CIIAPITHK XI. — LA CUBIQUE PLANE

Considérons le liession de J\.r i, dont l'expression, en délcrminant, est la siiivaiile ;

./il f\l f\3

! J \\ ji.\ .Aï

fij

6 Ox'i ()Xj

MulLiplions ce déterminant par [xyz). Dans le dclcrininanl, produit, voici les éléments de la première ligne :

I '^f xifn-^ xifxi ^-.i — /i3 =- /i = o Âtr '

J Cl i

I ^\yx-^]

1 'bx^

Les éléments de la deuxième et de la troisième ligne diffèrent de ceux-ci par le changement de x, en Xo ou x^. Le produit (^j'5)H(j;) est ainsi un déterminant dont chaque ligne se compose des dérivées des trois fonctions \f, ^\yx-\^ {[^•^"J' prises par rapport à jr,, ou x-i^ ou .2:3.

Multiplions encore par i^xyz). Le nouveau déterminant produit se compose des polaires de ces trois mêmes fonctions, prises avec les coordonnées x, y ou :;. Il vient ainsi

{^xyz )-\\{x)

{yx'-\ \xy^\ yxyz\

Le développement du déterminant fournit l'un des exemples que nous avions en vue :

{xyzf\ii^x) = i{yx-^\\zx'-\{xyz\~{yx''Y{xz'^\

-{zx'Y\Ty-'-\^\xy^{xz^-\f-\xyzYJ\

Prenons la polaire -z, ^ h • • • ; son expression, par le second

membre, contient le polynôme y avec les variables x et aussi avec les variables z. Ce dernier provient de la polaire de [.rc-].

En supposant les points x et c sur la cubique, nous négligerons les termes correspondants, que cette hvpothèsc fait évanouir, IL ' >.8

434 DEUXIÈME p.vuTir:.

On ohlicnt ainsi

Voici lin aulrc exemple où le calcul est analogue. Soil

/il Al Jn /.(/)

/i2 A, An A-2(y)

An An /s 3 /:i(7)

/i(-) A^i-) Ai-) o

où, bien cnlendu, /", , . . . conliennent les coordonnées x, coniiiK; précédemment. Nous ninllipjicrons, deux fois de suite, ce déterminant par [xj'Z-). en écrivant

(ryz)

Xi Xî X3 o I

Ji J-î Ji o I

^1 z-i Zii o I

Le premier produit est figuré par le déterminant

/i(x) \rx'-]i [zx'-]i [xj''-]i

fiix) {j-x'-\> \zxi]i [XJ^,

A^i^) Lr-rMi [-^•-]3 Iry^]'.

[xz-^] Ijz'-] f(z) o

le second produit est ensuite

[yx^] [xy^] [xyz] [yz^ [zx-^] [xyz\ [xz^-] f{z)

[^7^] fiy) [^7^ o

Ea développant et supprimant les termes qui contiennent f {^)j f {y), /{-■), c'est-à-dire supposant les trois points sur la cubique, on obtient

(3oj

[{xyzy^\]{x.y,z)

='^[ryznxy^[xz^-^[xyz\(\yx-^\\zymrz^-.-[xy^-][yz^-\\zx-^\)

-[xr-}[xz^([zx^-]{zy^'\~^\yx^][yz^-]-[xy2\[xz^)

-[yx^[zx^-][yz^][zy^.