CHAPITRE DL

a, on connaîtra les différences successives de u. D’après ces différences , il sera possible de déterminer en général la valeur de d'U.

En effet, soit au = p et GES ou

—— # 17} ra tir=a tt be + Kat + Ka ete.,

l’équation précédente donnera

dU= p + kdp + K'Sp + kSSp + etc, Ainsi d'u se déduit des quantités données p, dp, d'p, etc., par une suite dont la loi est connue.

Cette même suite donnerait les différences ultérieures J'U » AU, etc, par les formules

SU = Jp + Kd'p + K'Sp + etc,

AU = d'p + KSp + etc.

Mais ces suites, pour déterniner JU, d'U, d'U, etc., peuvent être rendues plus convergentes par un moyen très simple.

693. Soit » ce que devient la fonction w, lorsque au lieu de @ on met P+:aæ; on aura suivant la notation précédente ,

v=u(r+d >, pourvu qu'après avoir fait le développement du second membre suivant

les puissances de d\, on remplace chaque terme ud'" par ,

De là résulte &v = au (1 + d'}5, et parce que au = Ul(1 + d'),

on aura æw=U(i+d} L(1+d).

Mais en effectuant le développement jusqu'aux x°, on a ° L L 3

(i+zx) l(i+æ) =x—7 a + at — rl 2 Be <— etc. ; donc ;

av= J'U — — SU + 7 JU — es d'SU +- Ps d'U — etc. Conservons le premier terme d'U de ce développement, mais substituons dans les termes suivans la valeur U= U° + d'U°, nous aurons

av = SU — 2 JUL? + De JU — Es JEU* + etc.

+ . . 1 - Dans cette suite, conservons les deux premiers termes d'U — +: d'L®, et

substituons dans les suivans U°° + J'U® à la place de L°, nous aurons de nouveau

av = d'U — a SAU* + 7 d'U** — etc.

Cette suite prend ainsi une forme très convergente, mais il reste à s’assurer de la loi que paraissait indiquer les premiers termes, et à déterminer d’une manière générale celle de leurs coefficiens. 1} faut donc faire voir qu’au moyen des coefficiens #', n", n°, etc., dont la loi sera déterminée, on aura généralement

av = d'U — n'JSU° + n'fSUe — n"J'TUee LE etc. 694. Reprenons pour cet eflet l'équation symbolique æ F=U( 1+ d) ou au = Ul(1-+d'), on en tire

JU=— aud* aud"

au UT — = TQ+d)? USER) =; etc.

Mais d’un autre côté on a

TO ms U 00 U 000 U__ »

Very Penn Ven %:; donc ai dis RUEDh d°u° = TG EN aud° 5 pose = TG +5 d'U— - RES TGEN

elc.

De là on voit que la suite JU — n'J'U° + n"JSU® — etc. , est représentée par aud , aud' " aud m œudt TH GI GR GG) TG + Si donc on veut que celte suite soit équivalente à æv qui est représenté

par au (1 + d'}, il faudra qu’on ait sas Ge se Li+d)= -

—#. n". s— "77, ae

= + Qa+2)i (x + S 3 (+2)

CHAPITRE JL. 47 Soit —; = 3°, le second membre devient 3 — n°2 4e "25 mu ête., et le premier se réduit à 2/[523<+ y{(1 + +3°)]. Or on sait que

ue de 12 ,1.32 1.3.5 »

log [x+ y/(1+ xx)] fr m7 * S'ils.

et qu’ainsi la quantité 2 log [13 + #(1 + + 3)] se développe en cette suile , °

M nr Lx Den

donc l'équation supposée a effectivement lieu en donnant aux coefficiens n',n",n", etc., les valeurs

Mr es ve Li mm 13.5 1 t — 28,2? ras Por art 'asr

donc on a en général, 2 1 d'U° 2.3 de 1.3.5 d'Uso av = d'U se Tri LE. 1 — 2.4. 6° NE Hi ass , série qui procède suivant une loi évidente, et dans laquelle chaque coeflicient est moindre que le quart du précédent.

695. Si on fait æv = P, et qu’on désigne par P°, P®, etc., ce que devient la fonction P lorsqu’au lieu de ® on met @ — 4, ®— 24, etc., on déduira de Péquation précédente une valeur de JU de la forme

d'U = P + m'd"P° + m'MPe E m'"'J"6Pes LE etc., et les coefliciens #7, #9", m°”, etc., se déduiront des coefficiens »', »", n'”, etc., au moyen du développemeut de la fraction

: = ’ “ .S 1] relie | mx + m'as + m'as + etc.,

de sorte qu’on aura , ’ L mm ==,

m'=mn — nn" = — a

etc.

Ainsi la valeur de J'U s'exprime par la fouction P, au moyen de l'équation générale

| L she 17 ee 367 (6Poce JU=P + ;7 d°P — 556 °*P + 86e d'°P° etc.,

laquelle pourrait être continuée, suivant la même loi, aussi loin qu’on voudra.

696. L’équation par laquelle la fonction æ&v se déduit de U, peut être représentée ainsi ,

av = aU I[id + y(Gi+id")],

pourvu qu'après avoir développé le second membre suivant les puissances de d', on à Ud', Ud*, Ud®, etc., respectivement, en d'U, d'U”, JSU®,

Au ds “de cette équation, on en peut former d’autres non moins remarquables. ,

Désignons par U (® + 1aæ ) ce que devient la fonction U ou U (œ), lors-

qu'au lieu de @ on met @ + + æ; alors on aura v = tte, et l'équation précédente donne a HO AUS + +49)

Dans celle-ci mettons encore @ + +? & au lieu de ®, nous aurons

a GEI DU (o+sa) 14 + +3);

différentiant de part et d’autre par rapport à ®, et observant que U (® + à) n’est autre chose que U’, on aura

aa CO [49 + (1 +3 d0)],

ou en substituant dans le second membre la valeur de Cr, Cet i à a Te = UML: I + VG +40).

Mettant dans celle-ci ®9 — # au lieu de ®, on a enfin si # où «7 = AU ALES 4 VC++ d*)].

Supposons donc qu’on ait : Cid + y(i+2d*)], ou

45 1.3.5 (2 —; si: Bai 2.4.6 * 7.2 a+ etc. Ÿ

= de — N'YMENM IS — NO etc, :

et la vraie valeur de æ* —, déduite de notre équation symbolique, sera