CHAPITRE IV. G

est négligeable ; or, c’est ce qui a lieu dans le cas présent, et ce qui aura toujours lieu à l'égard de la fonction E, à moins que les quantités c et sin @ ne soient toutes deux très rapprochées de l’unité.

715. Pour calculer les valeurs successives de Q, soit 6 = 2 c'æ*, et soit À un angle déterminé par la valeur sin À = c sin @, on aura A = cos À, et en omettant le signe de Q,

ésin2

, a = À = Ja dans l'exemple proposé, on aura 6 = 34 = (=) » et

logé = 5.270963 47486.

Nous nous proposons de calculer jusqu’à douze décimales les valeurs de E; alors les quantités Q auront huit chiffres significatifs au plus, de sorte qu’elles pourront être calculées par les Tables de logarithmes à dix décimales, qu’on réduira à huit, et même quelquefois par les Tables à sept décimales seulement. L'opération principale, pour avoir log Q, est de déduire log cos À de la valeur connue de log sin À ; il suflira le plus souvent, pour cet objet, de tenir compte des premières différences données par les Tables, dans l’hypothèse de buit décimales seulement. Soit A la différence qui répond à /sin a, et B la différence qui répond à Zcos a, a étant l'angle de la Table , immédiatement plus petit que À; si l’on fait

‘ ‘ B Isin A = /sna+r, on aura {cos À = lcos a — Te

Cette formule sera suffisante presque dans tous les cas, et le calcul n’en sera pas bien compliqué, parce que les différences B et A, ainsi que r, peuvent être prises en bornant les logarithmes à huit décimales.

Cependant si on voulait calculer Z cos À de manière que le résultat fût exact jusqu’à la dixième ou la douzième décimale, voici le moyen qu’on pourrait employer.

Soit a l’angle de la Table qui approche le plus de l'angle À, et supposons qu’on ait à la fois

TsmA=/lsnaÆr, lcos A = lcosaÆR;

il s’agit de trouver la différence R par le moyen de la différence donnée r; pour cela on aura la formule

R = r tangt a (1 + EE :

ou log R = log (r tung? a) Æ (r + r tang* a).

716. Les règles précédentes pour calculer log Q, s’appliquent à toutes les valeurs de @ dans l’exemple proposé, parce qu’on aura toujours. ... tang a << 1; mais si € et sin @ étaient tous deux très proches de l'unité, tang a pourrait devenir très grand, et il faudrait employer un autre moyen pour calculer la valeur de A qui fait connaitre celle de l’auxiliaire Q.

Alors A devra être mis sous la forme 4 = 4/(b* + c* cos* @), et si on prend x tel qu'on ait

La

tang u = Te = tang4 cos®,

ï b x ë ‘ il en résultera à = pa et de là Q = y sin 29 cosuw, en faisant.....

U ca

7 = #5; dans l'exemple proposé, on aura log y=5.43014 97464.

11 s’agit donc , pour avoir Q, de déduire loy cos w de la valeur connue de log tang we; c’est ce qu’on peut faire, comme ci-dessus, avec une exactitude presque toujours suflisante, par le moyen des différences premières qui répondent à log cos y et log tang w. Si on veut obtenir une plus grande précision, soit 4 l’angle de la Table le plus approché de we; si l'on fait à la fois l'tangu = ltaugaÆr, lcosu=lcosazR, on déduira la différence R de la différence connue r, par la formule R=r sin°a (1 + Mr cos" a), ou | log R = log (rsin*a) Ær r sin* a.

Cette manière de calculer Z cos w qui fait connaître A et Q, n’est sujette à aucune exception ; elle peut être employée dans toute l'étendue des Tables qu’on veut construire , quels que soient les angles 8 et @ ; en effet, on voit que l’angle # qui est 8 lorsque ® = 0, diminue continuellement à mesure que ® augmente, et finit par être nul lorsque @ = 90°.

717. Par la formule Q = y sin 2@ cos 4, on voit que l’auxiliaire Q est nulle aux deux Hmites de la Table, savoir, lorsque @ = o et lorsque = 90° ; il y a donc entre ces deux points une valeur de Q qui est un maxi-

mum; ce maximum se détermine par l’équation tang g — vw 25 = V4 j

y cos à cos* 1 8°

le cas de 0 = 45° que nous avons pris pour exemple, on trouve le maxi-

( c’est le point remarquable où l’on a Fg=+F'); alors Q = Dans