CHAPITRE NI. 49 ar d'U° — N'J'4Ue E NU — NU LL etc

697. Réciproquement on tirera de cette équation la valeur de d'U* exprimée au moyen de la fonction donnée a&* que nous désignerons par Q; cette valeur sera de la forme

d'U=Q + M'd"Q° + M'dMQe E M'dQ + etc., dans laquelle les coefficiens M', M", M”, etc., se déduisent des coefficiens N°, N’, N°, etc., au moyen de l’équation

1—Nx+ W= —N Fete. — + Max Ma + Max + etc.

On voit aussi que ces mêmes coefliciens pourraient se former par le quarré de la suite déjà connue, au moyen de léquation (im + me + mas Letc. Ÿ = 1 + Mix + M'x° + M2 etc.

On aura de cette manière,

M=!, M=— 1 ME etc. ;

ce qui donne enfin SL Q + 2 dQ — DQ" + EEE d°Q" — etc.

698. L’analyse précédente nous a conduits à deux formules très remarquables; l’une pour calculer la valeur de d'U par le moyen de la quantité connue P = a&v, où » est ce que devient u, en mettant ® + + æ au lieu de @; l’autre pour calculer la valeur de d''U* par le moyen de la quantité

du en 5 connue Q = & 7

La première formule est — 1 Jspe 17 jupes jp 567 .

JU=P+ ;7d°P° 5560 SP + 5753 etc., et la loi générale de ses coefliciens est la même que celle de la suite

1 +3z — 5 æ* + TS — etC., qui vient du développement de la fonction

2 Tr Ta En 24.6 qu + 4

50 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, la seconde formule est

. 1 ï 31 MU=Q+— d'Q° — mn PQ + sors d'Q°**— elc., et la loi générale de ses coefliciens est la mème que celle de la suite 1 Haras — ete, qui est le quarré de la suite précédente 1: + — és x* + etc., ou qui vient du développement de la fonction T°.

699. Les deux formules dont nous venons de parler fournissent deux méthodes différentes pour construire une ‘Table des valeurs de l'intégrale U= fud?, correspondantes aux valeurs de @, formant la progression o, æ,2@, 3æ, etc.

Suivant la première formule, il faut calculer les valeurs successives de la fonction donnée P = av, » étant ce que devient w lorsqu’au lieu de @ on met ® + 3 &. Par cette substitution, P est toujours regardé comme une fonction donnée de @, qu’il faudra calculer pour chaque valeur de g comprise dans la Table. Ainsi pour les valeurs successives ®, a, +2, etc., on aura les valeurs correspondantes P, P°, P"”, etc., et ces valeurs étant portées dans la Table, chacune sur la même ligne horizontale que la valeur de @ à laquelle elle correspond, on en déduira leurs différences premières, secondes, troisièmes et quatrièmes , dont on fera autant de colonnes séparées, comme on le voit dans le tableau suivant :

@® æ 2a | Po | JP | Jspoo | Jipoo | J4poe ® — po d'P° d'‘po d\P° d'‘bPe ? Per ER -LÉP ISe

+ æ|P | JP | JP | SP |

® + 24 | P" | SP" | Jep"

® + 3a | P“ | Jp" |

?+ ia) P" |

Chaque colonne se forme de la précédente par soustraction, et reuferme un terme de moins, de sorte qu’il faut que la colonne des P ait été prolongée jusqu'aux P'*, pour que la différence d“P puisse être connue et placée sur la ligne des @ et P.

Lorsqu'on aura formé pour chaque valeur de la variable @, les quantités P, JP, d'P, d'P, d'P, on en eonclura pour la même variable @, la