CHAPITRE XIV

Des précautions prises pour assurer l'exactitude des résultats dans le calcul de la Table TX.

818. ÏL faut maintenant faire voir quelles précautions ont été prises pour assurer , autant qu'il est possible, l'exactitude des résultats à mesure que l'angle du module devient plus grand et se rapproche de 90°.

Tant que cet angle 8 ne surpasse pas 80°, le calcul des fonctions F peut se faire par la formule

d=P+ (ap dPe);

mais les derniers termes de chaque table particulière, ceux qui répondent à des amplitudes voisines de 90°, ont besoin d’une correction très petite et facile à déterminer. Cette correction est due au terme suivant de la

série, lequel est + SL (2 d'P°*, et la somme de tous les termes sem-

blables est +- SC) ( d'SP° — const.), où la constante est une des va-

leurs précédentes de JP* assez petite pour être négligée.

Il suit de là qu’après avoir formé la série des valeurs de la fonction F, par exemple, depuis @ = 70° jusqu'a ® = 90°, il faut ajouter pour dernière correclion, à chaque valeur de F, la quantité correspondante

me = !” d'éP ou environ 5 La différence d'SP* est sur la même ligne que d'P°° qui est entrée dans le calcul de JF, d’où l’on déduit F'= F + JF; ainsi cette correction se trouve très simplement en ajoutant une colonne des différences cinquièmes de l’auxiliaire, vers les derniers termes de la Table et seulement . à compter du point où la différence cinquième commence à approcher de 2637 unités décimales du dixième ordre.

Speo

Il est remarquable que pour le dernier terme de la Table F (90°) ou F', la quantité J°P®, et par conséquent la cosrection qui en dépend,, est nulle. Car en faisant @ = 89°, les valeurs successives... ......,,.. issues 87°, 88°, 89°, 90°, 91°, 92°, répondent terme a terme aux augiliaires., . P°, P°, P, P', P", P"; or, on a en général .. JSP® = P#— SP" + 10P/— 10P + 5P° — po, et en particulier , lorsque @ = 89°, on a PP, P'= pe, P“—pe; donc d'°P* = 0. | |

819. Ce que nons venons de dire du caleul des fonctions F s'applique au calcul des fonctions E, d’autant mieux que la correction due aux cinquièmes différences de l’auxiliaire , n’est pas sensible pour les fonctions E, tant que Ü ne surpasse pas 80°. En elles, les différences de l’auxiliaire sont beaucoup. plus petites, vers la fin de la table (la seule sujette à difficulté), pour les fonctions E que pour les. fonctions F ; et tandis que la méthode générale ne peut guère s'appliquer saus modification , autre que la çorrection dont nous avons parlé, que jusqu'a 8 = 80°, pour le calcul, des fonctions F; cette même méthode pourrait s'appliquer , avec une seinblable correction, jusqu'a 87° ow 88° pour le calcul des fonctions E.

Passé le terme 8 — 80°, nous avons fait le calcul des derniers fermes de chaque table particuhère, en faisant varier l'amplitude d’un demidegré seulement, et le nombre de ces termes a été augmenté progressivement, à mesure que 8 est devenu plus grand; de sorte que pour 6— 88°, on a commencé depuis @g = 60°. Cet expédient réussit complétement et dans toute l'étendue de la Fable, pour le calcul. des functions E; mais il devient encore insuflisant pour le calcul des dernières valeurs de la fonction F; savoir, de celles dont l'amplitude approche beaucoup de go°. Il ne reste pour celles-ci d’autre ressource que de les calculer directement par les formules générales d’approximation ; c’est ce qu’on a fait pour 4=— 86°, 87° et 88°, depuis @ = 85°, jusqu’à @ — 89°. Il n’y a eu aucun nouveau calcul à, faire pour lés angles du module 89° et 90°, puisque les résultats sont déjà connus par la Table du n° 751, pour le premier de ces angles, et par les Tables HI et BV pour le dernier. Ainsi, à Pexception du petit nombre de termes qw'il a fallu calculer directement pout la fonction F scttlement , tous les résultats contenus duns là Table 1X ont été déduits de ke méthode des ordonnées moyennes, ‘dont Pusage ne saurait être trop recommandé dans les calculs de quadrature qui exigent .

un grand degré de précision... 11 .: