CHAPITRE XI. — LA CIBIQIE PLANE

Les fonctions elliptiques exprimées par des covariants.

ConsiiltTons la l'ornuile ('23). La présence des coordi)nnécs j-, qui figurent un point arbitraire doit être envisagée comme un défaut de celle formule, déAiut inévitable si l'on veut que le numéraleur soit exprimé par des polaires. Pour faire disparaître ce pointj', le moyen le plus naturel consiste à le supposer infiniment voisin de a: (ou de :;), ce c[ui, d'après Tégalilé (i3), amènera au dénominateur la polaire [^-^-] au carré.

11 est aisé de voir que [--ï"] est infiniment petit du second ordre quand les points .r et :; sont à une dislance infiniment petite du premier ordre, et Ton doit, par là, [)rcssentir que le dénominateur se réduira à la première jouissance de [:;x"-]. Ce calcul se trouve ici évité par l'emploi de l'égalité (28), qui nous donne immédiatement (')

(51) ^,^pix .) ^J,(a:)~z,f,{j:)-^z,Ma;) '

Le second membre est dissymétrique par rapport à. x el z. Le fait qu'il représente néanmoins une fonction symétrique des deux points constitue une identité importante dans la théorie des formes cubiques, Videntité de Sa/mon.

En dérivant [)ar rapport à ;, suivant la règle (17), on déduit de la formule (3i) celle-ci :

R désignant le déterminant suivant :

(') Cette transformation delà formule (28) apparaîtra directement comme évidente aux personnes qui connaissent le calcul symbolique. On est, en effet, certain que le numérateur (23), multiplié par la polaire [zx'^], doit contenir le facteur {xyzy. L'apparition de ce facteur ne peut avoir lieu que par celle de facteurs tels que (a^ô^c. ) dans l'écriture symbolique. Mais il n'y a que trois figures, c'està-dire que le produit est du troisième degré par rapport aux coefficients de la cubique. C'est donc le carré de ce déterminant (|ui doit apparaître. Il se trouvera donc le facteur {abcY; eu égard aux degrés en x et ;;, on conclut que le numérateur est nécessairement (aOc)'axb-.

436 DEUXIÈME PAUTIi:. — APPLICATIONS.

De l'égalilé (3i) on pcul déduire une expression assez simple pour p{.r -\-y + z-), comme il suit.

Considérons z comme le troisième point d'intersection de la cubique avec une droite qui rencontre, en outre, cette courbe aux points j-, t. Nous avons alors

Zi = lyi-- [xti (j = 1,2, 3),

et le rapport À : [x se détermine par l'équation /(c) = o. Cette dernière, à cause des h}potbèses/(r) =f{t) = o, se réduit à

en sorte qu'on a, pour les coordonnées de ^,

Zi=yi[yr-]-ti[ty^].

La substitution de ces expressions dans la foi'mule (3i) fournit l'égalité chercbée ; car, suivant rbypothèse, l'argument z est égal à — (j'+^)- J^ows avons donc (en remettant la lettre z au lieu de t)

., ' .r. . , . --,' [r^^]0-iHi^+...)-[^r^](^,H,^-f-...)

{ài) f.,p{^-^y . -;- [y^'\[y^-'\-[^y'][^:v^]

Cette manière d'ajouter des arguments entre eux s'applique à un nombre quelconque d'arguments; elle doit être particulièrement remarquée.

En supposant z = x^ on réduit [zx-'j à f{x), qui est nul, et l'on a

La formule (Sa) présente le défaut de n'être point, au second membre, explicitement symétrique. On peut en trouver, à sa place, une autre, qui soit exempte de ce défaut, et dont le degré soit le moindre possible. Nous l'indiquons brièvement ; car elle semble de pure curiosité.

