ON

OHOHOO) Le nombre de toutes ces fonctions est donc : (1 + n). 1] faut déduire de ce

e . ° I nombre, 1°. les z fonctions de la forme (E) , dont la valeur exacte est À

2°. les fonctions de la forme — dont la valeur est —— ; le nombre de nsin n

celles-ci est =—— ou =—, selon que 7 est impair ou pair. Il restera donc , 2 2

dans la série des intégrales ), un nombre de transcendantes égal à 2 (7— 1}, si » est impair, et à = (n — 2) si n est pair.

Dans le premier cas , un nombre 2 (#7 — 1)° de transcendantes ®) peuvent

, : n—1 ‘ | 1 2 3 | s'exprimer par les = — Premiers termes de la suite T TT =»etc.; dans

le second , un nombre = (n — 2) de transcendantes (©) peuvent s'exprimer n . ns par les = — 1 premiers termes de la même suite. De là on voit qu'il peut être établi un grand nombre de comparaisons entre les transcendantes (®) qui répondent à une même valeur de », et qu’elles peuvent toutes être exprimées par un petit nombre d’entre elles ; nombre

nm — 1 n . . . « — ou > — 1, selon que » est impair ou pair. Mais ce nombre,

qui sera dans le cas où 7 n’est pas premier, pourra être réduit ultérieurement par les autres propriétés de la fonction T , que nous démontrerons ci-après. 69. Considérons maintenant le cas où les deux nombres p et g sont égaux dans la fonction {p, g]; alors on aura [a,a]= fx" "dx (1 —xÿ.

Soit x = +(1 + y), la transformée sera 2% fdy (1 — 7°}; el comme T. I. 72

{az INTÉGRALES EULÉRIENNES,

cette nouvelle intégrale doit être prise depuis y =— 1 jusqu’à ÿ =<+ 1, il revient au même de la prendre depuis y = 0 jusqu’à y = 1 , et de doubler le résultat. On aura ainsi

(a,a]= 2 *fdy (1 — 7)".

Mettant x à la place de y*, ce qui ne change pas les limites , il viendra [a,a]= 21" fa dx (1 — x}, ou (a,a]= 2" °1{3, a],

for mule qui s’accorde avec l’équation (r) du chap. LL.

Mais , d’après l'équation (3) ci-dessus, on a e ra ra : — rire Gd=ry Pl rrs:

donc en substituant ces valeurs, l'équation précédente donne TaT(i+a) = 2 "T IT (2a)= 21 PL .T(2a) : (0) c’est la troisième propriété générale des fonctions T. 70. Il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut parvenir à ce ré-

sultat par une autre voie.

Considérons pour cet eflet la fonction (#7), dont la valeur est

Un)= an + 2. 2e "té: + fn.

. Be ccitæl ?

si l’on met # + 1 à la place de x, on aura

n n+6.2n+8.,.{n Vu + 1) = ER En Re RE:

Y(a+:) __fntafnté 4 Ÿ(n) 7 an+a.andkir TT Donc en général 4J(n)= A.4", A étant une constante qu'il faut déterminer dans un cas particulier. Or en faisant r= 1,on a (x) =4; donc A=:; donc # étant un nombre entier quelconque, on aura

+2. ts an + 6 4 on 49.

ss... 28 — 1!

de là résulte

Mais en vertu de ae . on a (m + 1) (m + 2) (m + 5)..….(mæn) = QE,

Faisant successivement m= 7 et m — — +, cette formule donne