CHAPITRE XI. — I.ES COURBES Di: PREMIER GENRE. i

<|uanlil('.s ^/f conliciHiciil, j>oiir cIkkjuc hraiiclic singulière, un facteur [3'(// — 3c)]i* ', qui doit être supprimé.

Dans la tln'orie des courbes algébriques, le nombre [j., ordre (i'unr branche singttlièrc,'X une définilion générale qui s'applique aux brandies singulières, indépendamment du mode de représentation précédent, et concerne aussi les courbes qui ne sont pas susceptibles d'être représentées de la sorte.

Nous venons de trouver que la classe de la courbe (,>.) étant n' , on a

(6) «' — 2/i -r- SfiJL — l) = O.

Ce nombre // — in -^ ï( u. — i), pour toute courbe algébrique plane, est toujours pair, au moins égal à — 2; en le dénotant par i{p — i), on a la définition du nombre entier positif^, qui s'appelle le genre. Les courbes du genre zéro ou iinicursales ont cette propriété que les coordonnées x< sont exprimables en fonction entière d'un paramètre. Nous voyons que les courbes (2) sont du premier genre (/? = i). La théorie générale des courbes algébriques permet de démontrer que, réciproquement, toute courbe du premier genre est susceptible de ce mode de représentation. Nous ne pouvons entrer ici dans le détail de la démonstration. Il suffira de rappeler son analogie avec ce que nous avons dit précédemment sur les courbes du troisième degré. Une courbe du premier genre étant donnée, il existe un faisceau 'j -|-)v'|i = o, composé de courbes qui coupent la proposée en des points dont deux seulement sont variables, en sorte que l'on j)cut trouver ces points par une équation du second degré, analogue à l'équation (i), mais où les coefficients sont différemment composés par rapport à lindétcrminée A. Le polvnoine, soumis au radical, est cependant encore du quatrième degré. On démontre, en effet, que, dans le faisceau, il } a seulement quatre courbes tangentes à la proposée en des points différents des points fixes, pivots du faisceau. Quant aux courbes qui sont tangentes à la proposée en ces pr)iiiis (i\cs, elles correspondent à des paramèlrcs A qui sont racines multiples de FC^) et d'ordre pair de midliplicité. Le polsnônie L(^') est donc le produit d Un carré par un p(jlynôme du quatrième degré, qui seul reste soumis au radical. Les conclusions subsistent donc absolument les mêmes que pour les courbes du troisième degré. IL 27

4l8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

En résumé, l'égalité (6) caractérise entièrement les courbes susceptibles d'être représentées par les équations (2).

Propriétés élémentaires des courbes du troisième degré.

Les coordonnées d'un point variable sur une courbe du troisième degré sont exprimables par des fonctions elliptiques d'un même argument : ces fonctions ont trois pôles, qui leur sont communs. Telle est la proposition simple et fondamentale d'où l'on peut déduire de nombreuses conséquences.

Soit iv la somme des trois valeurs de l'argument répondant aux trois pôles, ou somme des infinis; c'est aussi la somme des racines pour chaque coordonnée et pour chaque combinaison linéaire de ces trois coordonnées. Donc trois points en ligne droite sont caractérisés par cette condition que la somme de leurs arguments est constante (égale à (v), quelle que soit la droite qui les joint.

Plus généralement, une fonction entière et de degré m des coordonnées devient, sur la courbe, une fonction elliptique où la somme des infinis est mw; c'est aussi la somme des racines. Donc les 3 m points d' intersection de la cubique avec une courbe du degré m ont, pour leurs arguments, la somme constante mw.

Par exemple, six points sont sur une même conique si la somme de leurs arguments est "nv.

En considérant des points comptant double, on obtient des propositions concernant des contacts avec la cubique : pour qu'une conique, par exemple, soit tangente à la cubique en trois points avant les arguments Uq, «(, u^^ il faut que 2(^/0 + ii\ + '^2) soit égal à 2w, sauf une période. Si cette somme était égale à iw, les trois points seraient en ligne droite; donc, pour que trois points soient les points de contact de la cubique avec une conique^ la condition est u^i -\- its -+- Uo — (f' = une demi-période.

