CHAPITRE X

la dernière donne immédiatement e* == n°. Pour avoir la valeur de À à faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair. n — 2

Soit, 1°. n=2m, les fonctions r=, T=.. sols Tr = aûront un terme moyen Ti= y#, et les termes également éloignés des extrêmes étant complémens l’un de l’autre, leur produit sera donné par l’équation (3);

et on aura pour le produit total de ces fonctions,

: m…f ä L A L A L LÉ L 4 Fu ——, Re — = — . * . 27 . 3x . M—1 . e,. 2 . . MI sin . sin 4 sm rs sun ra LA SIN — SIN — SIN —..,,8Nn—— œ ñ n ñn n ñn

Mais en faisant 3 infiniment petit dans la formule qui termine l’art. 240, Introd. in An. inf., on trouve

: . 2# … 3x . Mi sin? sin sm =.....sin == m2 ? ÿ/n; n n n nm /

ce qui donne, dans le premier cas, 3 — TiT: Tr... —— = (27) ES ,

et par conséquent

A (27) 7 ni.

Soit, 2°. n—=2m—+# 1, il n’y aura point de terme moyen dans la suite Pirate sr n nm n n étant toujours complémens l’un de l'autre, le produit de toutes ces fonctions sera

: mais les termes également éloignés des extrêmes

Tr LL Li Lu : co —— = — , Ÿ +. 2x . mx . F . 19 . me SIND — Sin — sin — SID — SIN —.,.,... Sin — n n n 111 n n

D'une autre part , la formule citée d’Euler donne, lorsque x est impair,

+ Æ + 2% . 3% . mr RE

SIN = SIN — SIN —6e.1. SIN — = 2 n°; n # n n

donc on a encore dans ce cas, " 5 —…. ——— e Tir TE... TE = (27) A n’3, n nm n n

et par conséquent,

444 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Donc, quel que soit le nombre eutier #, on aura généralement la formule

rar (O+aæ)r(S+x). (a )ærqna) (27) 2 00

97. Cette formule très remarquable comprend comme cas particuliers, les formules (28), (29) et (30); elle en donnera tant d’autres qu’on voudra, en prenant pour # des valeurs en nombres entiers au-dessus de 5.

Il est bon néanmoins d’observer que les formules qui résultent de l'équation (31), en prenant pour # un nombre composé, ne sont que des conséquences de celles qui ont lieu en ne prenant pour »# que des nombres premiers, et qu’ainsi il suflit de considérer ces dernières, en donnant à » les valeurs successives 2, 3,5, 7,11, etc. On obtiendra encore de cette manière une iufinité d'équations auxquelles les fonctions T doivent satisfaire, et qui donnent les moyens de multiplier à l'infini les comparaisons et les réductions dont ce genre de transcendantes est susceptible.

98. Nous observerons encore que dans les usages de la formule (31) et de

. ? « 4 « 1 ‘ toutes celles qui en dérivent, on peut se borner à faire x <,,; car si l’on met

= + æ à la place de x, la formule qui nait de cette substitution ne diffère pas de la formule (31); de sorte qu'on n’obtiendra entre les fonctions T que les mêmes relations qui peuvent être obtenues en supposant T< ;+ | 99- Nous are mème aller plus loin, et démontrer qu’il suflira de faire x <= =; Parce que Péquation qui viendrait en supposant z= +0, ne différera pas essentiellement de celle que donne la supposition x=— — 0.

2n En effet , si l’on fait successivement ces deux substitutions dans l’équa-

tion (51), on aura st

r (+) r(È+s) r(E+o). .… r(— +0) T(G+ 70) CEE . x,

L Ga) —o)r (Eu). . TE —0 TG —n&) bn n ; multipliant ces deux équations entre elles, et observant que chaque fonc-

tion T dans une équation, trouve son complément dans l’autre, on aura pour le produit total cette équation ,

CHAPITRE X. 445 Ed panne RE à (2 D Es re = re | laquelle en faisant = + w7r= 32, peut être mise sous cette forme ,

sin 23=2""" sin Z sin (+3) sin (Z+:). Fe «sin (— Lx +5):

c’est l'équation déjà citée de l’art. 240, Zntrod. in An. inf.

De là on voit que les deux équations obtenues en faisant x => +, | ; es X=——0, ne donnent qu’un seul et même résultat, et qu’ainsi dans lap-

plication de l’équation (31), il suflira de faire x < —.

On peut remarquer encore qu’en faisant w = 0, on a la formule

1 3 5 2n — 1 7 GR ll SP ages T ms (27) : ri, laquelle se déduirait aisément de la formule générale , rir2ri..r—l=(or) nt.

n Li] nm n

100. Il ne sera pas inutile de rassembler ici sous un même point de vue, toutes les équations qui contiennent les propriétés générales des fonctions T.. Voici ces formules, accompagnées des lettres qui serviront dans la suite à les désigner.

(A) Tx=1.2.3....(x— 1),

(B) T(1+x)=aTx,

(D), rar (+ x)= (ax). (am) at,

Œ) rar (x) (+) =T (Gx).(am) TT,

(F) TaT (ee) D (Ex) (EH) T (tx) æT (5x) (am) 575,

ON) rar (+e)r (ter pr Jær (nz). (ar) ni

Ces équations offrent une infinité de manières de comparer entre elles les fonctions T', et d’opérer toutes les réductions que leur nature comporte. On T. IL 75

peut démontrer, par exemple, qu’il suflit de connaître la fonction T dans une petite partie de la première période, pour pouvoir déterminer cette fonction dans tout le reste de la période. On peut aussi considérer parmi les fonctions Tx, celles qui se rapportent aux diverses valeurs rationnelles de x qui ont un même dénominateur, et se proposer de réduire toutes ces transcendantes au moindre nombre possible. De là naissent différens problèmes curieux qui jelteront un nouveau jour sur la nature des fonctions T , et sur lesquels nous allons donner quelques recherches.