CHAPITRE JL

de ad, on convienne que chaque terme Ua“d" sera remplacé par æ*. Daus cette hypothèse, on aura successivement U'=Uesd, L'= Ued, Lt =l'ed, étc.; de là résultent les différences premières, JU =U(e“d—:), d'U' =U'(e“d— 1), d'U" = U(e— 1), etc.; celles-ci donnent les différences secondes, d'U = QU (et— 1) =U(ed— 1}, d'U' = d'U'(exd— 1) = U'(esdm ir), d'L"= JU(ed—3)= UV'(exd— 1}, etc. ; et en général on aura d'U= U(et—;},

Au moyen de cette formule, la différence finie d’un ordre quelconque de la fonction U peut s'exprimer par les coefliciens différentiels de cette même fonction. En effet si on suppose

(é— 1) = 2" (1 A'x + Az + Al + etc. ),

on aura en même temps | L] = d'U CPL où | d'Y'U LE drU J'U= a". 77 + A'e Fr TA PU Te tr so.

6go. Réciproquement on peut exprimer les coeficiens différentiels D eT , elc., d’une fonction U, par le moyen des différences finies de cette fonction, prises en donnant à la variable @ l'accroissement constant &. Pour cela je réduis l'équation symbolique SU = U (e* — 1) à la forme d'=ed—1;

ad = log (1 + À),

jen üre et aUd ou | es

a. 7 = Ulgti+d). | | Cette nouvelle équation suppose qu'après avoir développé le — mer

44 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES , bre suivant les puissances de d', chaque terme Ud” sera remplacé par la différence JU; on obtiendra ainsi

a D = dÜ—+ JU + + SE — 2 MU+ etc.

C'est la formule connue qui sert à exprimer le coeflicient différentiel d’une fonction par les différences successives de cette fonction. Ainsi æ étant assez petit pour que la suite des différences JU, d'U, d'U, etc., soit très

convergente , on déterminera le coeflicient d °vec loute l'exactitude qu’on

peut désirer.

691. Si dans l'équation symbolique æ& Es = U log (1 + d'), on met à la place de U, on aura

ddU a = Li +d),

dU de

d’où résulte Roue Ur (+0).

On aurait de même ai YU æ" =UP(1+d),et en général ,

a =Ur (+ d);

73 peut s'exprimer facilement par les différences finies de la fonction U, en supposant connu le développement de (rt zx}, qui désigne la puissance À de (1 + x).

En effet si l’on a (1 + x) ou a (13 LS x — F2 +etc.)=x" (1 —N'x+ Na — Nas pete.)

de sorte qu'un céafiicient Du quelconque

on pourra en conclure

— a" Dr = d'U Née + N'd+eU — etc.

692. Supposons maintenant qu’on ait U= /udg ou D = la valeur de au exprimée par les différences successives JU, d'U, d'U, etc., sera au = d'U — + J'U + + d'U — etc.

Dans le cas où l’on veut construire une Table des valeurs de U , la quantité w est connue pour chaque valeur de ®, et en faisant varier ® de