La seule transcendante à déterminer est
(2 à Es = ME Er
+ Or en faisant x=1— col", r= V3, c— Y<, ou c=sin 75°,
on a [rs =; J FRS = 2 F(c, @)+ const. Cette intégrale doit être prise depuis tangi®=r, jusqu'à ®=—#; mais par les formules
connues (fonct. ell. art. 24) on trouve que la valeur tang5g=r= V5,
384 INTÉGRALES EULLRIENNES,
= -.$£"c; donc :
répond à la fonction F9 =# F"; ; deb résulte f =
l'intégrale cherchée à + ei E (=: ,5 F'(sin 75°)= 2°, 3
car on sait que F'(sins5)=-y3 F'(sin 15°).
F'(sim 15°);
Second cas n—4.
20. El suflit encore dans ce eas de déterminer la transcendante
= x frs
| dz \ = er À ss! — éd me EE 6 + s © Soit z=tangi®, et c'=+# ou c= sin 45°, on aura f : d@ u VQ — c sing) jusqu’à ® = 7; donc on aura
(5) = F'e= F'(sin 45°).
Troisième cas n=6.
+ E(c, ®); cette intégrale doit être prise depuis 9 = 0
21. On sait d’après le n° 16 que toutes les intégrales représentées par (®) seront déterminées au moyen de la seule transcendante IN 5 me ane É à O=s frs eos rs:
or par la substitution = 13, la première forme conduit au résultat - =? . ù ds 1 (=: . 3 *F'(sin 15°), et par la ne 3 =J"—1, la seconde forme conduirait au résultat : = 2%. 5 # F'(sin 75°), qui s'accorde avec le précédent, puisqu'on a F* (sin75°) = y/3.F'(sin 15°). Quatrième cas n=8.
22. La détermination de toutes les intégrales @) exige dans ce cas qu’on connaisse les deux transcendantes
Ge [rs à 0 3 OL Os frs de
CHAPITRE Hi. 383 Mettant dans la seconde x* à la place de x, ce qui ne change pas les hmites, on aura O=2 == 2 F° (sin 45°).
Ainsi toul se réduit à trouver l'intégrale (©); ee qui se-fera au moyen de l'intégrale T — f ET prise depuis 32=0 jusqu’à 3= ©. On peut supposer d’abord qu’elle soit prise Fe 2— 0 jusqu'à 2= 1; ensuite pour la trouver depuis z = 1 M ESS 3= © , il faudra mettre - à la
place de z, ce qui donnera l’intégrale re +. à prendre encore dal
2= 0 jusqu’à 3= 1. Donc l'intégrale dont il s’agit est niême que l’intérale (CEE prise depuis = 0 jusqu'à 5== 2,
8 vQ +25) PF ep j sq pis
Soit 1—2 = 92, on aura = —5=4, 4 de = —dq, Vis) . z V[(g*+8)—2]; donc L D Les VIG +2) 2"
Cette intégrale devant être prise depuis 9=0 jusqu'à g = , nous ferons m'=2—- V2, g=mtang, dr ce qui Dies l’inté-
grale indéfinie T =— LT ES — = = F(6, @),et l'intégrale complète
sm°ç) T'=— = F b; donc enfin la valeur de la transcendante cherchée sera (=) =
"i F6, parce que d'ailleurs m = 2 eos 3 |
Nous remarquerons que le module b= y/(2y/2— 2) est le complément du module <= ÿ2— 1; or par la propriété de ces modules démontrée art. 85 des fonct. ell., on a F°£ = ÿ/2F'ce, done on aura plus simplement
(5) = aîFre a oi F'(tang 4)
Cinquième cas n= 12.
tr
23. Il suffit dans ce cas de connaître les trois transcendantes
=> Jr: sg spas ee G)= 2 à va = æat cos TD
G) = 2 à 1 == 9° Los — 3 raz") vG +3")
384 INTÉGRALES EULÉRIENNES , La seconde et la troisième se ramènent immédiatement aux formules déjà
| intécrées. En effet, si dans la seconde on met x* à la place de x, on aura A ; s ;
(5) — rx = 2" 374 F'(sin 15°);
et si dans la troisième on met x° au lieu de æ, on aura
3 as (3) =i 75 à 3 F' (sin 45°); il ne reste donc plus qu’à trouver la première (>). Considérons, pour cet
effet, l'intégrale 2= frs prise depuis 3=0 jusqu'à 2=% , on da(r + zt)
trouve, comme ci-dessus, qu’elle est égale à l'intégrale VG+z)
prise depuis 3—0 jusqu’à 2=1.
i = ps" nn |. 14 0 Soit 1+st—pz", on aura la transformée Z = Pt) U il faut prendre depuis p= 2 jusqu’ à p=. Soit encore n= 12, et p*+n° Z=pu, on aura cent ide 5 haus: l cin mUE L ps = = Aa an) + A Ciso ap ‘dp= ES + = et enfin, 2m! ( + 2n). ESS LE fx Van — 7) Nouvelle formule dont les deux parties doivent être intégrées depuis u==y/(an+r)=2#4/3, jusqu'à u=@. Soit 244/3=A et van—x",
la première partie deviendra
3 ds , VC — an Là). y{(e— on — à) Soit encore a = EX et =}, où c— = vs la transformée cos* 3 2À + V3
sera ES dE er L 5)’ et sa valeur dans les limites requises sera LES | :
Si l’on fait semblablement & = 2 S 2
j ET 1 ment du module €, l’autre intégrale sera SEE " 2/(2à)
valeur qui sera le complé-