La tangente en un point ;/, coupe, de nouveau, la courbe en un point dont l'argument est Uo = — 2?/)-t-iv. Inversement, d'un point ;/o> on peut mener des tangentes à la courbe : pour le point de contact, l'argument «, doit satisfaire à la condition

<:IIAI'ITHK XI. — LA CIBIQUR PLANE. /| I g

(I OU les (|iiali'f Sdiuuoiis // 1 =^ -h /cru ou une dcnii-

période.

renons un des arguments //, = — -+- —, 2<,) elanl une |)ériode quelconque. On a, en ce cas,

Le nouveau point, où la tangente coupe la courbe, est le point de contact lui-même ; c'est le caractère des points d'inflexion.

Il y a neuf arguments distincts, de la forme |o>; il j^ a donc neuf p 0 in Is cl ' inflejc io n .

On peut caractériser ces neuf points par leurs arguments, comme il suit :

« 1 = \w -^ \{imtM -^ lin! im' ) ni, m' = o, 1 , 2.

Les points trinllexion sont, trois par trois, en ligne droite, et il y a quatre triangles dont chaque coté contient trois d'entre eux : ce sont les triangles d'injlexions ; leurs cotés sont les dioites d' inflexion. N'oici une règle mnémonique assez curieuse pour retenir la composition de ces triangles. On considère l'ensemble (/?î, ni') comme composant le double indice d'un terme dans un déterminant

OO OI Oi

Un premier triangle d'inflexion a pour côtés les trois droites figurées par les lignes horizontales; un second, par les colonnes verticales; uii troisième, par les trois termes qui auraient le signe filits dans le déterminant; un (piatrième, par les trois termes qui auraient le signe moins.

D'un point d'inflexion on peut mener seulement trois tangentes ; cflectivemenl l'argument ^(«\' — //i ) -h w, qui est celui du point de contact d'une des quatre tangentes menées du point //j, coïncide avec Ui = ïï*^'"!" I'~^- ^""^ général, les points de contact des quatre tangentes menées d'un point //„ ont des arguments dont la somme est 2(vv' — //o)? sauf une [)ériode. Dans le cas présent, cette somme

420 DKIXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

est 2(iT' — U\)', Tun des qualre argunienls étant //,, la somme des trois autres est aw — 3//,^h<t". Ces trois points sont donc en ligne droite : /es points de contact des trois tangentes menées d'un point d'injlexion sont en ligne droite ; cette ligne droite, pour une raison qu'on verra plus loin, s'appelle axe Jiarmonique du point d'inllexion considéré. 11 v a neuf axes harmoniques, un pour chaque point d inflexion.

Un quelconque des points, où la cubique est rencontrée par Taxe harmonique, a pour argument |((v — Wi) 4- zéro ou une demipériode. Le sextuple de cet argument est une période. On voit donc qu'un tel point peut être envisagé comme la réunion de six points d'intersection de la cubique avec une conique : il y a, en un tel point, contact exceptionnel, du cinquième ordre, entre la courbe et une conique : les axes harmoniques rencontrent la courbe en ses points sextactiques , tel est le nom donné par M. Cavlev, dans la théorie générale des courbes, aux points où il V a contact exceptionnel avec une conique.

Distinction des divers cas au point de vue de la réalité.

Dans Tanalvse employée au premier paragraphe, pour une courbe réelle, le polynôme F a ses coefficients réels. Les fonctions elliptiques ont donc leurs invariants réels et deux cas principaux sont à distinguer, suivant le signe du discriminant.

Les coordonnées homogènes s'expriment linéairement en fonction de pu et jd'// (2). Si l'on prend pour coordonnées des combinaisons linéaires convenablement choisies, ces coordonnées seront proportionnelles à i , p//, p';^. En termes géométriques, ceci revient à dire que toute courbe du troisième degré, sans point double, est la perspective réelle de celle qui est représentée par Véquation

où gi, g3 sont des constantes réelles quelconques.

Cette courbe (8) présente deux cas bien distincts.

1° A = ^^ — 27^3 ^ o. — Le second membre (8) a trois racines réelles <?,, Co, Cy,

ClIAIMIIti; M. — I.A Cl HKJIK I'I.VM:. 4^'

La courbe comprend un ovale svniétri(jue [)ar rapj)orlà l'axe des 3C, ayant pour points cxlrènics, sur cet axe, ceux dont les abscisses sont e-i et ^3; et, en outre, une seconde partie, éj^alenient symétrique par rapport à l'axe des j:; les abscisses s'y étendent depuis^, jusqu'à l'infini positif. Celte partie de la courbe est parabolique, mais la tangente, aux points de plus en plus éloignés, tend à devenir parallèle à l'axe des j'.

