CHAPITRE XI. — LA Cl'UIQlE PLANE. ^iç

(Changeant, dans l'cgalilé (28), c- en )■ cl su|)posanl [^.^-j nul, on a

SemblablLincnl, rénalilc (-^7) se rccluil à

(.rj-zy-U =—[rx'-y[a-z^].

On en conclut

[xyz]-^-{Tym.rz^-]-^'i[yx^-][TZ^-] -^•'"'^^-••-

- i ( [ Kv- ]• - 1 •^.'■- J I '^-'- ] -^ 'iJ-^' ] [y-' ] )■

Le dernier menihre, comme on voit par l'égalité (23), est justement la valeur limite de

(|uand on suppose [-sx-] nul. C'est aussi, suivant l'égalité (36), la \aleur de (jcyz)- -'-• A oici donc la conclusion :

lormule qui donne ^3x par le quotient de la fonction o et du (^arré du liessien.

Soit désigné maintenant ])ar 'l le déterminant

D'après la règle de dérivation (17), on déduit de la formule (3^) celle-ci :

Les invariants des fonctions clli]Hiqucs étant g-, et gs, soient

Ces constantes C2 et C3 sont deux invariants de la cubique et les égalités précédentes fournissent la relation

( io) <}/2 = 4 cp3— c.'f H' - Ci n«,

440 DEUXIÈME TAllTlE. — APPLICATIONS.

qui a lieu sur la cubique, c'est-à-dire quand les coordonnées de x vérifient l'équation y(x) = o. Cette relation entre des covariants est analogue à celles dont il a été parlé dans les précédents Chapitres (IX, 5o et X, 38). Par la définition (38) de (]; et cette relation, comme on l'a montré déjà pour les analogues, on conclut (jue la dilTérentielle elliptique (i3) acquiert la forme normale

quand on prend pour variable j^^- C'est ainsi, par la découverte

directe de la relation (4o)> déduite de la théorie des formes cubi- (jues, que la formule (3^) s'est offerte à M. Brioschi.

La cubique rapportée à un triangle d'inflexions

Si l'on prend pour triangle de référence un triangle d'inflexions, chaque coordonnée, d'après le second mode de représentation (5), est le produit de trois fonctions rf, ayant pour racines des tiers de périodes. Multipliant ces fonctions d par des exponentielles convenables, on les pourra changer en des fonctions S;, (t. I, p. 20 1). C'est la forme que nous allons employer. Mais, comme les produits dont il s'agit s'offriront encore, avec d'autres pai'ties aliquotes de périodes, dans des théories importantes, nous allons, dès à présent, les considérer avec ce degré de généralisation.

Soit/? un nombre entier et positif. Considérons le produit

, , r- l n « ' \ ^ / Il a-^\ \ r. I n a-hp — i \ \ P P I \ P P I \ P P !

On doit se souvenir que les périodes sont i et t. Par cette définition, on a

et aussi (t. I, p. 254)