CHAPITRE I

Méthodes générales pour former une T'able des valeurs de l'intégrale LU = fude.

688. Nous supposerons que x est une fonction dde de la variable ®, et que celte fonction est telle qu en faisant varier ® d’une quantité constante &, les différences successives de. la fonction & diminuent continuellement et finissent par être entièrement négligeables. On, peut. toujours prendre æ assez petit pour que cette supposition soit admissible, quelle que soit la fonction 4, pourvu qu’elle reste toujours finie dans toute l'étendue des valeurs de ® que l’on considère; et la différence æ pourra être fixée dans chaque cas particulier, suivant le dé d approximation avec lequel on veut exprimer les fonctions U.

Nous désignerons par U, U', U”, etc., les fonctions qui répondent aux variables croissantes @, @+&, ®+ 24, etc.; et semblablement nous désignerons par U, U°, U°®, etc., les fonctions qui répondent aux variables décroissantes @, —æ, ®—2æ, etc. Cela posé, la Table qu’il s’agit de construire pour la fonction U et ses différences successives, pourra être représentée, dans l’une quelconque de ses parties, comme il suit :

da CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

Variable,

La première colonne contient les valeurs de @, formant une progression arithmétique dont la différence est &; la seconde colonne est celle des valeurs correspondantes des fonctions U. On a placé sur la même ligne que ® et U, les différences successives JU, d'U, dJ'U, etc.; et par cetle disposition, chaque ligne sert à former la ligne inférieure, au moyen de la loi connue U'=U + JU, JU’ = JU + JU, AU’ = JU + JU, etc.

Il s’agit maintenant de faire voir comment, étant donnée la fonction «, on peut calculer les différences successives qui servent à former la Table des valeurs de U. Pour cela nous ferons usage d’un algorithme qui a l’avantage de conduire rapidement aux résultats que nous voulons exposer, et qui a surtout celui d’en faire connaître la loi de la manière la plus simple et la plus générale, Cette notation, au reste, qui ne s'applique qu'aux sommes et aux différences, considérées dans leurs combinaisons linéaires seulement, est fondée sur les mêmes principes que celle qui a été indiquée par Lagrange dans les Mémoires de Berlin, ann. 17972, et qui a été depuis reproduite sous beaucoup d’autres formes par différens auteurs.