Les points de la courbe étant représentés par les égalités

on voit que, sur lovale, u — co' est réel (aux périodes près), tandis que, sur la branche infinie, l'argument u est lui-même réel.

Dansées égalités (9), l'argument constant w est pris égal à zéro. Les points de contact des tangentes, menées d'un point dont l'argument est ;/, ont pour arguments — ^u, à une demi-période près. De ces derniers arguments, deux sont réels et deux réels à w' près, si u est réel; tous, au contraire, sont imaginaires et aucun d'eux n'a pour partie imaginaire tu', si u — w' est réel. Donc d'un point de Vovale on ne peut mener aucune tangente réelle; d'un point de la branche infinie on peut mener quatre tangentes réelles, dont deux touchent l'ovale et deux autres touchent la branche injinie.

L'argument zéro donne un point d'inflexion réel, à l'infini, dans la direction de l'axe des )-. Il j a, en outre, sur la branche infinie, deux points d'inflexion réels (symétriques par rapport à

l'l\T 2a>4Wri-.l

l axe des >'). Leurs arguments sont — et ^' lous les autres sont

imaginaires. Il y a un triangle d'inflexion réel ; chacun de ses côtés contient un des points d'inflexion réels: ce sont, avec la droite de l'infini, deux droites se coupant sur l'axe des x. En les trois points dont les abscisses sont <?<, Co, ^3, les tangentes sont parallèles à l'axe des )'. L'axe des ^ est donc l'axe harmonicpie du point d'inflexion à l'infini. Toute parallèle à ces tangentes rencontre la courbe en deux points symétriques; c'est la raison du nom d'axe harmonique : appliquant, en elTet, cette propriété aux autres points d'inflexion, ce qui se peut, puisque, évidemment, on peut échanger entre eux ces trois points par une perspective réelle, on conclura ainsi : L'axe harmonique de chacun des trois points

422 DEUXIÈME PARTIE. — APrUCATIONS.

d'inJJexion réels coupe la courbe en trois points réels ; toute droite passant par un point cV inflexion rencontre la courbe en deux points, par rapport auxquels le conjugué harmonique du point cV inflexion a, pour lieu, Vaxe harmonique.

2** A = g\ — '-îyoit <^ o- — ^^ second membre (8) a une seule racine réelle e-i. La courbe comprend seulemenl une brandie infinie, symétrique par rapport à l'axe des x et coupant cet axe au point d'abscisse e-^. Les arguments des points de cette branche sont réels , à des périodes près. Des quatre tangentes /nenées d'un point réel, deux sont toujours réelles et deux seulement.

Comme dans le cas précédent, il y a trois points cV inflexion réels (dont 1 Un à l'infini) ; l'axe des x est l'axe harmonique correspondant à ce dernier. On reconnaît l'existence de la même propriété que dans le cas précédent, pour justifier le nom d'a^e harmonique. Mais l'axe harmonique cV un point d' in flexion réel coupe la courbe en un seul point réel.

On peut faire, en ce cas A <^ o, une distinction nouvelle, fondée sur la considération des signes de g^ et g^ (t. I, p. 112). Si g^ est négatif ou bien si ^2 ^^ g^ sont, tous deux, positifs,^' n'a ni maximum ni minimum. Si, au contraire, on a g.^ ^o, ^3 << o, j' a un maximum et un minimum. Cette circonstance se traduit par l'existence de deux tangentes réelles parallèles à l'axe des x. Etendant cette propriété aux autres points d'inflexion, on conclut que, dans le cas Si > Oj g-i < o, on peut mener deux tangentes réelles par le point de rencontre dUine tangente d' inflexion réelle et de l'axe hartnonique correspondant ; dans les autres cas (A étant toujours négatif), ces tangentes sont imaginaires. Elles sont, au contraire, réelles dans le cas A>>o.

Rapport anharmonique des tangentes.

Quelle est l'expression géométrique de l'invariant absolu des fonctions elliptiques ? A cette question on peut aisément répondre par la considération des racines du polynôme F()>); mais nous suivrons un autre procédé.

