théories de ce Chapitre, nous recommandons particulièrement l'étude d'un beau Mémoire dû à M. Dardouk : De l'emploi des fonctions elliptiques dans la théorie du quadrilatère plan {Bulletin des Sciences niathcniatiques, 2* série, t. III, p. log).

4l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

est marque par son indice. L'expression qu'on eu lire pour x conlienl la seule irrationnalité y/F().) :

Fa)=/3(>o-/i(>o./3(^o-

Le polynôme F, soumis au radical, est du quatrième degré. Or on sait que \ et y/F peuvent être, à la fois, exprimés sous forme de fonctions elliptiques d'un même argument. Il en est donc ainsi de x et aussi de y = Xx. Par conséquent, les coordonnées d'un point variable sur une courbe plane du troisième degré peuvent être exprimées par des fonctions elliptiques d\in même argument.

Les racines de F correspondent aux tangentes menées de l'origine à la courbe. Si la courbe a un point double, deux racines deviennent égales entre elles et le polynôme soumis au radical se réduit au second degré : les fonctions elliptiques dégénèrent.

On voit donc que ce mode de représentation des coordonnées par des fonctions elliptiques concerne les cubiques sans point double ou de sixième classe.

Examinons la proposition réciproque et, généralement, considérons deux fonctions elliptiques (entendues comme au début du Chapitre IX) ayant, toutes deux, les mêmes pôles, en nombre n. Soient x^y ces deux Ibnctions. Elles sont liées par une équation algébrique, qui est du degré n par rapport à chacune d'elles séparément ; mais, comme elles ont les mêmes pôles, l'équation est aussi du degré n par rapport à ^ et j' considérés ensemble. Elle représente donc une courbe de ce degré n. On peut encore dire que A.X -\- ^y -h G est une fonction à n pôles, qu'elle a donc n racines et que, par suite, toute ligne droite coupe la courbe en n points; ce qui conduit à la même conclusion.

Pour préciser les courbes dont il s'agit, nous allons considérer aussi leur équation en coordonnées tangentiellcs. A cet effet, prenons d'abord des coordonnées homogènes ^j, x^^ X3, au lieu des coordonnées cartésiennes x^ y. Ces trois coordonnées seront proportionnelles ou, si l'on veut, égales à trois fonctions elliptiques du même argument, ayant les mêmes pôles, en nombre n. Mais maintenant ces pôles sont arbitraires ; on peut les supposer réunis en un seul, multiple d'ordre /i. En altérant l'argument

CHAPITHE XI. — LES COIBBES IH rilEMIRR (IF.NRE. j I 5

(riinc constante, on peut supposer que ce pôle réponde à // = o ; d'après (pioi, l'on a siniplenient trois éijuutions de celte forme

(i) pxi = ai -T- bipu -+- c,]ï u -7- ... -1- //p'«-2'k (t = I, 9,, 3).

Les coordonnées langenlielies sont proportionnelles aux trois déterminants binaires formés avec les coordonnées poncluelles et leurs dérivées premières, par exemple

Dans ce déterminant, le terme p("—-^)p("-') disparaît. Réduisant tous les autres termes à la forme linéaire en pi/, p'u, etc. ... (t. I, p. 2o3), on obtient

(4 ) ?' U- = A/, -4- B/,,p u ~ C/,p'u ^ . . . + L/tP<2«-2' « ( A- = 1 , 2, 3 ),

expression toute semblable à celle des coordonnées ponctuelles, sauf changement de n en 2«.

Ainsi, en général, la courbe représentée par l'équation (s>), en même temps qu'elle est de degré /«, est de la classe in.

D'après la théorie générale des points multiples, on doit conclure que cette courbe a des points doubles en nombre ^,n{n — 3).

Un tel point double, en général, provient de deux valeurs différentes qui, attribuées à l'argument //, donnent, pour les coordonnées JT, deux systèmes de valeurs proportionnelles. Il faut se garder de le confondre avec le point singulier qui se présenterait dans le cas où deux des fonctions oxi auraient, à la fois, une même racine u, multiple pour toutes deux. Les circonstances qui se présentent en un tel cas se comprendront mieux sur le second mode de représentation que nous allons exposer pour les coordonnées.

Second mode de représentation.

La fonction (2) peut être exprimée par une fraction dont le dénominateur est (du)" et dont le numérateur, sauf un facteur constant, est le produit de n fonctions c" (?/ — a), où la somme des racines a est nulle. Le dénominateur étant unique pour les trois fonctions analogues, dont le rapport seul intervient, on peut

l6 DEIXIÈME l'AUTIE. — APPLICATIONS.

omellrc ce dénominalcur. Dès lors, on pcul clianger, de nouveau, rargumenl u cl omellrc la condillon relalive à la somme des racines a. On aura donc

(5) pr/ =:;■(« — a/) o-C» — ?/)... j-C» — //) (t = i,'^.,3),

avec celle condition que la somme a/ + [3/ + . . . + )>, ait une seule et même valeur pour les trois coordonnées.

Dans ce nouveau mode de représentation, on voit clairement qu'on ne doit point supposer l'existence d'une racine commune au\ trois fonctions. Si une telle racine a existait, en elTel, il y correspondrait, dans les trois fonctions, le facteur commun d[ii — a), qui serait à supprimer du second membre, comme pouvant être compris dans le facteur p du premier membre.

Supposons maintenant que deux des trois fonctions aient une racine commune a et que celle racine soit multiple de Tordre ijl pour lune des fonctions, d'un ordre égal ou supérieur pour l'autre. Il est visible qu'en ce cas celte racine appartient aussi aux trois déterminants (3), qu'elle est multiple de l'ordre ^ — i dans l'un d'eux et d'ordre égal ou supérieur dans les deux autres. S'il en est ainsi, les fonctions p'^A, réduites, elles aussi, à la nouvelle forme (5), contiennent le facteur commun \^d[u — a)]H-~', qui doit être supprimé. Ces fonctions, ou lieu de in facteurs, en contiennent seulement in — (y. — i).

Plus généralement, si deux combinaisons linéaires des quantités zxi contiennent ainsi une racine commune et multiple a, la même conclusion s'applique encore; caries coordonnées langenlielles ç se transforment par une substitution linéaire en même temps que les coordonnées ponctuelles x.

Une branche singulière de la courbe correspond donc à tout argument qui est racine multiple, à la fois, dans deux combinaisons linéaires des trois coordonnées ponctuelles. Soit [j. l'ordre de multiplicité de celle racine dans la combinaison où il est le moindre ; ce nombre u. est dit l'ordre de multiplicité de la branche singulière.

Cela posé, la classe de la courbe est 2« — S(ij. — i), la sommation s^ appliquant à toutes les branches singulières. C'est, en effet, ce qui résulte de notre analyse, puisque les expressions des