CHAPITRE XV

Par le moyen de ces termes on trouvera comme ci-dessus les différences successives de la fonction A, savoir:

d'A d'A AA % = 2276 0137, Fe = 2! 5508, 7 = 3851, d'A d°A JA

AA d'A d'A Ne — 20 3719, FN — Li 1561, Fodn — 2893.

On a d’ailleurs dans cet exemple x = 0.546932711, y —=0.07; substituant toutes ces valeurs dans la formule générale, on aura Par les seules différences du premier ordre, F = 1.007358 90298 Correction due aux différences du deuxième ordre, — 1 91734

Correction due aux différences du troisième ordre, — 19 Donc par les trois ordres de différences, F = :1.00736 98545.

827. Comme la valeur de @ a été prise de manière que Fp=1F", ce résultat peut être vérifié par la Table des fonctions complètes d’où l’on déduit F'=—2.01473 97308, et par conséquent F® = 1.007336 98654; ainsi on voit que la valeur trouvée pour F par l’interpolation, est en erreur d’une unité décimale du huitième ordre, erreur assez légère sans doute ; mais ce qui est remarquable, c’est que la correction due aux troisièmes différences n’a fait que rendre un peu plus défectueux le résultat des secondes différences. Pour expliquer cette espèce de paradoxe , on a eu recours aux différences quatrièmes qu’on a obtenues en ajoutant un terme de plus aux lignes des données tirées de la table; on a trouvé ainsi :

r=— 182, Fn= 499; Sr 44, Jen = — 226, ss = — 220, ce qui donne +- 165 pour la correction due aux quatrièmes différences, et pour la valeur corrigée F= 1.007356 98710. De cette manière l'erreur n’est plus que de 5 ou 6 unités décimales du neuvième rang; c’est tout le degré d’exactitude qu’on peut obtenir d’une Table dans laquelle les nombres ne peuvent être toul-à-fait exempts d'erreur dans le dernier chiffre décimal.

.. Au reste, si la correction + 165 qu’on a tirée dans cet exemple des quatrièmes différences , est plus grande que la correction — 19 due aux troisièmes différences, contre la loi générale, cette anomalie est due à

ce que la différence première = parvient presque à son maximum, dans une des données tirées de la Table; cette circonstance rend les différences secondes irrégulières et plus petites dans un certain intervalle que les différences troisièmes. Mais il demeure toujours constant que jamais on n’aura besoin des différences quatrièmes , qui compliqueraient beaucoup les calculs d’interpolation , et que même il est assez inutile dans la plupart des cas de tenir compte des différences troisièmes, ainsi que nous l'avons déjà dit.

828. Soit proposé maintenant de trouver dans le même exemple la valeur de la fonction E@ : on prendra dans la Table IX les données nécessaires pour former les différences jusqu’au troisième ordre comme il

suit :

ee |__| —— ee | oc ——

Il en résulte les valeurs suivantes des différences

R= 1338 3912, = — 12 5538, = 153, d'A d°A d'A FF —=— 204 1951, = 1 5896, -7 — 2692, d'A d'A d'A Tidp = — 11 8725, 3670 — 4843, HF — 448.

Substituant ces valeurs dans la formule générale, on a par les premières différences. ... TT TT ET PT TT cesse. E = 0.840335 37311 Correction des secondes différences......,.... + 1 04912 0.840354 42223 Correction des troisièmes différences.......... +176

La vraie valeur se déduira de l’équation 2Ep — E=1—b=,.,.... 0.413520 358685; or par la Table II on a log E' = 0.102194 284108a, E' = 1.26748 503703, donc Ep = 0.84034 43119; ainsi l'erreur n’est