Pour faciliter les notations, nous emploierons, dans ce qui suit, une même lettre à désigner un point, ses coordonnées homogènes

CIIAI'ITUK XI. — l.\ CLlliyn; PLANE. 423

ponctuelles el son argumciil. Ainsi le jioinl j: a, pour coordonnées, .r,, jr-i, x^t, et, pour argument, .v. Sans faire aucun choix particulier de coordonnées, nous avons

(lo)

p;r,= cti-i- b,px-\-c,p'

La seule liy[)Otlièse qui parlicularise ces équations a trait au choix de Targument a. Lu somme des racines est supjiosée être une période, ce qui revient à placer l'origine de l'argument u en un point d'inflexion. C'est uniquement pour simplifier l'écriture que nous faisons celle supposition; on la fera disparaître à volonté en niellant u — a, au lieu de a. On aura alors w= 3a.

Pour abréger, désignons par une lettre G le double du déterminant des coefficients des trois égalités (lo), divisé par p^,

C = —AaiO-yc-i).

Pour trois points x,j-, z, la notation (^J^^) désignera, suivant un usage assez répandu, le déterminant

Nous aurons

{xyz) =

(xj'z) = C

I px p X

I py p'y I ,p^ j.'^

Ce dernier déterminant nous est connu (l. I, p. 219); nous en concluons

-Hx— y):f(y — z):i{z — x)'i{x-^ V -+- z)

En considérant deux autres points y' ^ z', nous obtenons, de la sorte, l'expression du rapport anharmonicpie du faisceau de droites dont X est le sommet :

(xyz)(xy'z' , ^ :^{y — z) :r{y'— z') :f(x -i- y -^- z) cr( x -hy' -^ z') {xy'z){xyz') :r{y' - z) :r{y — z') :^{x -h y' -^ z) :r{x -h y -h z' )

[p(î^+^)-p(-2^+.r)][p(ï^-^-^')— pCà^-^y)]

[p{\x-i-z)—p{{x-hy')\[p{-^x-i-z') — p{{x-~y)] '

424 DEUXIÈME PARTIE. — ArPLICATIONS.

Prenons, pour )•, -, j', :-\ les quatre points de conlacldes tangentes menées de x ; alors les quatre arguments ^x + )', • . • sont égaux, l'un à zéro, les autres aux dcnii-pérlodes ; on a donc

c'est-à-dire cjue le rapport aiiliarmoniqae des quatre tangentes menées d'an point quelconque de la courbe est constant; il constitue l'invariant absolu des fonctions elliptiques correspondant à la courbe.

Quand ^3 est nul, une des racines, par exemple Cy, est nulle; les deux autres sont égales cl de signes opposés. Les quatre tangentes forment alors un faisceau harmonique. Ou dit alors que la cubique est harmonique ; celte locution s'étend parfois aux fonctions elliptiques correspondantes.

Quand g^ est nul, le faisceau est celui (ju'on appelle équianharmonique, caractérisé par ce fait que les six déterminations du rapport anharmonique s'y réduisent à deux seulement, savoir les deux racines cubiques imaginaires de — 1 . La cubique est alors dite équianliarmonique ; on le dit aussi des fondions elliptiques correspondan tes .

Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de première espèce.

Soit y = o l'équation de la cubique en coordonnées ponctuelles a",, .To, Xz- ^^^ f\i fi-, fi on désigne les trois dérivées partielles, au facteur \ près,

■^^ 3 dx^ ' '- 3 ôx.^ -^^ 3 âx^

Le point x étant supposé sur la courbe, on a

^1/1+ ^2/2 -H or-if 3=0, dxifi-^ dx^ fi -t- Jx3 /a = o

et, par conséquent,

5"î dx^ — Xi dx=i x^ dxx — a:"! dx-^ .r, dx^ — x^ dx\ fx du ~ fi du fi du

nilAPITIIK M. — r.A niRIQlE PLANK. /|^5

Il y a place ici pour un raisonnement loul semblable à celui ({u'on a employé au Chapitre X (|). -i')!). I-iCS trois quantités

p4 clu 'du)

sont des fonctions entières de pu et }) u , ayant le pôle i/ = o sextuple. Les polynômes fi, du second degré en x, étant divisés pai' 0-, deviennent des fonctions analogues, quand on y substitue aux X leurs expressions (lo). Ces dernières fonctions sont d'ailleurs sans racine commune. Les fonctions numérateurs leur sont donc pro|)orlionnclles. Soit k le facteur constant de proportionnalité. On en conclut