Soit V la seconde polaire de TI,

(.HAPiTRK XI. — i.A riiuyiE i»i.am:. f\3y

c'est une l'onclion symétrique des trois points, dont on obtient, par l'égalité ('^-7), l'expression suivante, les trois [)oints étant sur la cubique,

t\(Tyzy-\ ^ i[xyz](\Tyzy- — [a-ymxz^]—\yz-^]\j-x'-] — [zx-\\zy^) -^3[Tj'^][jz^\[zx^---^j-xmzymrz^].

Au mojen de cette relation, des égalités (28), (3o) et de leurs analogues, obtenues par permutation des lettres, on exprime aisément le numérateur (22) par les nouvelles combinaisons et l'on trouve

jr, Pi^-^y

La somme se compose de trois termes seulement, qu'on obtient par la permutation circulaire des lettres x, y, z-.

Multiplication par 3.

En prenant, dans les formules précédentes, les expressions des fonctions elliptiques pour les trois arguments

nous pourrons trouver les fonctions elliptiques de la somme, qui est '6x. Les formules sont tontes rationnelles; les expressions de p'Sjc et p''^x seront donc rationnelles aussi. Elles contiendront, il est vrai, les coordonnées de deux points arbitraires j^, z, mais ces dernières devront disparaître d'elles-mêmes. Il est donc certain que les fonctions elli[)tiques de l'argument ?ix devront s'exprimer rationnellemcnl parles seules coordonnées du point x.

C'est là un fait dont on se rend compte aussi par l'observation suivante : l'argument x est défini comme ayant son origine en un point d'inflexion ; de là, dans les fonctions de cet argument luimême, une irrationnalité qui correspond au choix de l'un des neuf points d'inflexion. Mais ceux-ci répondent aux tiers de période : leurs arguments triplés sont des pc'riodes, et les fonctions elliptiques de l'argument àx sont indépendantes du choix qu'on a pu faire pour le point d'inflexion, pris comme origine.

Le calcul de jj,K/' oiïrirait, par le proc«''dé quOii wvnX d indi-

^is

DErXIÈ.Mli l'AKTlE.

AIM'LICATIO.NS.

cjiier, des difficultés sérieuses quand on voudrait faire disparaître les points )' et z. Cependant il n'est pas impraticable si, prenant la formule (33), on forme ScT j)ar l'addition de 20^-1- y et ,r — y. On verra bientôt comment a été trouvée l'expression de p^x. Nous allons d'abord en donner une démonstration a posteriori. Considérons le déterminant suivant, où les variables (non écrites explicitement) sont les coordonnées du pointer,

Jl3 fi^ fi-i 1^3 IIl II. H3 O

Vy^n

\yx''-\

JiHi-^

\Tyz\

[.rz^]

51 IIl-

riH, + ..

C'est lui qui va être le numérateur dans l'expression de p3,r.

]Multij)lions ce déterminant, deux fois de suite, par (^xyz)^ en cITectuant ce calcul comme nous l'avons montré précédemment pour l'analogue U(29). Nous obtenons

(35) {xyzy-^^ =

Supposons que z soit le point où la cubique rencontre, de nouveau, la tangente au point x\ on a ainsi, quant aux arguments, IX -i- ^ = o. La formule (10), où l'on mettrait ^, au lieu dej)', fait ^oir que [^.r"-] est alors nul, comme on le sait aussi par la théorie des polaires. Mais, en même temps, la formule (3i) montre que la polaire r,H,+... est nulle aussi. Le second

membre de cette formule s'oflrc sous la forme -■, et c'est sa valeur

que nous cherchons précisément, puisque l'hypothèse z + ax = o

amène, au j)remier membre, p3.r.

En supposant donc nulles les deux polaires [^^-] et ^, IL + ...,

développons le déterminant (35), qui devient très simple, fx étant

nulle aussi :

\yx-'--\ o H

kr^] \^y^\ j-iiii-..

{xyz\ [a"s2] o

jiHi-f-... o o

{xyzy-'z.

(36) {xyzr-o = \\\\xyz-\n\^'i\yx'^\\xz'^\( y,\\,^ . . .)-\xy'^\\xz''-\\\\.