CHAPITRE I

On a vu dans les art. 504 et suivans comment les calculs doivent être disposés pour former graduellement la série des auxiliaires et celle des fonctions. Pour éviter à cet égard tout embarras, voici comment on mettra en usage la dernière formule

MU =S + + d''S° — etc.

La valeur de S étant donnée en fonction de @, on pourra calculer préalablement, avec telle étendue qu’on voudra, la suite des quantités S, tant dans le sens des variables croissantes @, ®+æ, ® + 22, etc., à partir de la première valeur de 9, que dans le sens contraire ® —«, ® — 24, etc., s'il est nécessaire. Avec ces valeurs et leurs différences successives, pro-

longées jusqu’à ce qu’elles puissent être négligées, on formera autant de lignes qu’on voudra , telles que les suivantes :

® — als, JS, JMS, JS, JS, etc.

? S , JS , MS , MS, MS, etc.

p—+ a |S', dS!, des, JS, JMS, etc.

® + 2a | S", JS", JS", JS", d'iS!, etc.

Cela posé, puisqu'on a en général :

MU —=S" + à d''S" — . JS + ER d'S° — etc,

( valeur qui se réduira le plus souvent aux trois premiers termes ); on voit que pour chaque valeur de ®, la Table des quantités S donnera immédiatement la valeur de J*U, laquelle jointe aux valeurs connues de U, d'U, d'U, d'U, servira à former dans la ligne inférieure les termes U’, d'U’ ; d'U', d'Ù. |

Calculant de même la valeur suivante de AU , qui est JU’, on formera une nouvelle ligne U°, SU", d'U°, d'L”, et ainsi jusqu’à la limite de la Table qu’on veut construire.

On voit que pour être en état de calculer le terme JU qui sert à trouver U'", il suflira d’avoir avancé la série des S jusqu’au terme S'" qui sert à trouver d'S, en supposant du mains que la valeur de d'{U soit exprimée d’une manière suflisamment exacte par les trois premiers termes de la formule. Ainsi, dans les cas les plus ordinaires , la série des S ne devra pas être prolongée au-delà de la valeur de @, où doit se terminer la Table; dans ces mêmes cas où l’on n’a point égard au quatrième terme de la formule contenant d'$°, le calcul des quantités S ne devra être fait qu’à

compter dé la première valeur de @, puisque les quantités précédentes S°, S® , etc., ne seraient d'aucun usage.

711. Il ne sera-pas inutile de réunir ici, sous un même point de vue, les différentes formules que nous avous trouvées, pour former une Table

des valeurs de l'intégrale U, lorsqu'on suppose connu , en fonction de la seule variable ®, l’un des coefliciens différentiels D ET : D: voici ces formules où nous avons constamment désigné par P Pauxiliaire qui doit étre employée dans chaque cas.

Soit 1°. l’intégrale U = f'ud9 ; ‘on fera P = &v, » étant ce que devient ta fonction donnée u, en mettant ® + ? & à la place de ®, et on aura la formule

dU=P+

Soit 2°, l'intégrale U= /Judg* ; on fera P = a'u, et l’on aura la formule

D — ES DiPer + d'iPes — etc.

2710 | 1 1 LL S'U° == P + dMPe — 2 déPer + DE JSPO0 etc.

Soit 3°. l'intégrale U = f'udg’, on fera P = «&°v , » étant ce que devient u, en meltant @+ 3 & au lieu de @, et on aura

AU=P+; L d'Pe — 1. jupe 457 psposo — etc.

1920 945.2"° Soit 4°. l'intégrale U = f'{udgt, on fera P = atu, et l’on aura SU = P + à Po — LE déPo + Te d'éPes — etc.

Il serait facile de prolonger à du la suite de ces formules, en observant la loi qu'elles suivent «et qu'on démontre généralement par lanalyse da n° 696. Ainsi pour lintégrale U = /“udg$, on ferait l’auxiliaire

P= a%, et on aurait la formule dSU°= P +5 J'Po— 5 J'éPs etc. ;

pour l'intégrale U &= f'#xd@f, on ferait P = «fu, et l’on aurait la formule dU%=pP+Ed"Pe— 553 JP Hetc.,

ainsi des autres.

Quant à la loi des coefliciens, elle est la mème que celle qui résulterait du développement de la puissance

CHAPITRE TI. 59 tr 1.3 xt 1.35 — (: Tai Tal Ba all ist ete)”, n désignant l’ordre de l'intégrale-proposée U = f"udg*. 712. Il serait à désirer qu’on püût calculer par des procédés semblables et avec des suites aussi convergentes, les valeurs successives d’une fonction

U donnée par une équation différentielle du premier ordre = ec

fonct. (U, œ@), ou même par une équation différentielle d’un ordre plus élevé. Ce problème est de la même nature que ceux qui concernent les intégrales simples ou multiples ; mais sa résolution offre beaucoup plus de difficultés, et jusqu’à présent nous ne voyons d’autre moyen d’y parvenir que la formule de Taylor

dU , et dd : # ŒU 6 AU Ua He Te ts mp sr mrhete, qui sert à calculer la différence finie d’une fonction par le moyen des

coefficiens différentiels successifs de cette fonction.

- Si l'équation est du premier ordre , le premier coeflicient Fe sera donné en fonction de U et de ?, et les suivans ES D elc., s’en déduiront par la différentiation. On pourra donc, d’une valeur donnée de U correspondante à @ — e, déduire la valeur suivante U'=U + JU, correspondante

àg—e+a, et ainsi successivement.

713. Si l’équation est différentielle du second ordre , alors faisant. ...

K- = u, le coeflicient Le sera une fonction donnée de u et de @; on en dé-

duira par la différentiation les valeurs des coefliciens suivans ER Sr » &lc., exprimées semblablement en fonctions de x et de @.

Connaissant donc les premières valeurs de U et de x qui répondent par exemple à @ —e, on trouvera les valeurs suivantes de U et de w qui répondent à @ —e + «, au moyen des formules

dd, & dU AU au + Tr Ds ete.

ddU ŒU # d'U due Tete cm ts oi tele

d’où l’on déduira U = U + JU, u'= u + d'u. Par ces nouvelles valeurs

de U et de # qui répondent à ® = e + «, on trouvera semblablement les

valeurs suivantes qui répondent à @ = € + 24 , et ainsi successivement

Go CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

jusqu’à la fin de la Table. Mais ces calculs qu’on doit faire ainsi pas à pas pour que le résultat en soit plus exact, sont très longs et très diflicultueux.

Il serait d’autant plus utile de perfectionner ces méthodes en rendant les suites plus convergentes, que la réduction en Tables est la seule ressource qui reste pour évaluer les fonctions déterminées par des équations différentielles qu’on ne peut intégrer exactement ; et peut-être n’y a-t-il pas d’autre moyen de résoudre les grandes diflicultés que présente la théorie des perturbations des planètes, lorsque le développement en série ne peut pas avoir lieu , ou lorsqu'il offrirait un trop grand nombre de termes qui ne pourraient être négligés. É

AAA RAA AA A A

Las.