(i3) A du — — > — .. T"-

Voici donc une nouvelle forme de la difTérentiellc elliptique de première espèce. La différentielle, au second membre, est prise le long de la cubique /= o ; elle dépend seulement des rapports des coordonnées variables; elle est indépendante des arbitraires c,, C-ii ^3, constantes ou variables, qui figurent là pour la symétrie. Dans cette forme, il faut noter qu'il n'apparaît explicitement aucune irrationnalité. L'équation d'Euler se partage alors en deux équations vraiment distinctes. Soit r l'argument qui répond à un second point r, comme a répond à x. On a d'abord l'équation du -h dv = o ^ dont on obtient l'intégrale en écrivant que les points X el y sont en ligne droite avec un point fixe pris sur la cubique. En second lieu, l'équation du — <rA' = o, toute difïérente, sera intégrée si l'on écrit, par exemple, que les droites, joignante: et^ à deux points fixes, concourent sur la courbe.

Expression elliptique de la première polaire.

l*our faciliter l'écriture, nous emploierons une notation abrégée qui représentera les polaires. On écrira [ex-] pour la [)olaire qui ligure dans la différentielle (i3)

(l4) [CX^] = C,f^(x) -f- C.MX) -r- C,J:,{X).

Cette notation rappelle les degrés de la polaire, soit par rapport

aux lelti'es c, soil par rapport aux. lettres x. Nous aurons aussi à employer la nolalion analot;ue avec trois lettres

qui représente une polaire de la précédcnlc fonction.

On doit observer que [cjt)] est symétrique par rapport aux coordonnées des trois points c, x^y. Ces polaires se réduisent au polynôme f quand les points coïncident entre eux. Elles se réduisent à zéro si les points réunis sont sur la cubique.

Nous allons d'abord cbcrcher l'expression elliptique des polaires [ex-], en supposant, comme il sera dorénavant entendu, que tous les points considérés sont sur la cubique.

Prenons le déterminant [xyz), considéré précédemment (12), et supposons le point z^ sur la courbe, infiniment voisin du point x. L'arbitraire p étant censée fixée, on devra remplacer zi par .r/+ dxi. Le déterminant devient donc — [yx dx). Au signe près et sauf changement de la notation, y au lieu de c, c'est le numérateur (i3). Suivant une convention déjà faite et que nous renouvelons, employons la lettre .r, au lieu de u, pour l'argument du point X \ employons aussi la notation [j'-X"-] pour la polaire et concluons que le déterminant [xyz), quand on suppose :; infiniment voisin de x sur la courbe, devient — /i[yx-]dx. Le second membre (12) devient

p j'(.r — y) if( y — x) dx ^(/xx -i->') {z!-^x ^7)3 '~'

Nous avons donc cette expression de la polaire

(15) /.•[j^^] = cH:^^^^zi£iif±zi.

11 ne faut pas oublier que l'origine des arguments est en un point d'inflexion, circonstance qu'on écarte, avons-nous dit, en ajoutant une constante arbitraire à chaque argument; mais il n'y a aucun inconvénient à sous-entendre cette modification.

Il serait facile de trouver autrement cette expression de la polaire, en observant que, si l'on y considère les ;' comme coordonnées courantes, la polaire, égalée à zéro, fournit l'équation de la

niAi'iTni: xi. — la clbiqh: pi.vnh. 427

langenle au poinl ./;. On comprciuira ainsi la signification du facteur ri[-j>.x -r.)).

Prenons deux pareilles polaires cl, nous servant encore de l'égalité (i^^), concluons la suivante :

(16) ' {oryzY [:i{z — x):i{x-^y-\-z)Y

Dérivation par rapport à l'argument.

Soient '^ et •!/ deux fonctions, homogènes et du même degré, des coordonnées xi- Leur rapport, considéré le long de la cubique, est une fonction du seul argument x (et non de p); on veut en obtenir la dérivée par rapport à cet argument. On j parvient par une analyse toute semblable à celle qui a été employée au Chapitre X (p. 397). Soient, n étant le degré commun de o et'!»,

I ÔO , I l)'b

Oi= — — !-, 6,= p- , •••;

n axi II Oxi

on a

- (•} do — 'f d'I) = (-1/2 'f 3 — '^3 'f 2 ) ( -r-i dxi — x^ dx^)-^

En prenant, dans Tégalité (i>3), c, = -i^a'fs — '7':i'f2i • • • et mettant ^, pour l'argument, au lieu de u, on conclut

- (.^ do - o d'^^) = /.( /i 62 '^3 ) f/^ ;

(>7) -7- t = "/'■ - — hr—^

dx ^ 7-

formule qui donne la dérivée /?«/• rapport à V argument x.

