m—1) « aHC.a+o6...æ+(m—1)6 Çm—1 ® (æ, m
Dans cette équation, mettons successivement Am et (A+ 1}m à la place
de m, nous aurons
1.2.3....AM—1 4 | a+Catas...... EG = 55" 0 (6, An), 1.2.3....AMmhb m1) æ O(a, Am m).
æ+C.æ+a6...e—+ (amt+m—1)6 — Gnm=i Divisant la seconde par la premiére, et faisant pour abréger, « + Am6=a", il vient a'.u'+C.a' +26... dm. Çn dx, am) Am. xm 1. m2... Ambmr ‘Of, Am+m)
mais en mettant æ' à la place de æ dans l’équation primitive, on a
1.2.3....Mm—I1 a’ ——————————— — -—D(a—tamé,m d'HCd H20...dhmems.e C® et M),
et multipliant ces deux équations entre elles, on a pour produit
1.2.3....m—1 — € D(a,am).® («+ ame, m) AIT à DT fe Le 0 à Abe Mml | Da, Am em) \
Le premier membre, en vertu de léquation primitive, peut être représenté par fx"—'dx(1—x)"""; et parce qu’on peut mettre x* à la place de æ, sans changer les limites de intégrale, il peut être aussi représenté par a fæwmm—1dx (1 — x")"—"; donc on a FREE animes — p Le, Am). ® (ete Am6, m) nf am —1dx (1 — x") DCE + (TT 7 JE ; (d\)
Cette équation aiusi exprimée par un nombre fini de térmes, acquiert une plus grande généralité, et ne suppose plus que m est un nombre entier.
En effet, les deux membres devant se réduire à une même fonction de » et de Am, laquelle est
1 M 1 1 ie .M—2 1 ts xm 1 ‘ami 1.2 ‘am+2 ie
on est maître de donner à m et À des valeurs positives quelconques, et à plus forte raison aux quantités «+, 6, n, qui disparaissent dans les deux membres. 47. Soit donc æ=1 et 6 — à un infiniment petit, on aura. 1— xt — 6 log-, et D(a, m)— E=="jde (12) ,
408 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
de sorte qu’on aura en général Q(a, À) = 01,7 (H).
Au moyen de cette formule, l’équation (d\) devient
srl dial es à r (m)
Tam + m) E 5 On aura donc
r{2\r(£ fe=dr (ie) =
Le premier membre n’est autre chose que la transcendante désignée ci-des-
: Soit maintenant m = 2 F5 ÂME=E
sus par(®); ainsi On aura cette équation remarquable
A) Ÿ nr (ÈS) D'où Pon voit que la transcendante ) serait connue, si on connaissait,
pour la même valeur de #, les fonctions de la forme T (©), a étant entier.
48. Il résulte d’abord de cette valeur de (©), qu’on peut échanger entre
eux les nombres p et 4, et qu’ainsi on a C ) = (2); ce qui est une des prin-
cipales propriétés de ces fonctions.
De plus, on tire de cette formule
n ten "O0 @).( r )= mr(ER
Dans le second membre, il est visible que deux des nombres p, g, r, peuvent être échangés à volonté, ce qui donne le théorème fondamental contenu
dans l’équation (e), EN. (ets = fe). (et @).( r )=().( q )»
dont on a ainsi une nouvelle démonstration très simple. 49. Faisons voir maintenant comment les fonctions T se déterminent au moyen des fonctions () supposées connues pour une même valeur de n.
Observons d’abord qu’au moyen de l’équation (a), on a en général
