CHAPITRE VUL

c’est la seconde propriété générale des fonctions T, Si on fa 4 2 à, il en résulte Ti= y7.

65. On voit par cette équation que les fonctions Ta, T (1 — 4), placées symétriquement dans la première période, peuvent se déduire l’une de Pautre, puisque leur produit est toujours une quanjité connue, Et parce que les racines 4, 1 — a sont complémens l’une de l’autre, nous regarderons la fonction T(1 — 4) conime étant le complément de Ta, et réciproquement.

On a déjà remarqué que pour déterminer Ja fopetion Ta dans toute son étendue, il suflit de conmuître cette fonction dans la première période, depuis a= 0 jusqu’à a = 1, ou dans une autre période quelconque, comprise entre deux entiers consécutifs », m + 1. En vertu de l'équation (6), il suffira de conmaître la fonction Ta dans la moitié d’une périede, par —— depuis a = 0 jusqu’à a = +, ou depuis a = + jusqu’à a = 1.

Dans la seconde période, les fonctions T(1 + a), T (2 — 4), également éloignées des extrémités de la période , seront pareillement regardées comme complémens l’une de Vautre; et puisque d’après l’équation (1) on a T(1+ a)=aTa et T(2—a) = (1 — a) T(r — a), il s'ensuit que les deux fonctions T(1 + a), T (2 — 4) pourront se déduire luse de l’autre par l’équation

T'(1 + à) AO PA Len LA

sin ar

On trouverait de même, dans la troisième période, que les fonctions T (244) et T(3—a) se servent sautesllenent de complément , et se déterminent l’une par lautre.

66. Ces formules entre les fonctions complémentaires prendront. une forme plus élégante en les comptant du milieu de chaque période ; alors on aura pour les périodes successives les équations

TG—aT(G+a=—, rar (+=), F (5 —a)T (5 + e)e (4 — 4) (2 — 0) —— etc.

Si l’on fait a — o dans ces diverses équations, on aura les valeurs des fonctions qui se rapportent au milieu des périodes , savoir :

Tin Vr, Ti = Var, Tim Va, Tim. pr, etc.

Ces fonctions, et celles où a est un entier, sont les seules qu’on puisse dé-

cos ar ?

420 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

terminer exactement, sans employer de transcendantes plus composées que les arcs de cercle et les logarithmes.

67. Si l’on cousidère les fonctions successives T =, r . À" 2. PES :

dans lesquelles # est un nombre entier, il suflira de connaître les

premiers termes de cette suite , si z est impair , et les = — 1 premiers seulement si est pair. Les autres se détermineront par l'équation (6), à laquelle on joindra, dans le second cas, l’équation T5 = 7.

A l'égard des intégrales E)ai, dans la notation d’Euler, répondent à une

même valeur de #, elles s'expriment par les fonctions T , de la manière suivante :

QT O=;R£ (Es) (7) C)= CO RES D grrr (—) la première devant être employée si lon ap+gq<n,et la seconde si l’on

ap+q>n. a

Au moyen de ces deux formules et de l'équation (6), toutes les intégrales

(©) dans lesquelles les nombres p et g sont pris à volonté dans la série 1, 2, 3...n, pourront s'exprimer par les premiers termes de la suite r(), | d (?) | F ô}! etc., savoir , par = termes si z est impair, et par = —1 si nest pair.

68. Comme on a () = (©) , on pourra toujours supposer que p n’est pas > g ; alors les intégrales () qui répondent à une même valeur de, pour-,

ront être disposées dans un ordre triangulaire, comme il suit :