Nous allons avoir besoin d'une telle dérivée pour le cas où •} sera égal à [xyz)". En ce cas, on a

Le numérateur (17) devient alors, sauf le facteur {xyz)''"^, { yt^i— yi^i){'^ifi— 93/2) -H. . .,

4a8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

OU bien

On a, tic colle manière,

Il ne faul pas j)crdre de vue que, dans cp,, y,, ..,, ce sont les coordonnées x qui figurent. Les facteiu's (;,/,+...) et ()'iy, -h...) sont les polaires [^J^-] et [j^.^*]; les deux autres sont des polaires analogues, relalives à la fonction C2.

Expression elliptique de la seconde polaire.

Appliquons au premier membre (16) la formule de dérivalion (18) et dérivons aussi le second membre par lapport à x\ nous obtenons

,,\yz''-y\xYmzx^ — \yx'']\xyz\)

(19) i,'{x-Z)-p'{x-r-y + z) = lk-^^-' ^' - ^^^^!.3^-^ Jl ■/ J .

Pour i^arveuir à Texpression de la seconde polaire [j")':^], prenons l'équalion semblable où les lettres x^ jk, ^ sont permutées circulairement et retranchons membre à membre. Il vient ainsi

J V ' i \j > {oryzf

Pareille opération étant faite sur l'égalité (16), on a aussi

Divisant membre à membre ces deux égalités, nous obtenons

k\xyz] ^ j p'(x — z) — p'{y-x) (xyz) 1 p{x — z) — p{y — x)

ou bien, d'après la formule d'addition (t. I, p. i38), [^xyz )

CIIAIMTUK XI. — l.V Cl lliyiE PLANE. 4^9

(Test là un rrsiiltal sur Ic<jucl nous allons revenir un peu [)lus

loin.

Les fonctions elliptiques exprimées par des polaires.

Suivant le ihéorème d'addition (t. I, p. 3o), la somme des fonctions p pour les trois arguments x — z, y — x, z — )- est égale au earré de la quantité (20). L'égalité (i()) et ses semblables donnent donc

) \-r7zY-\Tr-][Tz-^]-[zx^-\[zy^]-^i[yz^-][yx'^]

La dilTérentiation dans la formule ('^2), par rapport à l'un quelconque des arguments, donne lieu à des réductions remarquables et l'on obtient

L'égalité (19) donne ensuite celle-ci

Dans les formules (a.j, 25\ il faut remar(|uer que les seconds membres contiennent les coordonnées du |)oint )', bien (pie les premiers membres soient indépendants de ce point. Ou peut fonder sur celle observation, faite a prio/'i, une démonslralion de ces formules, comme Ta fait M. Georg Pick, qui les a trouvées (').

(') Zur Théorie der elliptischen Functionen, von Georg PiCK, in Prag {Math. Ann., l. WVIII, p. 3o(j; 1887).

43o UELXlÈMi: PAUTIE. — APPLICATIONS.

Autre démonstration.

Voici une autre manière de parvenir à ces mêmes résultats. Envisageons, dans la polaire [j'-*^"], les coordonnées x comme variables et les coordonnées r comme étant celles d'un point fixe sur la courbe : on reconnaît tout de suite que la fonction [i\r-]-a, pour racines doubles, les arguments des points de contact des tangentes menées de r et pour racine quadruple l'argument de j'. C'est aussi ce qui a lieu pour le polynôme du quatrième degré en X, qui forme le premier membre de l'équation des quatre tangentes. 11 j a donc identité entre ce premier membre et [j'x-]-, quand x est sur la courbe. Mais, pour avoir un résultat plus com- |)lel, considérons la fonction

et prenons ses polaires

■\z\V,,{x)-... = \yz''-\\yx^-\~x{xrzY--i{zY'-]{zx^-\-'i{xy^-\\xz'^\.

Les polaires suivantes s'en déduisent par la permutation de x et z- dans la première polaire et dans la fonction. Si l'on suppose x coïncidant avec y, on obtient

z,Y,(y) -...^-{^zy^^f^y),

On voit que ces trois polaires sont identiquement nulles (quel que soit le point z), si le point j^ est sur la courbe. Il suffit d'envisager la dernière pour conclure que l'équation F(.r) = o, en ce cas, représente quatre droites, passant au point y.

