œ=—(2) (ax) R
Le premier membre est la valeur de T(1 + x) lorsque x est un nombre entier; mais comme le second membre est une fonction continue de z, on aura en général quelque soit x,
T(t+x) = (5) (araYR, G) telle est la formule par laquelle on pourra dans tous les cas déterminer la
valeur approchée de T (1x), et par conséquent, celle de Tx = IT( 1+x), pourvu que æ soit > 1.
75. La quantité R peut se moe suivant les puissances de =: ; Car on a
R=:1+lo8R#+ + 108" R Fr — log R + etc.; substituant de la ue
de log R, ainsi que celles des cs A",B', C’, etc., qui sont À= 2 B'= %, Cu. . etc., on aura 139 5 Ron nt Past Eure) — au Dans cette suite, si on appelle M la partie qui contient les puissances paires de x, et Næelle qui contient les puissances impaires, on aura M°—N'=:,
de sorte qu’ôn pourra prendre indifféremment R=M+N ,ou R= +
En effet, comme toutes les puissances de x sont impaires dans log R, le changement du signe de x donnera log (M+N)=—log (M—N), ou log (M°—N°)= 0; donc M*— N°=1.
76. Il est à remarquer que Ja suite TR “hé HT, + gs —etc., mème en supposant x assez grand , n’est convergente que dans un certain nombre des premiers termes; car on sait que les nombres Bernoulliens dont les expressions sont fort irrégulières, croissent continuellement passé le troi-
sième terme, de manière que si T® et T*+9 sont deux termes consécutifs n+1
des rangs # en +1, le rapport 5 a pour limite ë. La suite qui ex-
prime log R sera donc convergente pendant un assez grand nombre des pre-
miers termes, si x est de plusieurs unités; mais elle finira par être diver-
gente, et donnerait une valeur de log R d’autant plus fautive qu’on la
contiuuerait plus loin au-delà du terme où elle cesse d’être convergente. De là on voit que pour une valeur donnée de x, il y a un terme qu'on
ne doit pas passer dans le calcul de la suite — — Le + etc., le terme auquel il faudra s’arrêter est celui qui serait suivi d’un terme plus grand; alors l’approximation ne peut aller plus loin , mais elle sera tout aussi étendue qu’on voudra, en prenant x suflisamment grand.
: 3 ne R = SR LE Se du: i Il en serait de même de la série R= 1 + + "ETS etc.; mais
celle-ci n’est pas d’un usage aussi facile que la série === + Er + etc., dont la loi est manifeste et ne dépend que des nombres Bernoulliens. 77. On peut fixer a priori le nombre des termes après lequel cette dernière
suite cesse d’être convergente; ear en considérant les deux termes consécutifs
TC) Tte+1)
nn 2 ee an + 2,9n + 1.æ8#1?
et les supposant égaux, on aura
TH) an+2.2n +1 du
TG) — on.2n—1 ?
mais plus # est grand, plus le premier membre approche de la limite he (Eul. Cale. diff., pag. 429) ; donc on aura Se très peu près,
n=#x. Ainsi, en faisant x —5, on a a —=15 ou 16, c’est-à-dire que la
série cesse d’être convergente vers le 15°* Lerme; si on faisait x =10, la
série cesserait d’être convergente vers le 31** terme, et ainsi de suite. 78. On peut en même temps avoir la mesure du degré d’approximation
que lon peut obtenir avec une valeur donnée de x. En effet, si on appelle
Q le n°" terme de la suite égale à log R, on aura
TM)
an.an — 1.471?
ñn=
et comme on a, à très peu près,
