CHAPITRE XIII

Propriétés générales des Coëfficiens différentiels de la fonction log Fx.

a1. D'arnis le théorème de Part. 29, si l’on fait fardx (ma) =v, [EC 27,

on aura

dv d log V & =, ou dm T.

Mais par l'équation (3) on a V = ET ou log V=iT pit gt (p=t-g):

donc

dir (p+g) __dirp =T = fa ES.

d(p+9) dp : 1—x Mettant r au lieu de p +g, on aura Péquation dlogrr __dlogrp __fdx w—# ” dr dp =/f Ÿ ax ? (32)

à laquelle on peut donner aussi‘la forme

dlogr(r+r) dlogr+p} f(x) dx, NE ORNE ‘

l'intégrale du second membre est prise à l’ordinaire entre les limites x = 0; T8 1...

122. Soit p=0 et ra, le coeflicient différentiel © CE se ‘ré duira — C d’après la formule se ainsi on aufa dir rate … G—x)ds, = —C+ fa (33)

c’est l'expression du premier coefficient différentiel de la fonction logT(1+ a). Ce coeflicient pourra se déterminer exacterñent lorsque a sera un nombre rationnel, puisque sa valeur est composée de la constante connue — C et

CHAPITRE XII . . 463 d’une intégrale définie qui ne dépend que des arcs de cercle'et des né

rithmes.

Soit alors a = =) et soit &=J") onaura 1— ny" dy (1 cime 408 OR [dy 3"— y" ne ou MERE cr DD nr 1 Cette dernière intégrale étant désignée par B,, on aura f (i—x)dx n =-—nB,;

par conséquent pour toute valeur rationnelle «= — le coeflicient diffédir ONE +a)

tiel aura pour expression | dir(i+a) TUE PAPE HER RETT 9 ce qui donne aussi AE ET da at

Quant à la valeur de B,, on trouve par les formules connues que son

. ’ . La expression générale est, en faisant w = = :

B.—: & cot ma ù log n—° cos 24 log (2sin w}—°cos4malog(asin20)—etc.,

le dernier terme devant être — = cos (r — 1 mo log (2 sin — œ) , Sin est n 2 ‘

impair, et — . cos m7 log 2, si n est pair; mais il faut observer que cette valeur W m<n. Dans le cas contraire, il faudrait séparer de la diffé- ZE , la partie entière qu’elle contient, et l'intégrer dans les limites r= = Ke J = 1. Le reste de cette différentielle représenté par

FL .… opération peut être faite d’une autre manière, en diminnanf successivement la valeur de a jusqu’à ce qu’elle devienne plus petite que l'unité. On a pour cet effet les formules T(1-+a)æaTa, T(2+a)= (1 +a)aTa, etc., d’où lon tire nr

ee, +2 | dira

a da ? PRE dire RO ihetot a:

rentielle ©

FF? aurait pour intégrale la quantité B,..

etc.

464 INTÉGRALES EULÉRIENNES , 123. Si on désigne par (a) la somme de la suite harmonique. ... 1+ sta+z + on aura par l’art. 82, - 1 d'lga d'logr(r +a) Q(a)=C + = + ES = C +.

La fonction @ (a) sera donc aussi exprimée par l'intégrale définie

ea) = [IE (34)

Cette expression se vérifie immédiatement lorsque a est un nombre entier. En effet, dans ce cas on aura

IE dx = (1 Haba..ba)dr,

et l'intégrale de ce polynome, prise depuis + =0 jusqu’à x= 1, donne la suite 1 Hitan.. +: désignée par @(a).

Ce résultat étendu à toutes les valeurs de 4, en vertu de la continuité de la fonction @(a), aurait suffi pour donner l'expression de @ (a) en intédir (1+ a)

grale définie, et de là celle du coefficient différentiel > qu’on au-

rait trouvée ainsi sans le secours du théorème de l’art. 29.

124. Il résulte de la formule précédente que, toutes les fois que le nombre a sera rationnel, la somme @(«) de la série harmonique pourra être exprimée par le moyen des arcs de cercle et des logarithmes, ce qui est un théorème assez remarquable.

Pour avoir la valeur effective de @ (a) dans le cas dont il s’agit, on observera d’abord que par la nature de cette fonction, on a

d’où il suit que la détermination de la fonction @(a) se réduira toujours à celle d’une pareille fonction dans laquelle & sera plus petit que Punité.

p(a)=-—nB.

Les cas les plus simples peuvent être calculés directement par le moyen de l'intégrale définie, Ainsi on trouve