Représentons par (a, n}" la somme de la suite infinie

1 1 1 ; a Ton Topaÿ À Qpans À ele; si l’on fait a= nx, cette suite devient 1 1 1 1 CG+prstor te).

Ainsi en faisant x = = lexpression générale de Ja transcendante (a, n}" sera

d"I Ge rs ee

On peut encore remarquer qu’en faisant QE) = 1 + tnt met

on aura en général @,(x) + 4,(1 + x) = const. =S5$,; donc ia) dr(i+ P(X) nu s, — 4, (1 Ga x) — Ss + 1 —< TT — ° Ce 2, C’est simplifier la théorie de ces diverses transcendantes, que de faire voir qu’elles dépendent d’une même fonction ÎT (1 +-x) et de ses coefliciens différentiels successifs.

93. Considérons maintenant d’une manière particulière l'équation

ddir (1 + x) 1 1 1 de SG Ga ap + ete

que nous mettrons sous la forme

flo INTÉGRALES EULÉRIENNES, ddirx 1 de striptoiptoist etc. (27) Cette formule est le principe d’où nous allons déduire de nouveaux théorèmes, qui serviront à perfectionner et même à compléter entièrement la théorie des fonctions T.

Soit pour abréger, f(x) la fonction qui forme le second membre de l’équation (27); si lon met 2x à la place de x, on aura

fs 1 1 ' ï |

f(2x) = j LA PTT THE TEL + etc. ] dans la suite renfermée en parenthèses, les termes de rang impair ont pour somme f(x), et les termes de rang pair ont pour somme f(++ x). Ainsi

mo Sa) = 1 (2) +3fG 4e):

or l’équation (12): donne f(x) = =, fG+ x) = PÉTI, fax)

ddir (2x).

fdx*

; substituant ces valeurs, il vient

ddir (2x) ddlrx , ddr (i + =), dr ana dx + de

multipliant par dx et intégrant, on a

dir (2x) __ dirxz | dir(i+x)

D dr Æ ve Multipliant encore par dx et intégrant, il vient

log (2x) = log Tx'+ log T(£+ x) + ax 6, ou, en passant des logarithmes aux nombres, TaT (+ x) = Ae-«T (2x),

Il reste à déterminer les deux constantes A, &, introduites” par lintégration. Pour cela, soit x infiniment petit, on aura Fx= = et T(2x)=—; donc A=—2T;. Soit ensuite x = +, on aura AeTit= T+, donc =); donc l’équation générale est

TaT (£bzx)=T(2ax).at—2x ri (28) Nous retombons ainsi sur l’équation (9) déjà démontrée de deux autres manières ; mais la même méthode va nous faire découvrir de nouvelles propriétés.

94. En appelant toujours f(x) le second membre de l’équation (27), si

CHAPITRE X. 44s l’on met 3x à la place de x, on aura 1 1 1 Li 1 1 fGr)= + G+sÿ + Gr Tops + gaz tee.) La suite contenue dans le second membre se décompose en trois autres, savoir , 1 1 1 stop tes tes f(), 1 1 1 1 nt tai tte = JG +), 1 1 1 " | es too tou te = JG +2) donc on a JG2) = 3 LA) + JG +2) + JG +2).

Remettant au lieu de f(x) sa valeur CR et semblablement pour les

autres termes, il vient ddl (3x) __ ddirs , ddr (}+x) , ddlr (+) ds dé TT à Intégrant celte équation deux fois consécutives, on obtient pour résultat TaT (3 H2x)T(S zx) = Fr(3x). Acer. Pour déterminer les deux constantes A et æ, soit, 1°. x infiniment petit, on aura A=3ITS=

ge = 27 VS; soit, 2°. X—=+}3, On aura...

Aë Ti" =T+ Ti=; A, et par conséquene"= 5°, Donc on a l’équation TaT GG + x) Tr) 27. 5578 L(3x): (29)

c’est la quatrième propriété générale des fonctions T. 95. Si l’on considère semblablement la fonction f(5x), et qu’on décompose la suite qu’elle représente en cinq autres, provenant des termes comptés

de cinq en cinq, à commencer par le 1‘, le 2, le 3°, le 4° et le 5°, on obtiendra l’équation

LG) = 2 LES 2) SE +2) HSE + 2) 48 +], ce qui donne l’équation différentielle

ddr (5x) __ ddlrx | dd(i+s) , ddir(i+ =) RE ST FE

ddr +=) ddr (t+s) + I + EE,

442 INTÉGRALES EULÉRIENNES, dont l'intégrale est TaT (+ x) TE + 2) (SH x)T ($x) =T (5x). Aer, Pour déterminer les constantes A et æ, on fera successivement x infiniment

petit et x =, ce qui donnera A=STiTéerirt#,

Ae S=TETiTiT#— A;

donc e* = 5° : ensuile on a par l’équation (3), sin : æ?

rTilré=-—, riri=

SRE 47° 4/5. Donc enfin la fonction F satisfait ; sin ES encore à l’équation. |

TaT (sr) TE x) Tr) lé) = T5). (am). 57:

c'est la cinquième propriété générale des fonctions T.

96. Il est facile de voir qu’on peut généraliser ces résultats et les comprendre dans une même formule. En effet, r étant un entier quelconque, la valeur de /{nx) pourra se décomposer ainsi,

Jeux) = 20e + +2) ++). + +2);

ilen résulte l’équation diflérentielle

ce qui donne À =

ddir (nx) __ ddlrxz date (+ z) dm (+2) CR CSS LE le pan — nous — 55",

dont l'intégrale fimie est TaT (+zÿ (+ æ). …T — +x)=T(nx) . Ac—ez, Pour déterminer les deux constantes A et &«, faisons successivement x

infiniment pet et x=— 7, nous aurons ces deux équations D — 1]

PT M dE ONE eh 111 nn Li 2

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