CHAPITRE XII

1+7 ur gen AT

Lorsque æ est infiniment petit, on aura

dxl= p(a) = fS = . [#5 =.

Cette valeur se déduirait aussi de la formule de __ dd log r (1 + a) dre +,

dont le second membre se réduit à S, ou . lorsque 4 = 0 (art. 18).

La fonction @(a) décroit donc continuellement depuis a= 1 jusqu’à a = 0 ; elle est égale à 1 dans la première limite; et à zéro dans la seconde.

Nous remarquerons qu’Euler a donné la valeur de @(+) dans son Calcul différentiel, page 814, mais d’après une suite infinie qu’il ne somme que dans ce cas particulier.

125. Si l’on différencie logarithmiquement les équations (C), (D), (E), etc. on aura diverses relations entre les coefficiens différentiels de mème ordre de la fonction T(x). Et d’abord l'équation (C) donne

dira diT(1 — a) D — da=D =—7oter. (35)

Ainsi le coefficient différentiel CT peut se déduire du coefficient

différentiel e, que nous regardons comme son complément.

Cette équation fait connaître la différence de deux coefficiens qui sont complémens l’un de l'autre, et elle a l'avantage de donner cette différence pour toute valeur de 4 rationnelle ou irrationnelle.

L’équation (32) donnerait pour la même différence, cette valeur

dira dir(i—a) fds sx gts fé

donc on a x — g'—s

=# cot ar, (36)

466 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

formule qui a lieu pour toute valeur de a, et qu'il est aisé de vérifier lorsque a est rationnel. Cette formule s'accorde entièrement avec celle du n° 35. 126. Différenciant de même léquation (D), et changeant x en 4, on

aura dira , dir(i+a) ad ir (2a) RTE d(2a) =— 202.

Le premier membre se compose de deux différences qui se déterminent par l'équation (32), et dont les valeurs sont dira dira) fds s%—;

da d(2a) x ” 1-7)?

dir(ita) dir(xa) fds x—;3+a d(ita) da) J 3 15 —

Donc en faisant les substitutions, on aura la formule

dx x° 374 age — be ni. Mont 2 1

x 1—5 De l’équation (E) on déduirait semblablement la formule COR LME FREE

LA e 15

et ainsi des autres.

Ces formules peuvent aussi se mettre sous la forme suivante : [x*—"dx. han B,

1— x fade tete ee = Eh Hat ne fixe fx dr, EELE THE ET = 4, et l’on peut remarquer qu’elles sont toutes contenues dans la formule générale " , x" na" x I = ln. (37)

127. Ce résultat est facile à vérifier lorsque a est un nombre entier. En effet, appelons F(a) le premier membre de l’équation précédente; si à la place de a on met a+ 1, on aura

Fa+i)= [EE ES,

Gt Batna) a Ha} Mai ma fE =—°<+/: ds à nx <a à x 1 dx

17% a 1x 13 a ln x" |

CHAPITRE XL 467 Faisant æ= 1 dans les parties hors du signe, et retranchant une intégrale de l’autre, on aura F(a+ 1)=F(a), et par conséquent F(a)=F(1). Mais lorsque a= 1,0na

faisant ensuite x — 1, on aura F(r)= /n; donc F(a) = /n. La formule genérale est donc démontrée lorsque a est un nombre entier.

128, Supposons maintenant a=£ » P et g étant des nombres entiers, si l'on fait x = 7", on aura

: P—'dy Pi SD nt Le Han r p intégrale qui devra toujours être prise depuis 7 =0 jusqu'à = 1. Si l’on faisait y" = 2, la valeur de F(4) pourrait se mettre. sous la forme ee gy" ‘dy TT \dz F(a)= f 1 y 1—" 7?

c’est-à-dire que F serait la différence de deux intégrales de même forme et prises entre les mêmes limites; d’où il semble qu’on devrait conclure que F est nulle. Mais il faut observer que les intégrales dont il s’agit sont toutes deux infinies, et que leur différence, qui peut être finie, dépend de la relation qui existe entre zet y, et ne peut être trouvée que lorsqu'on aura écarté les infinis de part et d’autre.

Pour cela, je remarque que p et g étant toujours supposés des nombres entiers, on a, par les règles de la décomposition des fractions rationnelles, D + May 1—ÿ 1— y N ?

N étant un dénominateur qui ne s’évanouit pas lorsque y = 1, On aura donc l'intégrale indéfinie à Pr = — Ki —7)+f0, (7) étant une fonction de y exprimée en arcs de cercle et logarithmes, laquelle est nulle lorsque y —0, et ne devient pas infinie lorsque y = 1. On aura semblablement

PE =: — 5) +fe),

J(z) étant la même fonction de z que f{ r) est de y. De là résulte l'intégrale

indéfinie

(=) +0) —/ 0); ou, en mettant 7° à la place des, FE) +fU)—-SU).

Maintenant si l’on fait y = 1, comme on peut préalablement mettre TH sous la forme 1 +y +7"... , on aura la valeur cherchée F(a)= in de sorte que la formule générale est die à priori pour toute valeur rationnelle de a.

129. Considérons encore l'intégrale prise depuis += 0 jusqu'aàx = 1, x! dx ee * dx z=0/ = 1x gs l { si on la met sous cette forme composée de trois parties

dx dx dx Gr

la première partie en vertu de l'équation (33)...=—C— Z'a, la seconde = log "; il reste donc à trouver la troisième partie |