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Lorsque 7 ne sera pas un nombre entier, l'intégrale fx"—'dx (log 1)

sera en général une transcendante dont il convient d’examiner les propriétés.

Et d’abord, au moyen de la formule (æ), on pourra toujours ramener cette transcendante au cas où Pexposant n est compris entre o et

De plus, j'observe que sans rien diminuer de la généralité du calcul, on peut faire m=1t ; car la formule Ja'dx (lo 2) étant proposée, si l’on fait x" =, cette formule deviendra — [az (log 2).

45. Cela posé, il suffira de considérer l'intégrale dx (log: ) 7, dans

laquelle nous supposerons que a est positif et plus petit que l'unité. Cette quantité étant simplement fonction de 4, nous la désignerons par T (a) et nous ferons :

T(a)==fdx (log =) (»)

L’objet des recherches suivantes est d'évaluer la fonction (a), lorsque a est une fraction rationnelle donnée, telle que +, 5, +, etc., et nous nous proposons particulièrement de comparer entre elles les fonctions qui

répondent à des valeurs de a de même dénomination , telles que T (°),

la transcendante T(a) pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle. 46. En prenant les intégrales depuis x=0 jusqu'à x= 1, et supposant m>1, On a cette formule de réduction, pe 1 — (m aux 1 Sas—dx(i —af} = tm—R d’où il suit que si "m est un entier, on aura exactement nr PRO 1.2.3....(m— 1)

Ja" dæ (1 — x) aa +6.a + a6....s + (m— 1} Désignons par © (æ, m) l'intégrale fxt—'dx (1—2xf)"—", prise depuis =0 jusqu’à x = 1, et dans l'hypothèse que " est un entier positif, on

aura donc

Ja dx (12);