CHAPITRE IL

formule qui ne diffère pas de la précédente, parce qu’en mettant : au heu

gain —1ds 281 da

de 3, l'intégrale ur * change en GE) les limites étant loujours 2=0,2= ©.

16. Considérons enfin, dans la supposilion de # pair, la formule

in— a aa Je = Vas

si on fait x" =1 + 2", on aura par la substitution,

i in — ins) =f CES Ro (c')

et l’intégrale du second devra être prise entre les limites 2=0, 2== ©.

Maintenant, par la combinaison des équations (x) et (c’), on obtient

(= 2 co a (29),

et par conséquent aussi,

n—a@ a ( V== 2° sin 4% (<=).

De ces deux-ci on conclura

(©) — 27 cotang a (—) (d'),

d’où l'on voit que 7 étant pair, il suflit d’avoir les valeurs de (©) pour tous

les cas où 4 ne surpasse pas +7, et qu’ainsi le nombre des auxiliaires néces- P set q

saires pour déterminer toutes les fonctions (€) qui répondent à une même

valeur de , se réduit à ï ou 7 sélon que 7 est de la forme 4mou 4m + 2.

7. À l’aide de l'é équation (d’), on trouvera:des relations entre les auxiie À,, A,;, As, etc., qui réduiront leur nome comme il vient d’être dit. Pour cela reprenons la formule (1); = —

(£ 2)= AsAayi- "An +. Asa sin (a + 1)wsin(a+2)e... sin 20, —— . :

LE AR ch ‘éin & sin 24... Sin Gæ

elle donne, en faisant n = 2m,

m—0\ An s: Am—sxr ++ Anmsa Het ein (m ee -sin(am—24)e. (=) Modes | sine sin 2e... sin (na )e

380 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

substituant ces valeurs dans l’équation (d’), et faisant les réductions dans l'hypothèse a <<5m, on aura généralement

AsAogre- Ans a sin(m—1 )» sin(m—2)e...sin(m—a#1 )e ( !) Re — u sinawsin(a+1)e...sin(2a—1)e Là

De là résultent, en faisant successivement 4 = 1 , 2, 3, etc., des équations particulières qui peuvent être mises sous cette forme -

An = À,.2* sin ©

As = Aus +3 sin 3

Len (r).

Ans MS at + ésin 5

AcA 1°.

An4 = 2 TS sin 7œ |

etc.

Elles devront étre continuées jusqu’à ce que le nombre en soit = ou

18. Par exemple, lorsque » = 12, il ÿ a cinq auxiliaires A=(®), A.=(), A,=(É), A4=(5); As = (£), entre lesquelles on a ces deux équations

As = À, . 26 sin «, A,À LP « Ay= 5.26 sin 30.

De sorte que le nombre d’auxiliaires nécessaires se réduit, à trois, pour lesquelles on peut prendre A,, A,, As.

Si on préférait de prendre pour auxiliaires trois des quantités M, , il faudrait avoir recours aux équations (u), lesquelles donnent sin # A, = M, . ga 25?

À,Âs M, sin*.20 A À, — M, sin 3e singe?

A,As ns M; sin* 3w AA, M, sin 5e sin6e

Au moyen de ces équations et des précédentes, observant d’ailleurs qu’on

LLÉ a w = —, On trouve