CHAPITRE I

Auxiliaire! Diff. I. IL.

Variable, | Fonction.| Diff, I.

® — 3@ d'Q°® ge d'Q°° d'#Qooe ® — 2a d\Q°° d'Q® d'Qc

® cm, & d'Q° d"Q°

? dQ R

Pour aller plus loin , on calculera l’auxiliaire Q” qui répond à la variable ® + 22; on en déduira les différences successives d'Q', d'Q, °°, MO, au moyen desquelles on connaîtra JU° = Q+ — d°Q° — ms d4Q", ensuite JU et L’, ce qui ajoutera un 1erme à toutes les colonnes,

Dans cette méthode, on ne néglige que les différences d'Q , lesquelles sont de l'ordre æ*, puisque Q est de l’ordre &*; on pourra donc fixer a priori le nombre de décimales qu’on devra admettre dans l'expression des fonctions U ; mais nous avons déjà fait observer que les erreurs sur les différences secondes se multiplient comme les nombres triangulaires ; ainsi il faudra se procurer, à des intervalles déterminés, des valeurs exactes de la fonction principale U ou de sa différence première JU, afin de connaitre et de corriger les petites erreurs qui auraient pu s’ccumuler par le progrès des opérations.

708. Les deux méthodes qué nous yeaons d'exposer sont eu général très propres à remplir l’objet qui était proposé de construire une Table des valeurs de l’intégrale U= /'ud® ; elles ont l’une et l’autre des avantages et des inconvéniens qu'il faudra balancer lorsqu'il s’agira de les appliquer à uu objet déterminé. Nous remarquerons ici que la seconde de ces méthodes peut avoir une application particulière et fort utile, s’il s’agit en effet de construire une Table des valeurs de la fonction U, d’après la seule eon-

: L sax: : ®U naissance du coeflicient différentiel du second ordre Ze = 4 en sorte

qu’on ait U = /Judg" ; le problème se résoudra immédiatement par la 4 . 3 formule 4"C° = Q + d'Q°— 9 Q" + GE dQ°®* — ctc., où l'on a Q= "4.

L'usage de cette formule suppose que l'on connait à l'origine de l’intégrale les valeurs de U et de J'U; ces deux données sufliront pour calculer la série entière des valeurs de U; et si l’on a besoin dans cet intervalle,

de l’un des coeficiens différentiels %? °" le calculera par ia formule or-

dinaire

a = SU —; d'U + 3 d'U— 7 AU + etc.

709. Si l’on proposait ultérieurement de former une Table des valeurs de la fonction U, en connaissant seulement le coefficient différentiel du 3° ordre D = u, en sorte qu’on eût U = /‘udg*, u étant une simple fonction de @, la solution se déduirait aisément de la même analyse que nous avons suivie dans l’art. 696. Soit pour cet effet » ce que devient la fonction donnée u , lorsqu'on y met ® + + & ; au lieu de ®, on trouvera

de JU — KJSU0 HE L'JU 000 — KP JU LE etc., les coefliciens #’, #4”, 4", etc., étant les mêmes qu’on déduirait de l’équation identique

(æ—:. + St 7e Lo etc.) = 2° — Ke + K'x — etc.

Soit donc &v —R; et de l'équation deu on déduira

SU =R+; E J'RO — 2. JR je LL = d''R°e — etc.,

la loi des coefliciens étant la même que donnerait le développement de

G+gz — a+ ER a — etc. Y.

Au moyen dela formule précédente, il suflit de connaître à lorigine de l'intégrale les valeurs de U, JU, d'U, ou ce qui revient au même, les trois premiers termes de la série U, U’, U", et on formera la série entière des valeurs de l'intégrale U = f‘udg*.

-10. Il résulte encore de la même analyse qu’étant donné le coeflicient

“4 4 . è différentiel du quatrième ordre D = u, si l’on fait au = S, on aura la formule 4] 00 1 fa got s0 gai 6Gove g4C =S +39 nr adig Than" etc.,

au moyen de laquelle on pourra calculer la série entière des valeurs de Pintégrale U = f'{udgt, pourvu qu’on connaisse les quatre premiers termes de cette série U, U', U", U”, ou ce qui revient au même, les quatre

quantités U, JU, d'U, d'U,