Soient

« = ai^Ti — aj^^î-i- «3^:3 = o, b ^ b\X\-\- b^r^-^ b-^x,^^ o

les équations de deux droites arbitraires, passant en j)'; on a de la sorte

V {x) = k^d* -7- \ k^a^ b ^ ^ k.a'^b'- ^ \ >^;ab^ -^ K,,b'* ^ W{a,b).

ClIAPlTUi: XI. — LA CUBIQUE PLANE. 43 I

On peut supposer

yi = a.ibi— a^b-i, y2= a^Oi — aïOi, ^3 = «i ^2— "2^1. d'où résulte cette expression du drlerminanl (yi X2 dx-i ) = a db — b da.

La difTérentielle (i)), où l'on met y au lieu de c, devient ainsi { Ti ,r., r/.r;,) a db — b da

k du =

Si Ton y prend le rapport a \ h pour variable, elle est mise explicitement sous la forme liahituelle des dilTérenlielles elliptiques de première espèce et telle qu'on l'aurait trouvée par l'ana- Ivse du premier paragraphe. Nous allons maintenant appliquer le résultat démontré au Chapitre IX (p. 35()) et consistant dans les deux formules

Ici X doit être remplacé par a '. b. Pour mettre les coordonnées en évidence, écrivons ctx et bx au lieu de a et b. Nous mettrons aussi Oz et bz quand les coordonnées d'un point z remplaceront celles du point X. Ainsi, la diflférence x — :; du dénominateur de pU est

{aj:b-—a-bx) = — j—r-ixyz).

b-rb- ^ " - b..b.

Le dénominateur b^f^z disparaîtra, et il est clair qu'on peut opérer directement sur les variables homogènes <7, 6, sans se préoccu- |)er de ce dénominateur. On voit immédiatement que les polaires de la forme binaire ^r(r/, b) coïncident avec celles de la forme ternaire 1' (.-f). La polaire du second ordre U'^ n'est autre que ^";î F, , (.r) + ..., calculée plus haut. En conséquence, mettant le double signe devant le radical et remplaçant U'(.r), ^l'(-) |^ar [j'X-]-, [j>'-"]', suivant l'égalité ('•.('), on conclut

j .. \y^'][y^']-^'^.\^7^V--^\^y']\^r^-]-->lry']\r=']àz^yT^-]\zx^-]

432 DEl'XifeME PAUTIK. — APPLICATIONS.

Pour des raisons Immédiatement visibles, cette formule, suivant qu'on prend le signe plus ou le signe moins, donne l'une ou l'autre des deu\ formules (•.>,2, 23).

La transformation, que nous venons d'employer et qui fait passer si aisément de la difTércntielle (i3) à la forme usuelle, est due à M. Aronhold. Cet éminent géomètre s'en est servi, quand ce sujet de recherches était encore tout nouveau, pour exprimer p(x — z) par une formule beaucoup plus remarquable que la formule (23) et qu'on trouvera un peu plus loin (3i).

Sur l'expression des covariants par des polaires.

A l'égard du seul argument .r, le second membre de l'égalité (21) contient la |)lus générale fonction elliptique à deux pôles. Toute fonction elliptique de x peut être exprimée par une somme de telles fonctions, multipliées par des facteurs constants. C'est une conséquence immédiate de la décomposition en éléments simples. Il en est ainsi, du moins, quand on envisage une fonction dont les pôles sont simples. Pour ne pas écarter les fonctions à pôles multiples, il faut joindre à l'élémenl simple (21) les éléments p(.jc — ^), p'{jc — :•), . . • , dont les formules (i3, 20) et les analogues fourniraient les expressions.

Toute fonction rationnelle des coordonnées du point j", envisagée le long de la cubique, devient une fonction elliptique de l'argument ût. On peut donc exprimer celte fonction par des éléments tels que le premier membre (21) et les seconds membres (23, 20), etc. La même fonction étant envisagée ensuite pour un point quelconque, non plus situé sur la cubique, on voit que la différence entre celte fonction et l'expression qu'on vient d'en trouver est divisible par le premier membre de l'équation de la cubique. Le quotient est susceptible d'être transformé de la même manière. De là se conclut cette proposition : Toute fonction rationnelle des coordonnées x, multipliées par des déterminants (xyz), (xy z')^ . . . , peut être exprimée sous forme entière par de tels déterminants et des polaires, prises par rapport à une cubique.

Nous allons donner des exemples qui vont être utilisés un peu plus loin.